УЧИМ ВИДЕТЬ, НАБЛЮДАТЬ
Чтобы успешно учиться математике, прочно ею овладеть, надо, конечно, обладать некоторыми общими умениями и качествами. Нужно уметь видеть объекты во всем многообразии их свойств и отношений, уметь сравнивать эти объекты, находить черты сходства и различий, уметь действовать в уме, представлять мысленно любые объекты и видеть в уме все их особенности и изменения при тех или иных преобразованиях, т. е. и м е т ь хорошо развитое воображение. Конечно, надо обладать также достаточной волей и вниманием, хорошей памятью, сообразительностью.
Но разве всеми этими умениями и качествами не нужно обладать, чтобы успешно учиться по другим предметам? Так что в этом отношении математика ничем особенным не отличается от других предметов. Кроме того, разве каждый из вас не хочет, чтобы у него была хорошая память, развитое воображение, внимание, крепкая воля, сообразительность, умение наблюдать и обобщать и т. д. независимо от того, нужно ли все это для изучения математики или не нужно? Не сомневаюсь, что все вы хотите этого. Так давайте будем развивать свои умения, качества своего ума!
Учтите очень важное положение: все названные мною умения и качества нужны для изучения математики, без них оно не может быть успешным, но сами умения и качества развиваются и крепнут в процессе упорного, плодотворного изучения математики.
Тут диалектика: для того чтобы учиться, нужны умения и особые качества ума, а эти умения и качества развиваются, формируются в процессе учения.
Если вы внимательно и активно будете участвовать (а не только присутствовать) на уроках, если вы проделаете все упражнения, все задания, которые я вам буду задавать, то уверена, что вы сами почувствуете пользу наших уроков для себя.
Будем учиться видеть, наблюдать. Ведь можно смотреть и мало видеть, а надо научиться не просто смотреть,— это вы умеете,— а видеть встречающиеся вам объекты во всем их многообразии свойств и отношений.
Вы уже знаете, что каждый математический объект имеет очень много различных свойств. Но при определении этих объектов указывают лишь самые существенные свойства, необходимые и достаточные для их распознания.
Возьмем такой пример. Средняя линия треугольника определяется как отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Рассмотрим треугольник ABC и среднюю линию EF в нем (рис. 18). Какими свойствами обладает EF?
- EF— отрезок... средняя линия треугольника ABC... параллельна AB...EF равна половине стороны АВ...
- Все это верно, это все вытекает из определения средней линии и из известного свойства. А еще какие свойства. EF вы видите?.. Больше не видите?
А ведь EF обладает еще многими другими свойствами. Вот некоторые из них: EF — сторона треугольника EFC и она меньшее основание трапеции ABEF; EF — сторона углов EFC, EFB, FEA и CEF. EF делит треугольник на две части, притом площадь верхней части составляет одну четверть площади всего треугольника, и т. д.
Как видите, этот простой математический объект, кроме свойств, указанных в определении и теоремах, обладает еще многими другими свойствами. Надо учиться их замечать, видеть, ибо без этого, без такого многообразного взгляда на математические объекты, вы не сумеете решать математические задачи, доказывать теоремы.
Возьмем теперь число 144. Какими свойствами оно обладает?
— Это натуральное число... Оно четное, делится на 3... 144 — это квадрат 12...
— Верно. Но это число обладает еще многими другими свойствами. Оно делится не только на 2 и на 3, а на многие другие числа. Вот все делители числа 144: 1 и 144; 2 и 72; 3 и 48; 4 и 36; 6 и 24; 8 и 18; 12 — всего 13 делителей.
Это число обладает еще и тем свойством, что оно делится на сумму своих цифр 144: (1+4 + 4)= 16, а 16 есть произведение этих цифр: 16 = 1·4·4. Значит, оно делится и на произведение своих цифр. Если поменять местами первую и последнюю цифры этого числа, то получим 441, а это есть квадрат числа 21, получаемого переменой мест цифр числа 12.
Обычно в математике объекты рассматривают относительно друг друга, так же как в жизни. Отрезок EF становится средней линией, если он проведен соответствующим образом в треугольнике, а сам по себе он просто отрезок.
Посмотрите на рисунок. На этом рисунке изображена прямая АВ, перпендикулярная к прямой АС, и ВС — наклонная к этой же прямой. Но та же прямая АВ является наклонной к прямой ВС, а сама АС перпендикулярна АВ и наклонна к ВС. Таким образом, одна и та же прямая может быть перпендикулярной к одной прямой и наклонной к другой.
