I. Вводная часть
1. Организационный момент
- Скоро дорогие 11-классники вам предстоит сдавать Единый
государственный экзамен по математике. Ваша задача сдать этот экзамен. Но
каждый для себя уже должен был наметить круг предметов которые будут
необходимы для поступления в учебное заведение. Безусловно математика
является обязательным предметом. Но не всем необходим будет наибольший
балл, который обеспечивает блок задач группы С. Несмотря на различные
приоритеты в плане решения заданий ЕГЭ мы на уроке рассмотрим задачи группы
С2.
Сегодня на уроке нужно:
· не бояться трудностей;
· уметь делать адекватный выбор;
· уметь ставить цели, соотносить свои возможности с
поставленной
целью и достигать ее;
· уметь признавать свои ошибки и учиться на них;
· верить в собственные силы;
· уметь выражать и отстаивать свое мнение при этом
уважать точки зрения других людей;
· уметь общаться и договариваться с людьми
Тема нашего урока - «Вперед к задачам С2». И проведём мы данный урок в
форме урока-марафона по обобщению задач группы С2. И на финише подведем
итоги.
Этот тип заданий теста повышенного уровня для нас и наиболее
приближен к материалам ЕГЭ по математике 2011 г.
2. Переход к теме урока
Наибольшие затруднения у учащихся вызывают задания группы С2,
требующие повышенного уровня знаний и умений.
Анализ заданий задач С2 показал, что все задачи можно
классифицировать по двум главным блокам: «Углы и расстояния», которые
подразделяются на следующие:
Углы:
¾ между двумя прямыми;
¾ между прямой и плоскостью;
¾ между двумя плоскостями.
Расстояния:
¾ от точки до прямой;
¾ от точки до плоскости;
¾ между двумя прямыми.
Наши
задачи
- рассмотреть тему «Углы между двумя прямыми»;
-выделить
основные типы задач и методов решений.
Вы
были разделены по группам. Домашним заданием каждой группы было собрать и проанализировать
многообразие задач С2 по данной теме используя тест-материалы, открытый банк
данных задач Интернета, справочную литературу и рассмотреть задачи на
различных геометрических фигурах. В каждой группе учащийся должен представить
аппарат планиметрии, необходимый для решения задачи:
¾ знание определенных тригонометрических
функций;
¾ формулы для нахождения элементов
треугольника;
¾ теорему Пифагора;
¾ теорему косинусов;
¾ подобие фигур и т.д.
Каждому ученику предлагаются индикаторы
оценки процесса решения задач. Анализируя свое решение по индикатору каждый
учащийся в отдельности и группа в целом может определить на каком этапе была
допущена ошибка и предусмотреть её в будущем.
«Человек, по-настоящему
мыслящий, черпает из собственных ошибок не меньше познания, чем из успехов»
II. Актуализация опорных знаний
«Чем больше я знаю, тем больше я умею»
Теоретический блок знаний
Для решений заданий каждой части В, так и части С учащимся
необходимо владеть нужным объёмом информации: теоретическим материалом по
данной теме:
а) угол между пересекающимися прямыми;
Из планиметрии известно, что за величину угла между пересекающимися
прямыми принимается величина наименьшего из углов, образованных этими
прямыми.
в) угол между скрещивающимися прямыми
Величина
угла между скрещивающимися прямыми a,b определяют следующим образом. Через
произвольную точку М пространства проводят прямые a и b и
находят величину угла между пересекающимися прямыми .
Эту величину и принимают за угол между скрещивающимися прямыми a,b. При этом
величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М.
Величина угла принадлежит промежутку .
III. Практическая часть
1.
Ознакомление
с тематикой задач
Итак, рассмотрим задачу по теме «Углы между
двумя прямыми» на следующих фигурах:
ПРИЗМЫ
1 группа представляет задачу – геометрическая
фигура: куб;
2 группа представляет задачу – геометрическая
фигура: шестиугольная призма
3 группа представляет задачу – геометрическая
фигура: треугольная призма
ПИРАМИДЫ
4 группа представляет задачу – геометрическая фигура: тетраэдр (треугольная
пирамида);
5 группа представляет задачу – геометрическая фигура: шестиугольная пирамида;
2.
