ГОСУДАРСТВЕННОЕ
АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ
МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»
КРАТКИЙ
СПРАВОЧНИК
по математике
Построение графиков
функции, геометрические преобразования графиков функций, исследование графиков
функций, графический метод решения уравнений
|
3
|
|
5
|
|
7
|
|
8
|
|
10
|
|
11
|
|
12
|
|
13
|
|
14
|
|
14
|
|
17
|
|
19
|
|
20
|
|
21
|
|
22
|
arctg
|
23
|
|
24
|
Преобразования графиков
функций
|
25
|
Симметричные преобразования
|
27
|
Параллельный перенос
|
29
|
Сжатие и растяжение
|
31
|
Построение графика
функции y=|f(x)|
|
33
|
Построение графика
функции y=f(|x|)
|
34
|
Обратное преобразование графика функции
|
35
|
Некоторые алгоритмы построения и
свойства графиков функций
|
36
|
Построение графиков функций у = sin kx и y = cos kx
|
37
|
|
|
|
|
|
|
Линейная функция
Линейная функция - это функция вида:
y = kx + b
здесь k и b являются действительными числами.
Линейная функция имеет следующие свойства:
1. y = kx + b - это ни чётная, ни
нечётная функция;
2. Область определения функции y = kx + b - вся числовая прямая;
3. Множество значений лнейной функции - вся числовая прямая;
4. Если k > 0, то функция возрастает, а если k < 0, то линейная функция
убывает.
Коэффициент k в формуле линейной функции
называется угловым коэффициентом. Угловой коэффициент определяет угол между
графиком линейной функции и положительным направлением оси абсцисс.
График линейной функции есть прямая. Вот график
линейной функции y = 2x + 1
здесь угловой коэффициент больше нуля, угол
прямой y = 2x + 1 с положительным направлением оси x - острый.
А теперь посмотрим как изменится график линейной
функции y = 2x + 1, если угловой коэффициент сделать отрицательным, т.е. y =
-2x + 1.
Здесь угол прямой y = -2x + 1 с положительным
направлением оси x - тупой.
Как изменяется график линейной функции в
зависимости от числа b в формуле линейной функции y = kx + b? Если b увеличивать,
график смещается вверх, если число b уменьшать, то график y = kx + b смещается
вниз.
y = x2
Функция игрек равен икс в квадрате имеет
следующие свойства:
1. Функция y = x2 - это четная
функция, т.е. при изменении знака аргумента на противоположный, значение
функции не меняется;
2. На промежутке от минус бесконечности до нуля функция игрек равен икс в
квадрате убывает;
3. На промежутке от нуля до плюс бесконечности функция игрек равен икс в
квадрате возрастает;
4. Область определения функции y = x2 - вся числовая прямая;
5. Множество значений функции y = x2 - от нуля до плюс
бесконечности.
График функции y = x2 называется
парабола:
y = x3
Функция игрек равен икс в кубе имеет следующие
свойства:
1. Функция y = x3 - это
нечетная функция, т.е. при изменении знака аргумента на противоположный,
значение функции меняется;
2. Функция игрек равен икс в кубе возрастает на всей числовой прямой;
3. Область определения функции y = x3 - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции y = x3 - вся числовая прямая.
График функции y = x3 называется
кубическая парабола:
Степенная
функция
Функция y = xn называется степенной.
Показатель степени n принадлежит множеству действительных чисел.
График степенной функции при том, что n
натуральное и n больше или равно двум называется параболой n-й степени. Если n
четное, то функция y = xn является четной, её график симметричен
относительно оси ординат. Чем больше четное n, тем круче поднимаются вверх
ветви параболы:
Степенная функция с целым отрицательным
показателем y = x-n, где n четное и больше или равно двум, является
четной, её график симметричен относительно оси ординат. Пример для y = x-2
Другой пример для y = x-4:
Если n нечетное и n больше или равно трем, то
функция y = xn является нечетной, её график симметричен относительно
начала координат. Чем больше нечетное n, тем круче поднимаются вверх ветви
параболы:
Степенная функция с целым отрицательным
показателем y = x-n, где n нечетное и больше или равно трем,
является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Пример
для y = x-3:
Функция y = ax называется
показательной, здесь a > 0 и a не равно 1.
Свойства показательной функции зависят от
значения основания a.
Свойства показательной функции при a > 1:
1. Функция y = ax является ни
четной, ни нечетной;
2. Функция игрек равен "а" в степени икс возрастает на всей числовой
прямой;
3. Область определения функции y = ax - вся числовая прямая;
4. Область значений функции y = ax - промежуток от нуля до плюс
бесконечности.
График функции y = ax при a = 2:
Свойства показательной функции при 0 < a <
1:
1. Функция y = ax является ни
четной, ни нечетной;
2. Функция игрек равен "а" в степени икс убывает на всей числовой
прямой;
3. Область определения функции y = ax - вся числовая прямая;
4. Область значений функции y = ax - промежуток от нуля до плюс
бесконечности.