Посмотрите на рисунок. Сколько на нем изображено треугольников? Рассматривая внимательно чертеж слева направо, находим всего 15 треугольников: АОЕ, ОЕН, ОЕР, ЕНР, EBL, ЕМВ, ЕКМ, EKL, KFR, KML, KBL, RMQ, RCB, QLC, PBN.
А сколько там изображено различных четырехугольников? Находим 5 прямоугольников: AEFD, ABCD, EBCF, EBLK, FCLK; один параллелограмм —ONBE;8 трапеций: AOFD, ОНМК, НРВМ, HNBM, KRQL, EBCQ, KRCL, KFQL; 2 неправильных четырехугольника — АОНЕ и MBCQ и, наконец, один пятиугольник OHMRF.
А еще там имеется окружность центра О с диаметром EF, с двумя другими радиусами, с несколькими секторами, сегментами. Как видим, какое богатство различных фигур мы обнаруживаем при внимательном рассмотрении этого незамысловатого чертежа.
|
|
Еще пример. Дано алгебраическое выражение: х3 + 2х2у + 2ху2 + у3.
Что вы о нем можете сказать?
— Это многочлен... Третьей степени... В нем четыре члена...
|
|
Его можно разложить на множители: х3 + 2х2у + 2ху2 + у3 = (х3 + у3)+(2х2у + 2ху2) = (х + у) (х2 + ху + у2).
— Все верно, молодцы. Но вот самое простейшее, но очень важное свойство вы не заметили. Ведь этот многочлен не меняется при замене х на у и обратно у на х. Действительно, получим: у3-2у2х-2ух2+ х3, т. е. тот же многочлен, но его члены написаны в обратном порядке. Еще одно важное свойство вы не заметили: коэффициенты членов, одинаково удаленных от начала и конца многочлена, равны. 1, 2, 2, 1.
Наконец, что вы можете сказать о функции, график которой изображён на чертеже ?
- Это парабола...
- Да, это парабола. Но я спрашиваю не о кривой, а о свойствах функции, графиком которой является данная парабола.
- Это график квадратного трехчлена...
- Эта функция при х=0 и при х = 2 обращается в нуль...
- Маловато вы увидели... А ведь по графику можно многое установить относительно изображаемой функции... Раз это парабола, то функция квадратичная, которая в точках 0 и 2 обращается в нуль. Обратите внимание: ветки параболы направлены вниз — это значит, что коэффициент старшего члена квадратичной функции отрицательный. Поэтому эта функция такая:
у =—х(х — 2) = 2х — x2. По графику видно, что эта функция при x<1 возрастает, при х=1 она принимает наибольшее значение (максимум), равный, как легко видно, 1 и при 1 убывает. Значения этой функции при ,x<0 и при х>2 отрицательны, а при 0<х<2 — положительны.
Итак, вы видите, что каждый математический объект обладает многими свойствами, и надо уметь видеть эти свойства. Для этого следует тренироваться в подобных наблюдениях.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Чтобы успешно учиться математике, прочно ею овладеть, на до, конечно, обладать некоторыми общими умениями и качест вами. Нужно уметь видеть объекты во всем многообразии их свойств и отношений, уметь сравнивать эти объекты, находить черты сходства и различий, уметь действовать в уме, представлять мысленно любые объекты и видеть в уме все их особенности и изменения при тех или иных преобразованиях, т. е. и м е т ь хорошо развитое воображение. Конечно, надо обладать также достаточной волей и вниманием, хорошей памятью, сообразительностью.Но разве всеми этими умениями и качествами не нужно об ладать, чтобы успешно учиться по другим предметам? Так что в этом отношении математика ничем особенным не отличается от других предметов. Кроме того, разве каждый из вас не хочет, чтобы у него была хорошая память, развитое вооб ражение, внимание, крепкая воля, сообразительность, умение наб людать и обобщать и т. д. независимо от того, нужно ли все это для изучения математики или не нужно? Не сомневаюсь, что все вы хотите этого. Так давайте будем развивать свои умения, качества своего ума!Учтите очень важное положение: все названные мною умения и качества нужны для изучения математики, без них оно не мо жет быть успешным, но сами умения и качества развиваются и крепнут в процессе упорного, плодотворного изучения матема тики.Тут диалектика: для того чтобы учиться, нужны умения и осо бые качества ума, а эти умения и качества развиваются, форми руются в процессе учения.Если вы внимательно и активно будете участвовать (а не только присутствовать) на уроках, если вы проделае те все упражнения, все задания, которые я вам буду задавать, то уверена, что вы сами почувствуете пользу наших уроков для себя.
6 663 611 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Золотина Ирина Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.