Возрастание и убывание функции. Точки экстремума. Экстремумы функции.
если
если
Достаточный признак возрастания, убывания функции.
Если , то
Если , то
Достаточное и необходимое условие постоянства функции.
Если , то
Критические точки функции.
y=f(x) — непрерывная функция; х0 — внутренняя точка её области определения. Тогда
е
сли или , то
Точки экстремума.
, если
, если
Э
кстремумы функции.
Необходимый признак экстремума.
Если , то
Только критические точки являются точками экстремума, но не всякая точка экстремума является критической.
Достаточный признак экстремума функции.
1 признак
Пусть х0 — критическая точка функции y=f(x).
, то
f / (x) + -
х0 x
, то
f / (x) - +
х0 x
2 признак
Если , то . Если , то .
Схема исследования функции на возрастание, убывание, точки экстремума.
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную функции f(x).
3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).
4) Отметить эти точки на координатной прямой. Они разбили её на промежутки.
5) Определить знак производной в каждом промежутке. Показать стрелками, где функция возрастает, а где убывает, используя признак.
6) Выписать в ответ промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.
Пример №1.
f(x) = 3х2 - 9х + 5
1) D(y) = R
2) f / (x) = 3*2x - 9*1 + 0 = 6x - 9
3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - нет таких точек
6x - 9 = 0
6х = 9
х = 9 : 6
х = 1, 5
4
) и 5) - +
1,5 х
Ответ: функция убывает при х є (- ∞; 1,5], функция возрастает при х є [1,5; ∞); х=1,5-точка минимума.
Пример №2.
f(x) = 2x + 1/x2
1) D(y) = (- ∞; 0) U (0; ∞)
2) f / (x) = 2*1 + (x-2) / = 2 - 2x-3 = 2 - 2/x3
3) f / (x) = 0 f / (x) не существует при х=0
2 - 2/x3 = 0
2х3 - 2 = 0
2х3 = 2
х3 = 1
х = 1
4
) и 5)
+ - +
0 1 х
Ответ: функция возрастает при х є (- ∞; 0) U [1; ∞), функция убывает при х є (0; 1]; x = 0 - точка максимума, х = 1 - точка минимума.
Схема исследования функции на максимум и минимум на отрезке.
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную функции f(x).
3) Найти критические точки функции ( f / (x) = 0 или f / (x) не существует).
4) Определить, какие из полученных точек принадлежат отрезку.
5) Найти значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.
6) Из полученных чисел выбрать наибольшее-это максимум функции и наименьшее-это минимум функции.
Пример №1.
f(x) = 2x2 + 8x + 13 [-3; 0]
1) D(y) = R
2) f / (x) = 2*2x + 8*1 + 0 = 4x + 8
3) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет
4x + 8 = 0
4х = -8
х = -8 : 4
х = -2
4) -2 є [-3; 0]
5) f(-3) = 2*(-3)2 + 8*(-3) + 13 = 18 - 24 + 13 = 7
f(-2) = 2*(-2)2 + 8*(-2) + 13 = 8 - 16 + 13 = 5
f(0) = 2*02 + 8*0 + 13 = 13
6) Ответ: min f(x) = f(-2) = 5, max f(x) = f(0) = 13.
[-3;0] [-3;0]
Пример №2.
f(x) = x3 - 1,5x2 - 6x + 1 [-2; 0]
1) D(y) = R
2) f / (x) = 3x2 - 1,5*2x - 6*1 + 1 = 3x2 - 3x - 6
3
) f / (x) = 0 f / (x) не существует - таких точек нет
3x2 - 3x - 6 = 0 : 3
x2 - x - 2 = 0
По теореме Виета х1 = -1, х2 = 2
4) х1 = -1 є [-2; 0]
х2 = 2 є [-2; 0]
5) f(-2) = (-2)3 - 1,5*(-2)2 - 6*(-2) + 1 = -8 - 6 + 12 + 1 = -1
f(-1) = (-1)3 - 1,5*(-1)2 - 6*(-1) + 1 = -1 - 1,5 + 6 + 1 = 4,5
f(0) = 03 - 1,5*02 - 6*0 + 1 = 1
6) Ответ: min f(x) = f(-2) = -1, max f(x) = f(-1) = 4,5.
[-2;0] [-2;0]
Схема исследования функции с помощью производной и построение графика функции.
Пример №1.
f(x) = 2x2 - x4
f(x) = f(-x) - чётная
f(-x) = -f(x) - нечётная
f(-x) = 2*(-x)2 - (-x)4 = 2x2 - x4 = f(x) - чётная
3) Точки пересечения с осями координат.
С
осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0
0 = 2x2 — x4 у = 2*02 - 04 = 0
х2 (2 - х2) = 0 (0;0)
х2 = 0 или 2 - х2 = 0
х = 0 х2 = 2
х = + √2
(0;0), (√2;0), (-√2;0)
4) Производная, критические точки.
f / (x) = 2*2x - 4x3 = 4x - 4x3
4x - 4x3 = 0
4x(1 - x2) = 0
4x = 0 или 1 - х2 = 0
х = 0 х2 = 1
х = + 1
критические точки: 0; 1; -1
5) Промежутки возрастания, убывания, точки
экстремума.
+ - + -
-1 0 1 х
т. max т. min т. max
6) Найти значения функции в точках максимума и
минимума (в дополнительных точках, если надо)
f(-1) = 2*(-1)2 - (-1)4 = 2 - 1 = 1
f(0) = 2*02 - 04 = 0
f(1) = 2*12 - 14 = 2 - 1 = 1
7) Построить график функции.
у
1
-1 0 1 х
Пример №2.
x
f(x) = x2 - 1
2) Чётность, нечётность функции.
f(x) = f(-x) - чётная
f(-x) = -f(x) - нечётная
f(-x) = -x = _ x = - f(x) - нечётная
(-x)2 - 1 x2 - 1
3) Точки пересечения с осями координат.
С осью Ох у = 0 С осью Оу х = 0
0 = x у= 0 =0
x2 -1 02 -1
x=0 (0;0) (0;0)
4) Производная, критические точки.
f / (x) = (-x2 -1)/(x2 -1)2
-x2 -1 =0
(x2 -1)2
хє Ǿ критических точек нет
5) Промежутки возрастания, убывания, точки
экстремума.
f / (x) < 0 для любого х ═> функция убывает на всей области определения, точек экстремума нет
6) Найти значения функции в точках максимума и
минимума (в дополнительных точках, если надо)
f(-2) = -2 = -2/3 f(-0,9) = -4,7
(-2)2 -1 f(0,9) = 4,7
f(2) = 2 = 2/3 f(1,1) = 5,2
(2)2 -1
f(-1,1) = -5,2
7) Построить график функции.
у
1
-1 0 1 х
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Материал содержит теоретическую часть и практическую. Вся теория собрана в виде определений и схем. Это: определение возрастающей, убывающей функции, признак возрастания или убывания функции, понятие критических точек, точек экстремума, экстремумов функции, признаки экстремума функции, схема исследования функции на возрастание, убывание, точки экстремума, схема исследования функции на максимум и минимум функции на отрезке, схема исследования функции и построение её графика. В практической части разобраны конкретные примеры на каждую схему.
6 665 181 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дрожжина Наталия Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.