График функции y = ax при a = 0,5:
Функция y = ex - это частный случай
показательной функции. Основанием функции y = ex является
иррациональное число e = 2.7182818284... Эта функция обладает характерной
особенностью: касательная к графику функции y = ex в точке x = 0, y=
1 составляет угол 45 градусов с осью X.
График функции игрек равно "е" в
степени икс:
Логарифмическая
функция
Логарифмическая функция y = logax,
т.е. логарифм икс по основанию а. Логарифмическая функция является обратной по
отношению к показательной функции.
Свойства логарифмической функции зависят от
значения основания a.
Свойства логарифмической функции при a > 1:
1. Функция y = logax является
ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" возрастает на промежутке -
от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = logax - интервал от нуля до плюс
бесконечности;
4. Область значений функции y = logax - вся числовая прямая.
График функции y = logax при a = 2:
Свойства логарифмической функции при 0 < a
< 1:
1. Функция y = logax является
ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" убывает на промежутке - от
нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = logax - интервал от нуля до плюс
бесконечности;
4. Область значений функции y = logax - вся числовая прямая.
График функции y = logax при a = 0,5:
Натуральный логарифм y = ln x, т.е. логарифм икс
по основанию "e", является частным случаем обычного логарифма.
Функция натуральный логарифм является обратной по отношению к функции y = ex.
Свойства натурального логарифма
1. Функция y = ln x является ни четной,
ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "e" возрастает на промежутке -
от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = ln x - интервал от нуля до плюс
бесконечности;
4. Область значений функции y = ln x - вся числовая прямая.
График функции y = ln x:
Тригонометрические
функции
Тригонометрические функции: синус, косинус,
тангенс, котангенс, аркфункции.
Функция синус y = sin x.
Свойства функции синус:
1. Функция синус y = sin x является
нечетной;
2. y = sin x является возрастающей в интервале [0, П/2], в интервале [П/2,
3П/2] убывает, а в интервале [3П/2, 2П] вновь возрастает;
3. Область определения функции синус - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции синус от -1 до 1;
5. Функция y = sin x является периодической с периодом 2Пи.
График функции y = sin x синусоида
cos
Функция косинус y = cos x.
Свойства функции косинус:
1. Функция косинус y = cos x является
четной;
2. y = cos x является убывающей в интервале [0, Пи], в интервале [Пи, 2Пи]
возрастает, эти интервалы проходим против часовой стрелки;
3. Область определения функции косинус - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции косинус от -1 до 1;
5. Функция y = cos x является периодической с периодом 2Пи.
График функции y = cos x косинусоида
tg
Функция тангенс y = tg x.
Свойства функции тангенс:
1. Функция тангенс y = tg x является
нечетной;
2. y = tg x возрастает в интервале [-Пи/2, Пи/2];
3. Область определения функции тангенс интервал [0, Пи], кроме точки Пи/2;
4. Множество значений функции тангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = tg x является периодической с периодом Пи.
График функции y = tg x тангенсоида,
вертикальные линии на графике - это асимптоты тангенсоиды, т.е. графика функции
y = tg x
ctg
Функция котангенс y = ctg x.
Свойства функции котангенс:
1. Функция котангенс y = ctg x является
нечетной;
2. y = ctg x убывает в интервале [0, Пи];
3. Область определения функции котангенс интервал от нуля до Пи, кроме точек
ноль и Пи;
4. Множество значений функции котангенс - вся числовая прямая;
5. Функция y = ctg x является периодической с периодом Пи.
На картинке график функции y = ctg x,
вертикальные линии на графике - это асимптоты графика функции y = ctg x
arcsin
Функция арксинус y = arcsin x. Функция arcsin
является обратной для функции sin на отрезке -П/2 до П/2.
Свойства функции арксинус:
1. y = arcsin x является нечетной
функцией;
2. Функция арксинус - возрастающая функция;
3. Область определения функции арксинус от -1 до 1;
4. Множество значений функции арксинус от -П/2 до П/2.
График функции y = arcsin x
arccos
Функция арккосинус y = arccos x. Функция arccos
является обратной для функции cos на отрезке от 0 до Пи.
Свойства функции арккосинус:
1. y = arccos x является ни четной, ни
нечетной функцией;
2. Функция арккосинус - убывающая функция;
3. Область определения функции арккосинус от -1 до 1;
4. Множество значений функции арккосинус от 0 до Пи.
График функции y = arccos x
arctg
Функция арктангенс y = arctg x. Функция arctg
является обратной для функции tg на отрезке от -Пи/2 до Пи/2.
Свойства функции арктангенс:
1. y = arctg x является нечетной
функцией;
2. Функция арктангенс - возрастающая функция;
3. Область определения функции арктангенс - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции арктангенс от -П/2 до П/2.
