УЧИМ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

УЧИМ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

Учитель МБОУ "СОШ №40" г. Курска Телегина Н.Н.

В качестве сложного составного логического действия можно рассматривать общий прием решения задач.

В математике мы должны учить многим важным умениям, играющим огромную роль в жизни каждого человека, в его работе: строить математические объекты,правильно определять понятия об этих объектах, устанавливать и доказывать существенные свойства этих понятий, проводить их классификацию. Но есть еще одно трудное, но важное умение, которому  надо научить,— это умение решать задачи.

Ведь с задачами (житейскими, производственными, научными) человек встречается ежедневно. Любое дело, любая работа в конечном счете сводится к решению задач. Поэтому научиться решать задачи чрезвычайно важно. Конечно, в математике решаются не любые задачи, а лишь математические и сводимые к ним. Но умение решать математические задачи оказывает огромное влияние на общее умение решать задачи, и тот, кто умеет решать эти задачи, сумеет решить и другие.

Решение задач — это сложная работа. Материалом, над кото­рым производится эта работа,— сами задачи, методы их -реше­ния — это инструменты для работы, а само решение — это процесс работы, процесс применения инструментов к материалу. Поэтому, чтобы облегчить решение задачи, надо, конечно, знать материал этой работы, т. е. сами задачи — как они устроены, из чего состоят, надо знать и владеть инструментами — методами решения задач, и научиться разумно применять эти инструменты.

Рассмотрим кратко основные особенности задач, решаемых в математике. В математике решаются собственно математические задачи, объектами которых являются какие-либо математические объекты, понятия и практические задачи, сводимые к математическим задачам, объектами которых являются реальные предметы или явления.

Примерами математических задач являются задачи на решение уравнений, неравенств, разные геометрические задачи и т. д. Примерами практических задач являются задачи, в которых речь идет о движении поездов, о работе, о размерах реальных пред­метов и т. д.

Для сведения практических задач к математическим реальные объекты, рассматриваемые в этих задачах, заменяются соответ­ствующими математическими объектами (числами, отрезками, функциями и т. д.), и тем самым получается модель практи­ческой задачи — математическая задача. Приведем пример.

Задача I. Велосипедист едет из одного города в другой со скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч, то приехал бы в город на 4 ч раньше. Каково расстояние между городами?

Для решения этой задачи рассматриваемые в ней реальные объекты — расстояние между городами и скорости велосипедис­та — заменяем соответственно математическими объектами — искомое х и числа 10 и 12. Тогда легко составить уравнение:

x/10=x/12+4

Это уравнение и есть модель данной задачи — соответствую­щая математическая задача.

Как устроены задачи? Из каких частей они состоят?

Всякая задача содержит одно или несколько условий — высказываний, принимаемых нами за истинные, и одно или несколько требований.

Задача 2. В круге проведены две взаимно перпендикулярные хорды, одна длиной 16 см, другая 14 см. Расстояния этих хорд до центра равны 1 см и 4 см: Определить отрезки, на которые делятся хорды точкой их пересечения.

Построим указанные в задаче объекты; окружность центра О и две взаимно перпендикулярные хорды. Из центра О опустим на хорды перпендикуляры, чтобы найти ^А их расстояние от центра. Тогда в этой задаче можно выделить следующие условия и требования:

Условия: 1) О — центр окружности;

2) АВ — хорда; 3) CD — хорда; 4) АВ _LCZ);

5) АВ= 16; 6) CD= 14; 7) М — точка пересе­чения АВ и CD; 8) OK-LAB; 9) ОК== 1;

10) OL±OD; 11) OL = 4.

Требования: 1) найти AM; 2) найти ВМ; 3) найти СМ; 4) найти DM.

Как видим, эта простая задача содержит 11 условий и 4 требо­вания. А как построены условия? Анализируя их, устанавливаем, что каждое условие содержит один или несколько объектов, о которых идет речь в условиях. Так, в условии 1 имеется один объект — точка О, точно так же в условиях 2 и 3 по одному объекту — отрезки АВ и CD, а вот уже в условии 4 два объекта: отрезки АВ и CD, а в условии 7 далее три объекта: отрезки АВ и CD и точка М. По одному объекту содержат условия 5,6, 9 и 11 и по два объекта условия 8 и 10.

Если в условии имеется один объект, то указывается его качественная или количественная характеристика. Так, в условии

0                     объект — точка О характеризуется как центр окружности, в условиях 2 и 3 — объекты — отрезки АВ и CD характеризуются как хорды. Это все качественные характеристики. В условии 5 дается количественная характеристика объекта — отрезка АВ, а именно указано, что его длина равна 16. Точно так же в условиях 5,

9 и 11 указаны количественные характеристики рассматривае­мых там объектов.

