Тема урока «Делимость чисел»
ПЛАН:
1. Организационный момент 2’
2. Объяснение темы
36’
3. Домашнее задание 2’
ЦЕЛИ:
Образовательная: Обобщение и углубление темы «делимость натуральных
чисел и их свойства», изученные в 5 – 6 классах, вывод доказательств свойств
делимости целых неотрицательных чисел.
Развивающая: Внимательность, усидчивость, расширить кругозор и
математическую культуру учащихся, развить умение самостоятельно мыслить.
Воспитательная: Познавательный интерес к предмету, умение слушать
окружающих, аккуратность
МЕТОД: Словесный, наглядный
ФОРМА: Коллективная
ТИП: Урок лекция
ОБОРУДОВАНИЕ:
ХОД УРОКА
1. Организационный
момент
Здравствуйте, садитесь. Тема сегодняшнего занятия «Делимость чисел.
Натуральные числа и их свойства. Делимость целых неотрицательных чисел». Урок
пройдет в форме лекции. Внимательно слушайте, конспектируйте записи и
включайтесь в работу вместе со мной.
2.
В 5- 6 классах мы изучали свойства натуральных, целых и рациональных
чисел и арифметические операции над ними. В основе изучения целых и
рациональных чисел лежали свойства натуральных чисел и операций над ними. В
самом деле, положительное рациональное число задается парой натуральных чисел (
числителем и знаменателем дроби, изображающей это число) и все операции над
такими числами сводятся к операциям над их числителями и знаменателями.
Отрицательные числа получаются путем приписывания знака «- » к положительному
числу. Поэтому в основе всей арифметики лежат натуральные числа.
По сути дела, вся теория натуральных чисел сводится к одному
единственному отношению – «следовать за». Например, 4 следует за числом 3, 17 –
за числом 16, и т. д. при этом есть число 1, которое ни за каким другим
натуральным числом не следует. Существуют четыре свойства отношения
следования,из
которых можно вывести все остальные свойства натуральных чисел и операций над
ними. Эти свойства сформулировал итальянский математик ДЖ. Пеано ( 1858 – 1932)
в 1891 г.
·
Единица – натуральное
число, которое не следует ни за каким другим натуральным числом
·
За каждым натуральным
числом следует одно и только одно число
·
Каждое натуральное
число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом
·
Совокупность
натуральных чисел, содержащая число 1, а вместе с каждым числом и следующие за
ним число, содержит все натуральные числа.
Основные утверждения:
·
Для натуральных чисел
существуют операции сложения и умножения, причем сумма и произведение
натуральных чисел являются натуральными числами
·
Сложение и умножение
натуральных чисел обладают свойствами перестановочности и сочетательности: a
+ b = b + a , ab = ba, ( a + b ) + c = a
+ ( b + c ), ( ab)c
= a( bc)
·
Умножение натуральных
чисел обладает свойством распределительности относительно сложения: a(b+c)
= ab + ac
·
Имеет место равенство
1а = а
Далее к натуральным числам присоединяют число 0, для которого
выполняются равенства а + 0 = а , а · 0 = 0
После чего определяют отношение «а меньше b» ,
обозначающее, что в последовательности 0, 1, 2, 3, 4, …,n , …
число а встречается раньше числа b.
При этом a < b
в том и только в том случае, когда найдется такое натуральное число с, что а +
с = b. Число с – называют разностью чисел b
и а и обозначают b – а.
Имеют место равенства:
a
– b – c = a – ( b + c) , a – b + c = a – ( b – c) , ( a – b ) c = ac – bc
Отношение a < b обладает
следующими свойствами:
·
Для любых чисел а и b
выполняется одно и только одно из отношений a
< b, a > b, a
= b.
·
Если a
< b и b < c, то a
< c
·
В любой совокупности
натуральных чисел, содержащих хотя бы одно число, есть наименьшее число
·
Если a
< b , то для любого натурального числа с имеем a
+ c < b + c, ac < bc
·
Если c < a < b , то a – c
< b – c
Из сформулированных выше свойств натуральных можно вывести ряд
следующих утверждений:
·
Равенство ab
= 0 выполняется в том и только том случае, когда один из множителей равен
нулю.
В самом деле, если а = о или b = 0, то ab = 0. обратно, если а не равно 0 и b не
равно 0, то a и b – натуральные числа, а
поэтому их произведение – натуральное число, а не нуль.
·
Если k
не = 0 и ak = bk, то a = b
В самом деле, имеем 0 = ak – bk = (a – b)k. Так
как k не = 0, то из этого равенства следует, что a – b = 0,
т. е. a = b.
N- совокупность всех натуральных чисел
N0 – совокупность целых неотрицательных чисел.
Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел
является понятие делимости. Мы изучали его в 6- Ом классе, но лишь разъясняли
свойства делимости на примерах, а не доказывали их. Сейчас проведем
доказательство этих свойств.
