Выбранный для просмотра документ алгебра-вект001.pdf
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ векторнметодтеория001.pdf
n.B. MBOY COW Ne 114, e. Bap„ayn
Paccrromune
Mem€AY CKpe11ÅHBa}011ÅHMHCH nP%Mb1MH 
IIycTb npmvraq Il HMeeT HanpaBJ1%kOUIHä BeKTOP a a •a •a M TOHKH A, PI — TOMKH 9Toii npmoii, nycTb npmag 12 HMeeT HanpaBJ1%10111H1i BeKTOP b {bc,b ;b3} , H TOHKH B, P2 — TOMKH
3T0ü
npmqeM PIP2 — 06111HM neprreHAHKynqp
HP%Mb1X.
Torna PIP2 MO)KHO npencrraBHTb KaK CYMMY BekTopoB PIP. = PIA+AB+B% .
cymecTByeT
eÅHHCTBeHHOe HHCJIO x*0, TaKoe, HTO PIA = xa , Il b , TO BP2 = Yb . 3HaqMT PIP2
= xa+ AB+yb .
 |
 |
Torna xa
xal',xa ; xa3}
H3 3T0ii CHCTeMb1 HaineM qmcna x H y, a MOTOM [IOACTaBHM ux B (*). Torna 6yneM 3HaTb KOOPÅHHaTb1 BeKTopa PIP2 , 3HaLIHT CMO)ICM HaVfTU ero ,UJIHHY, KOTopaq H 6yneT qmcneHHO paBHa paCCTOHHHK) rlPHMb1MH.
nppnmep 1.
TPH 60KOBb1e pe6pa Tpeyr0J1bHoV1 nupaMHAb1 SABC 11011apH0
nepneHÅHKYJ1%PHb1 H Ka)KAoe H?) 
HHX
paBH0 1. N — cepeAHHa AB, M— cepenvma BS HaMÅHTe 
flP%Mb1MH SN CM.
l)emerme:
c
МБОУСОШМ
Основные формулы векторно-координатного метода:
Векторы
Пусть
а
 |
Взаимное
расположение прямых
Уравнение плоскости
Пусть
п а , Мо — данная (фиксированная) точка пространства, тогда произвольная точка
пространства М лежит в плоскости и, если ММо • п = 0
Пусть п{А; В; С} , Мо — данная (фиксированная) точка пространства, тогда про-
извольная точка пространства М (x;y;z) лежит в плоскости и, если
А(х хо) + В(у уо) + — а) = 0
Тогда уравнение плоскости АВС по-
лучим из условия
2 МБОУ СОШМ г, Барн
Пусть А ХА ; 
, прямая [с направляющим вектором а
аг,а ; а , тогда уравнение плоскости, проходящей через точки А и В параллельно
прямой I получим из х — Х У¯ УА z—za хв—хн Ув ¯У.4 ZB —zq —
Пусть
даны точка А хА , две прямые: I с направляющим вектором 
а ир с направляющим вектором Ь Ь ;b ,
тогда уравнение плоскости, проходящей через точку А па-
раллельно прямым I и р получим из условия 
х—хч у— у 4
Взаимное расположение плоскостей
 |
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть дана прямая I с направляющим вектором а а] ; а ; а и плоскость и с уравнением
Ах + Ву+ Cz + D = 0, тогда 
l lla а ш п qA+a2B+a С = О
sin l;a — cos а;п
Расстояния:
1. Между двумя точками.
Пусть А ХА ; УА;ЕА
2. От точки до плоскости.
Пусть А
, плоскость и имеет уравнение Ах+ Ву+
Cz + D 0, тогда
З МБОУСОШМ
ь, Между параллельными плоскостями.
Пусть плоскости (11 и (12 заданы уравнениями: Ах + Ву + Cz + = 0 и Ах + Ву + Cz + D2 — 0, тогда
lDl - д)
4. Между скрещивающимися прямыми.
Пусть прямая ll имеет направляющий вектор а ; а и А, Р: — точки этой прямой, пусть прямая l2 имеет направляющий вектор Ь Ь ;b , и В, 102 — точки этой прямой, причем
PlP2 — общий перпендикуляр прямых. Тогда PlP2 можно представить как сумму векторов
= .
Но так как PlAl l l а , А2Р2 , то PlP2 = ха + AlA2 +yb . Числах иу най-
дем из условий Тогда
Объемы:
1.