Если же в условии заданы два или более объекта, то указывает­ся соотношение между ними. Так, в условии 4 два объекта — отрезки АВ и CD и в нем указано соотношение между ними: они взаимно перпендикулярны. В условии 7 соотношения между тремя ее объектами состоят в том, что один из них — точка М есть точка пересечения двух других объектов — отрезков АВ и CD и т. д.

Что касается требований, то в математических задачах на­иболее часто встречаются такие виды требований: 1) найти искомое (величину, форму, отношение); 2) преобразовать задан­ный объект в другой вид; 3) построить некоторый объект с заданными характеристиками; 4) доказать справедливость некоторого утверждения.

В приведенной задаче 2 все четыре требования первого вида. Теперь рассмотрим, в чем состоит решение задачи.

Будем решать задачу 2.

1. В четырехугольнике OKML углы L, К и М — прямые по построению, тогда и угол О также прямой, ибо сумма углов четырехугольника равна 360°.

 2. Следовательно, по определению прямоугольника этот четырехугольник OKML — прямоугольник.

3. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому MK = OL, a OL по условию 11 равен 4, значит, и МК—4 и т. д.

Как видим, решение задачи состоит из одного или нескольких шагов. Каждый шаг решения состоит в том, что мы применяем какое-то общее положение математики (определение, теорему, формулу, правило и др.) к условиям задачи или к полученным ранее результатам решения и выводим из этого следствие. Следствием последнего шага решения задачи должно быть то, что требуется в задаче.

Приведем еще один пример.

Задача 3. Разложить на множители многочлен x⁴+ 4 (1).

В этой задаче имеется одно условие: x⁴ + 4— многочлен, и одно требование: преобразовать этот многочлен и представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Это требование второго вида.

Решение этой задачи состоит из следующих шагов.

1. Прибавим к данному многочлену (1) выражение 4х² — 4х², равное нулю, от этого значение (1) не изменится, получим:

х⁴ + 4 = я⁴ + 4 + 4x² — 4х².     (2)

2. Сгруппируем члены (2) следующим образом:

x⁴ + 4 + 4x² — 4x² = (x⁴ + 4x² + 4) — 4x²   (3)

Это мы имели право сделать на основе переместительного и сочетательного законов сложения.

3. Применим к выражению, стоящему в скобках в правой части (3), формулу квадрата суммы, получим:

(х⁴ + 4х² + 4)-4х² = (х² + 2)²-4х².         (4)

4. Представим 4л:² как (2л:)², тогда имеем:

(х² + 2)²-4х² = (х² + 2)²-(2х)².    (5)

5. Применим к правой части (5) формулу разности квадра­тов:

(x² + 2)² - (2x)² = (x² + 2 + 2х) (х²+ 2- 2х). (6)

Сопоставим все полученные равенства на основе аксиомы: если а=Ь и Ь = с, то а=с, получим окончательно:

x⁴ + 4 = (x² + 2 + 2x) (x² + 2 – 2x).    (7)

Итак, решение любой задачи состоит в том, что находят такую последовательность общих положений математики, приме­няя которые к условиям задачи или к их следствиям в конечном итоге удовлетворяем требованиям задачи.

Наибольшая трудность в решении задачи — это нахождение указанной последовательности общих положений математики. Если эта последовательность уже найдена, то все остальные в решении — применение этих общих положений к условиям задачи или к следствиям, не представляет большого труда.

     При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Учителю важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного ее решения.

 Метод проб и ошибок или метод перебора вариантов – это наиболее древний и общеизвестный метод решения задач (см., например, задачи Египетских папирусов 1800-1600 г. до н. э. на «аха»). Этот метод поразительно консервативный: и в наши дни, как и тысячи лет назад, в основе технологии решения многих задач лежит процесс проб и ошибок, суть которого заключается в последовательном выдвижении и рассмотрении всевозможных идей решения задач. При этом всякий раз неудачная идея отбрасывается, а вместо нее выдвигается новая. Правил поиска нет: ключом к решению может оказаться любая идея, даже самая невероятная. Нет и определенных правил первоначальной оценки идей: проходит или не проходит идея, заслуживает ли она проверки или нет – об этом приходится судить субъективно .

Метод проб и ошибок применяется в следующих областях:

·     решение изобретательских задач на первом уровне сложности;

·     решение любых исследовательских задач.