Число а из N0 делится на число b
из N0 , если есть такое число с из N0 , что
a = bc. В этом случае пишут a b.
Так как для любого b имеем 0b = 0, то для
любого b из N0 справедливо, что
0 b . Если a b
и b не = 0, то существует лишь одно число с из N0 такое что
a = bc. В самом деле, если a = bc1 и a = bc2, причем с1 не равно с2, то 0 = bс1
– bс2 = b( c1 – c2),
чего не может быть , поскольку b не = 0 и c1 – c2 не
= 0
Единственное число с такое, что a = bc, называют частным от деления a на
b ( b не = 0) и обозначают a b или a/b
Из равенства а = а1 и а = 1а следует, что для любого а
из N0 имеем а а = 1 при а не = 0 и а 1 = а.
Запись 0 : 0 не имеет числового значения, так как для всех b из N0 справедливо равенство 0 = b0 и потому 0 : 0 не определено, так как в этом
случае нет ни одного числа с из N0 такого, сто = 0 с. Кратко говорят: «делить на ноль нельзя.»
Утверждения о делимости чисел из N0 :
·
Если a b
и а > 0, то a ≥ b
·
Если a b
и b а , то a = b
·
Если a b
и b c,
то a с
·
Если a с и b с , то для любых чисел m
и n из N0 имеем ( ma + nb) с. Если кроме того ma
> nb, то ( ma - nb)
: с.
·
Если a b
и k не = 0, то ka k b
·
Если ka k b и k не = 0, то a b
·
Если a bс, то (а : b
) с , а если (a
: b) с то a bс
Докажем свойство 3.
Если a b
и b c,
то найдутся такие числа k и l из N0 , что a = bk, b = cl . но тогда имеем a
= ( cl)k = c(lk)/ Поскольку lk
принадлежит N0 , то a с
Докажем свойство 6.
Заметим, что в силу ka k b найдется такое число с из N0 , что ak
= ( bk) c = ( bc)k.
Так как k не = 0, то равенство ak
= ( bc) k может выполнятся лишь тогда, когда a
= bc. Значит , a b
При доказательстве различных утверждений о натуральных числах
используют некоторые утверждения о совокупностях ( множествах) целых
неотрицательных чисел. Назовем множество А, состоящее из некоторых целых
неотрицательных чисел, конечным, если найдется такое число а из N, что х
≤ а для всех х из А. Например, множество трехзначных натуральных чисел конечно,
так как все такие числа меньше, чем 1000. утверждения, о которых шла речь,
формулируются следующим образом:
А) В любом множестве чисел из N0 ,
содержащем хотя бы одно число ( непустом), есть наименьшее число.
Б) В любом непустом конечном множестве чисел N0 есть
наибольшее число.
ПРИМЕР:
Докажем, что для лыбых двух натуральных чисел a
и b, таких что b ≤ а, найдется такое натуральное число q
, что bq ≤ a
< b(q + 1).
Решение:
Обозначим через А множество всех натуральных чисел с,
таких, что bc ≤ a.
Это множество не пустое, так как ему принадлежит число 1. В самом деле, b1
= b ≤ a. Далее, А – конечно, так как все числа из А
не больше, чем а. Действительно, если с > а, то bc>
ab ≥ a
и поэтому с не принадлежит А. по утверждению Б) из сказанного выше следует, что
в А есть наибольшее число q. Это значит, что bq ≤ a, а b(q + 1) > a.
Теорема: Если a и b – натуральные числа, такие что a
≥ b и b >1, то найдутся такие числа q
и r из N0 что a = bq + r, причем 0 ≤ r
< q.
Доказательство: ( из примера) Из b
≤ a следует, что существует такое число q
из N, что bq ≤ a
< b(q + 1). Обозначим разность a
– bq через r.
Тогда имеем a = bq + r, причем 0 ≤ r < b/
Теорема доказана.
Покажем что числа q и r, для
которых a = bq + r, причем 0 ≤ r
< q. Однозначно определяются числами a
и b. В самом деле,
пусть a = bq1 + r1 = bq2 + r2 , причем 0 ≤r1 < r2 < b.
Тогда 0 = (bq1 + r1) – (bq2 + r2) = b (q1 – q2) + (r1 - r2).
И поэтому r2 – r1 = b (q1 – q2).Значит r2 – r1 делится на b.
Поскольку b не = 0, отсюда следует, что r2 – r1≥b.
Но это не может быть, так как 0 ≤r1 < r2 < b. И поэтому r2 – r1< b.
Аналогично доказывается невозможность неравенства r2 < r1. Поэтому r2 =r1.
Но тогда bq1 = bq2 и так как b не = 0, то q1 = q2.
Итак, пара чисел (q, r) однозначно определяется заданием пары чисел
( a, b). Число q называют неполным частным при делении а и b
, а число r – остатком при делении.
3. Выучить конспект. Доказать 2, 4 и 5 свойства
делимости.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.