Объем треугольной пирамиды МАВС, если М (Хм; УмРЛ4 '
Ум — ув
— ус.
И. В., лљоу 
Бар
Векторно-координатный метод
1. Применение неравенства треугольника.
Если заданы три точки, не лежащие на одной прямой, то задан треугольник с вершинами в этих точках. На сторонах этого треугольника можно задать векторы. Возможны только две ситуации: Если из одной вершины А выходят два вектора, то вектор, соединяющий концы первых двух, либо направлен как на рис. 1, либо направлен как на рис. 2.
в
с с 
В
первом случае векторы связаны равенством а +Ь = с , а во втором а
Тогда по неравенству треугольника а — Ь < с < а + Ь , то есть
а — Ь < a±b < a + bДля трех точек на прямой возможны случаи: точка В лежит между точками А и С, точка
 |
в
В с с с
В
первом случае а + Ь = си а + Ь = с , то есть а + Ь = a+b . Во втором случае а—Ь
тогда а — Ь = с , то есть а — Ь = а—Ь
. Чтобы учесть оба варианта расположения точки В относительно отрезка АС
запишем а — Ь = а—Ь 
Объединяя все случаи, получим следующее утверждение, что для любых векторов а и Ь справедливо неравенство а — Ь a±b а + Ь причем равенство достигается только в случае коллинеарности векторов.
Пример 1. Докажите, что для любых чисел а, Ь, с, d имеет место неравенство
Решение:
Рассмотрим векторы
m(a;b). тогда т — +d 2 ,
их вектор-
сумма будет иметь координаты т + п (а + +d) , а длина вектора-суммы будет
МБОУ СОШМД114
(6—х)2 +4,
Тогда
по неравенству треугольника а + Ь 2 с , То есть (6—х) +4+ (х— 2) +1 25.
Значит исходя из вида первоначального неравенства получаем, что
(6—х) +4+ (х— 2) +1 = 5 , то есть а + Ь = с . А это возможно, только когда векторы а,
Ь и с коллинеарны. Тогда коллинеарны и а, Ь , значит их координаты пропорциональны и
6 2 х 
Ответ:
2. Применение скалярного произведения векторов.
Здесь используется координатная форма скалярного произведения
векторов и условие а • Ь , где знак равенства тогда и только тогда, когда
векторы коллинеарны.
. Их скалярное произведение равно
2+6 + 7 = л, ф +•Г6+Џ5 < 
, т.к.
Решение: одз l < x s 3.
Рассмотрим ВСКТОРЫ а (х; 1) и Ь 1 + х; 3—х
Их скалярное щэоизведение равно а • Ь
= х 1 + х + 3—х , а длины
Получили, что а •Ь = а • Ь , значит векторы коллинеарны, то есть
х откуда х — 3х + х + 0. Сумма коэффициентов многочлена в левой части этого уравнения равна 0, значит один из его корней . (Гјродолжите самостоятельно.)
Ответ:
2
Гриценко
ИВ., МБОУ 
14
х y—l+y х— 1 =2 х + у— 2, Пример 5. Решить систему уравнений
Решение:
одз:у их? 1.
у— 1; х— 1 . Левая часть уравнения
(1) является
скалярным
произведением векторов а и b . Определим длины этих векторов а =
из
уравнения (2),
х
+ у— 2 и их произведение а b = 2 х + у— 2 . Тогда векторы
коллинеарны, а исходная система
равносильна (Продолжите самостоятельно.)
Ответ:
Пример
6. Найдите наибольшее значение выражения 7sin х— 24cosx .
Решение:
Рассмотрим векторы а (7; —24) , b(sin x;cosx) . Тогла данное выражение является скалярным произведснием векторов а и b . Определим длины этих векторов
— 25, sin X+cos х = l . Так как а
• b , то наибольшее значение
скалярного произведения равно произведению длин векторов, то есть 25. Ответ: 25.
1 Гриценко ЛЉОУ СОШ М] 14
Координаты вершин и некоторых точек многогранников
Задача 1.
Рассмотрим куб ABCDAlBlClDl с ребром 1.
Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится в точке В, а ортонормированный базис задан векторами ВА = , ВС=ј , ВЦ Тогда точки имеют координаты :
Задача 2.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlClDl с ребрамЮАћ±а, вс а Ь, вц с.
Введем )Екартчу координат так, что ее начале. находктсяв точке В, ВА
Тогда Очки координаты:
Задача З.
Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА С, с С] ребрами АВ = ВЦ .
Введем декартову прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена вектору QC , ось аппликат сонаправлена вектору QQl , где Q1 — середина 141В1 . 2 Гриценко И.В., МБОУ СОШМП4г. Барнаул
Задача 4,
Рассмотрим правильную шестиугольную призму ABCDEFAlBlClDl с ребрамИ, равными 1.
Введем дерртову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится »њ.вересечения диагоналей А С и ВГ нижйејф $исе.
вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору QQl ,где Ql =AlCoBlEl. Тогда точки имеют координаты:
01 (
Задача 5.
Рассмотрим прав—ш$тетраэдр DABC с ребрами, равными 1.
Введем декартову:прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена векшру QC ,
ось аппликат сонаправлена вектору 0D , где О — центроид ДАВС. Тогда точки имеют координаты:
Задача 6.
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCDAlBIClDfc ребрами основания, равными а и боковыми ребрами, равными Ь.
З Гриценко И.В., МБОУ г. Барнаул
Задача 7,
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду MABCD с ребрами, раными 1.
Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начаЛо находится в дочке В, ось абсцисс сонаправлена вектору ВА , ось ординат сонаправлена вектору ВС , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О = АС П BD.
Тогда точки имеют координаты;
Задача 8.
Рассмотрим чегырежуЁоЈьЁую пирамиду MABCD, в основании которой лежит.вр—ънще дорнами АВ = З, ВС = 4, вершина проектируется в центр О прямоугольника и МВ = 6,5.
Введем декартову прймоугольную систему коордтт тая утр—учало Находится в точке В, ось абеуссуона—ена EXtopy ВА , ось ординат со-
апш:икат сонаправлена вектору ОМ , где О п BD.
Тогда точки имеют координаты :
Задача 9.
Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду MABCDEF с ребрами основания, равными 1 и боковыми ребрами, равными 2.
Введем декартову прямоугольную систему. координат так, что ее начало находится в точке Q пересечения диагоналей АС и
ВЕ основания, ось абсцисс сонаправлена вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О — точка пересечения диагоналей AD и ВЕ основания.
|
4 Гриценко И.В., ЛВОУ г, Барнаул |
||
|
ПростейШие задаф.коордцивтах 1. Координаты середины отрезка. |
|
|
|
Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе—диют точка М — середина отрезка АВ. Выведем формуду ддя |
|
, |
|
Рассмотрим ДОАВ, где О — начало координат, триа ОМ; |
и |
|
|
ОМ = —ОА + —ОВ . Найдем координаты каждого вео* аналогично Тогда |
—0}, t.e. |
|
|
-ов —хв; ¯Ув; То есть получиЛи, что |
УА+ћ. |
|
2. Деление отрезка в данном отношении.
Если точка М делит отрезок АВ в отношении т:п, считая от точки А, то для проювольной
точки О справедливо векторное равенство ОМ = ОВ , значит в системе координат rn+n с началом в точке О и координатами точек
т+п
УА +
т+п
т+п
З. Координаты центроида треугольника.
Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе координат С , точка М — центроид МВС. Выведем формулу для координат точки М.
Пусть О — начало координат, не совпадает ни с одной из вершин ЛАВС. Тогда вектор ОМ имеет разложение
ОМ = -ОА+-ОВ+-ОС .
Найдем координаты каждого вектора.
Тогда не трудно получить ОМ ХА Хв + Хо. . УА + ус ZA + ZB + Zc
отсюда и точка М имеет аналогичные координаты.
4. Расстояние между двумя точками.
Пусть тогда lABl= АВ = (хв —ХА) +(ув —т'А
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ стереометрия-вект002.pdf
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Использование векторно-координатного метода при решении задач стереометрии даёт шанс учащимся со слабо развитым пространственным мышлением и хорошей алгебраической подготовкой получить баллы на ЕГЭ при решении заданий С2. Однако нужно учитывать, что этот метод не даёт право на ошибку, только верное решение будет зачтено в 2 балла, любая ошибка приведет к результату 0. Некоторые задания С5 также можно решать данным методом, если вы увидете скалярное произведение. В данной разработке приведены примеры решения задач векторно-координатным методом. Честно говоря, применение этого метода в алгебре стало для меня открытием. Теория не моя, спасибо Гриценко И.В.
6 662 207 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кардакова Юлия Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
らcらんめ TんAPらんDー
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.