Рассмотрение
задач С2
1 группа
ЗАДАНИЕ: В единичном кубе найти угол мекжду прямыми A и B
Работа по группам
Разбор решения:
(векторный метод)
1) Введем прямоугольную систему координат XOYZ
в т.А. Имеем:
А(0;0;0), (1;0;1),
B(1;0;0); (1;1;1);
2) используя формулу нахождения расстояния
между двумя точками находим: A,
B;
3) по формуле скалярного произведения векторов
находим искомый угол:
= т.е.=.
Следовательно 60º
Ответ: 60º
(алгебраический метод)
Справочный материал по
планиметрии:
¾
теорема
косинусов;
¾
средняя
линия треугольника;
¾
теорема
Пифагора
1)
A, ||B В. Значит
;
2)
так как ,
то .
Аналогично, .
Проведем || ;
3) в общем виде: Таким
образом имеем: ,
т.е. 60º.
В данном случае
треугольник равносторонний и сразу можно утверждать 60º.
Ответ: 60º
Работа с индикатором
Выводы
2 группа
ЗАДАНИЕ: В правильной шестиугольной призме А… все
ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми
и D.
Работа по
группам
Справочный материал по
планиметрии:
¾
теорема
косинусов;
¾
средняя
линия треугольника;
¾
теорема
Пифагора
Разбор решения:
1) Пусть т.О – середина ребра .
Проведем ОК||,
а RO||D.
Таким образом =
= -
искомый угол;
2) RОК: ;
3) RO-средняя
линия RO=.
Аналогично, ОК=
4) RAP: по
теореме косинусов и учитывая, что угол правильного шестиугольника равен 120º
получаем RР=;
5) Проведем КР||АRКP: по теореме Пифагора RК=
6) RОК: .
Ответ: .
Работа с индикатором
Выводы
3 группа
ЗАДАНИЕ: В правильной треугольной призме А… все
ребра которой равны 1. Найдите косинус угла между прямыми
и B.
Работа по группам
Справочный материал по
планиметрии:
¾
теорема
косинусов;
¾
средняя
линия треугольника;
¾
теорема
Пифагора
Разбор решения:
1) Пусть т.К – середина ребра .
Проведем ОК||,
а КМ||В.
Таким образом =
= -
искомый угол;
2) RОК: ;
3) ОК-средняя линия ОК=.
Аналогично, МК=
4) ОВЕ:
учитывая, что треугольник равносторонний получаем ОЕ=;
5) проведем МЕ||
ОМЕ:
по теореме Пифагора ОМ=
6) ОМК:
.
Ответ: .
Работа с индикатором
Выводы
4 группа
ЗАДАНИЕ: В правильном тетраэдре A,B,C,D точка Е-середина ребра СД. Найдите косинус
угла между прямыми BC и AE.
Работа по группам
Справочный материал по
планиметрии:
¾
теорема
косинусов;
¾
средняя
линия треугольника;
¾
теорема
Пифагора
Разбор решения:
1) Проведем ЕК||ВС, получим треугольник АКЕ.
Таким образом =
= -
искомый угол;
2) АКЕ:
;
3) КЕ-средняя линия KE=
4) AKB: по
теореме Пифагора учитывая, что треугольник ADB- равносторонний
получаем АК=Аналогично,
имеем АЕ=
5) АЕК:
.
Ответ: .
Работа с индикатором
Выводы
5 группа
ЗАДАНИЕ: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите угол между
прямыми SB и АD.
Работа по группам
Справочный материал по
планиметрии:
¾
теорема
косинусов;
Разбор решения:
1) Заменим ВС||АD, имеем =
= -
искомый угол;
2)
SBC: ;
3) Выполнив вычисления получим:
Ответ:
Работа с индикатором
Выводы
IY. Подведение итогов урока
Рефлексия
Итак, каждый для себя на финише ответьте на вопросы:
o узнал ли я для себя что-то новое на уроке;
o каким образом определяется угол между
скрещивающимися прямыми;
o какой блок знаний используется из
планиметрии;
o задачу С2 на каких фигуры мне нужно
рассмотреть, чтобы лучше усвоить: нахождение угла между прямыми в
пространстве.
Для оценивания вашей работы на уроке
сдайте листы с индикаторами вместе с тетрадями.
Домашнее задание (творческого характера)
По материалам ЕГЭ - 2011 г. по математике подберите и решите задачи С2
по теме «Нахождение угла между прямыми» на различных фигурах
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.