В процессе обучения суть использования метода проб и ошибок состоит в том, что учитель формулирует ученику задачу, которая имеет одно единственное решение, а ученик многократно пробует разные варианты решений до тех пор, пока то единственное правильное решение не будет найдено. При этом критериев оценивания идей нет, ученик самостоятельно выбирает путь, средства и методы решения, основываясь на условиях задачи, собственных ассоциациях и опыте предметной деятельности.

 Схема применения метода проб и ошибок

УУД, которые формируются в процессе применения на уроках математики метода проб и ошибок.

Личностные: смыслообразование.

Регулятивные: планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка.

Познавательные:

·     общеучебные: выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, определение основной и второстепенной информации.

·     логические:  установление причинно-следственных связей, построение логической цепочки рассуждений.

На этапе ознакомления с условиями задачи обучающийся должен установить причинно-следственные связи между понятиями, суметь спланировать свои действия по нахождению верного решения, при этом правильное планирование позволит ускорить данный процесс.

При выборе пути решения (идеи) обучающийся должен уметь находить разные способы решения, сравнивать их и выбирать наиболее эффективные, также построить такую цепочку рассуждений, которая была бы логически верной.

На стадии реализации проверки определенного решения (идеи) обучающийся должен, владея основной и второстепенной информацией, произвести контроль использованного алгоритма решения и оценку полученных результатов в соответствии с условиями задачи.

Далее обучающийся либо приходит к тому, что условия задачи выполнены и задача решена верно, либо к тому, что условия задачи не выполнены. В этом случае обучающийся должен произвести оценку ошибочности своей идеи и откорректировать ее, основываясь на результате предыдущего пути решения, или сформулировать новую идею и вновь соотнести ее с условиями задания, то есть, по сути, начать поиск решения сначала.

Процесс  поиска решения в условиях генерирования, экспертизы и пробы вариантов, при условии связи задачи и методов ее решения со значимыми для учащихся результатами, способствует постановке и формулировке ответа на вопрос «Какое значение имеет для меня учение?».

Систематизация сформулированных положений в контексте процесса формирования УУД позволяет выделить следующее сопоставление :

Схема соотнесения применения метода проб и ошибок с процессом формирования УУД

Анализ представленного результата показывает, что применение метода проб и ошибок способствует процессу эффективного формирования следующих универсальных учебных действий: смыслообразование, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, определение основной и второстепенной информации, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений.

 Задача1. Площадь прямоугольника равна 180 см², его ширина на 8 см меньше длины. Найти длину и ширину этого прямоугольника.

Построим математическую модель задачи:

x(x-8)=180

Для учащихся 5-7 классов никакие известные нам правила преобразований не помогают найти ответ.

Подбираем решение «экспериментально», методом проб и ошибок.

Найдем значение x, такие, что значение выражения x(x-8) равно 180. По смыслу задачи x>8.

Пусть x=9, то 9(9-8) ≠180.

И 9 слишком маленькое число.

Возьмем x=17, то 17(17-8)≠ 180

                x=18, то 18(18-8)=180

                x=19, то 19(19-8)≠ 180

Итак, если x=18, то x-8=10.

Ответ: длина 18см, ширина 10 см.

Задача2. Найти методом проб и ошибок натуральные корни уравнения          x²-8x+15=0

Найдем значения x, такие, что x²-8x+15  равно 0.

Возьмем  x=2, то 2²-8·2+15≠ 0

                 x=3, то 3²-8·3+15= 0

Один натуральный корень найден, продолжим исследование:

                 x=4, то 4²-8·4+15≠0,

                 x=5, то 5²-8·5+15=0,

                x=6, то 6²-8·6+15≠0

Оказалось, что уравнение имеет 2 натуральных корня. Больше быть не может.

Ответ: 3 и 5

Задача3. Найти число x, если выполняется равенство x(17-x)=70.

Найдем такое число х, чтобы значение выражения  х(17-х) было равно 70.

х=6, то 6(17-6)=66<70

х=7, то 7(17-7)>70

х=8, то 8(17-8)>70

х=9, то 9(17-9)>70

х=10, то 10(17-10)=70

Ответ: х=7 и х=10.

Метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в том случае, если математическая модель представляет собой новый  не изученный еще объект, как, например, квадратное уравнение. Однако, при использовании этого метода следует помнить, что подбор не гарантирует полноты решения и поэтому требует дополнительного обоснования того, что найдены все возможные решения и ни одно не пропущено.