МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА-ДЕТСКИЙ САД № 36»
МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ СИФЕРОПОЛЬ РЕСПУБЛИКА КРЫМ
«Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»
РАБОТА
Галан Татьяны Николаевны,
учителя математики
г. Симферополь 2015г
Вспомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.
Функция 
определена и монотонно возрастает на
отрезке [- 1; 1];
.
Функция 
определена и монотонно убывает на отрезке
[- 1; 1];
Функция 
определена и монотонно возрастает на R;
.
Функция 
определена и монотонно убывает на R;
Решение уравнений, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, основывается на свойстве монотонности этих функций. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.
1). 
2). 
3). 
4). 
При решении уравнений , левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, пользуются известными тригонометрическими тождествами.
|
Переходы |
Использована формула |
|
1. |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корнем
каждого из уравнений (1) – (4) может быть только такое число х, для
которого 
В противном случае множество значений
левой и правой частей уравнения не пересекаются.
Пример 1.
Решите уравнение 
.
Решение
; ОДЗ:
arccos x=
+ 2
n,
n
Z
; arccos x=
+ 14
, nZ.
Поскольку
0
arccos x
, то последнее уравнение
не выполняется ни при каких значения nZ.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Пример 2. Решите уравнение 2arcsin x=9.
Решение
2arcsin x=9;
arcsin x=
= 4,5
.
Следовательно, уравнение решений не имеет,
так как 
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решите
уравнение arcsin x
+ arctg
.
Решение
arcsin
x + arctg; ОДЗ:
|x|
arcsin x=
- arctg . Найдем синусы обоих
частей уравнения:
sin
= sin
. Следует обратить
внимание, что полученное уравнение может
быть не равносильным исходному, поэтому его решение обязательно нужно
подставить в исходное уравнение. Из последнего уравнения имеем:
x = sin
= sin 
cos
- cos 
sin= 
.
Рассчитаем
cos. Пусть 
= 
, 
, тогда tg
=
. Но поскольку tg
то 
, то есть угол находиться в
певой четверти единичного круга.
Найдем
теперь cos.
1+
= 
; = 1+ 
= 
; 
= 
;
cos = 
(cos
).
Найдем
sin
= 1 – = 1 – = 
;
sin
(sin).
X= 
= 
= 
.
Ответ: .
Примечание. Если sin
= sin
, причем 
, то 
.
Сделаем проверку arcsin
; 
arctg
=
.
Поскольку 0
arcsin
и 0
– arctg
, то 
и 
,
причем X=
найдено при условии, что
sin 
, значит .
Пример 4.
Решить уравнение 2
.
Решение
2. Если известно, 
–
тогда
2(
-
)+
=
Ответ:-1
Пример 5.
Решить уравнение 
ОДЗ:
=
- 10)=0; x=0
или 13
-5=0;
=
; 1-
=
; =
; 
Проверка
1) X=0;
2arcsin0=0;
arcsin
0=0; 0=0-правильно.
2) X=
; 2arcsin
arcsin
(так как arcsin
2arcsin
(так как 
, поэтому, arcsin
,
то есть 2arcsin). Тогда x= –не является корнем.
3)x=-
2arcsin(-
arcsin(
). Значит x=-
-не является корнем.
Ответ:0.
Пример 6.
Решить уравнение 
Решение
ОДЗ:|sinx|
.
Имеем
Так как 
. Значит, x=0.
Ответ:0
Пример 7.
Решить уравнение 
Решение
Пусть arcsinx=t,
ОДЗ:|x|.
|t|
Ответ:-sin1,5.
Пример 8.
Решить уравнение 
=-
.
Решение
=- ;
ОДЗ:
– 
6x=
; 36=1-108; 144=1; = 
; x=
Проверка:
Значит, x=-
-корень уравнения; x=
– не является корнем.
Ответ:-.
Пример 9. Решите
уравнение 
Решение.
Корень 
является посторонним.
Ответ:1
Пример 10.
Решите
уравнение 
Решение. Пусть 
Тогда 
Пусть 
Тогда 
Тогда исходное
уравнение примет вид 
Тогда 
Поэтому
Ответ:0,1.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема:
«Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»
Цель: практическая работа по решению уравнений с обратными тригонометрическими функциями.
6 661 989 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Галан Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.