График функции y = arctg x
arcctg
Функция арккотангенс y = arcctg x. Функция
arcctg является обратной для функции ctg на отрезке от 0 до Пи.
Свойства функции арккотангенс:
1. y = arcctg x является ни четной, ни
нечетной функцией;
2. Функция арккотангенс - убывающей функция;
3. Область определения функции арккотангенс - вся числовая прямая;
4. Множество значений функции арккотангенс от 0 до Пи.
График функции y = arcctg x
Преобразования
графиков функций
Определение. Преобразования
графиков функций — это
линейные преобразования функции y = f(x)
или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m,
а также преобразование с использованием модуля.
Зная, как строить графики функции y
= f(x), где y
= kx + b, y = ax2, y = xn ,
y=xk,
y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=axy=logax , можно построить график функции y = af(kx + b) + m.
Общий вид функции
|
Преобразования
|
y = f(x − b)
|
Параллельный
перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
- вправо, если b > 0;
- влево, если b < 0.
|
y = f(x + b)
|
- влево, если b > 0;
- вправо, если b < 0.
|
y = f(x) + m
|
Параллельный
перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
- вверх, если m > 0,
- вниз, если m < 0.
|
|
Отражение
графика
|
y = f(− x)
|
·
симметричное отражение
графика относительно оси ординат.
|
y = − f(x)
|
·
симметричное отражение
графика относительно оси абсцисс.
|
|
Сжатие и
растяжение графика
|
y = f(kx)
|
- При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k
раз,
- при 0 < k < 1
— растяжение графика от оси ординат в k раз.
|
y = kf(x)
|
- При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k
раз,
- при 0 < k < 1
— сжатие графика к оси абсцисс в k раз.
|
|
Преобразования
графика с модулем
|
y = | f(x) |
|
- При f(x) > 0 —
график остаётся без изменений,
- при f(x) < 0 — график
симметрично отражается относительно оси абсцисс.
|
y = f(| x |)
|
- При — график остаётся без изменений,
- при x < 0 — график симметрично отражается
относительно оси ординат.
|
СИММЕТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
График функции y = -f(x) получается с помощью
симметричного преобразования графика функции y = f(x)
относительно оси х, при этом точка пересечения с осью х остается
неизменной.
Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции y =
sin(x)
Симметричным для графика y = sin(x) является
график функции y = - sin(x)
Для более наглядного представления построим графики исходной
функции и преобразованной в одной плоскости:
Рассмотрим данное преобразование на других примерах:
Квадратичная функция:
Показательная функция:
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
График функции y = f(x - a) получается с
помощью переноса графика функции y =f (x) относительно оси х на вправо при а > 0 и влево при a
< 0.
Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции
Перенесем данный график на 3 единичных отрезка влево,
прибавив к x число 3: y =
Точно также перенесем график на 2 единичных отрезка вправо,
отняв от x число 2:
y =
Для более наглядного представления построим графики исходной
функции и преобразованной в одной плоскости:
Рассмотрим данное преобразование на других примерах:
Квадратичная функция:
Синусоидальная функция:
СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ
Сжатие: График функции y = f(аx) (a
> 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f(x)
вдоль оси х в а раз.
Растяжение: График функции y=f(аx) (1 > a
> 0) получается с помощью растяжения графика функции y = f(x)
вдоль оси х в 1/а раз.
При этом в обоих случаях точки пересечения графика с осью у
остаются неизменными
Рассмотрим данный вид преобразования на графике функции
С помощью растяжения графика на
2 получаем график функции y =/2
Для более наглядного представления построим графики исходной
функции и преобразованной в одной плоскости:
Рассмотрим данные преобразование на других примерах:
Показательная функция:
Синусоидальная функция:
Построение графика функции y=|f(x)|
Части графика y = f(x), лежащие выше оси х
и на оси х, остаются без изменения, а лежащие ниже оси х -
симметрично отражаются относительно этой оси (вверх)
Функция y = |f(x)| неотрицательна (её график
расположен в верхней полуплоскости).
Рассмотрим функцию y = |x2 - 4x +
3|
Рассмотрим данные преобразование на других примерах:
y = |log2x|:
y = |sin x|:
Построение графика функции y=f(|x|)
Часть графика y = f(x), лежащая левее оси у,
удаляется, а часть, лежащая правее оси у остаётся без изменения и
симметрично отражается относительно оси у (вверх)
Функция y = f(|x|) чётная (её график
симметричен относительно оси у).
Рассмотрим функцию y = x2 - |x| + 3
Рассмотрим данные преобразование на других примерах:
y = log2|x|:
y = sin |x|:
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
График функции y = g(x), обратной функции y
= f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y
= f(x) относительно прямой y = x.
Данное преобразование можно проводить только для функций,
имеющих обратные.
Например:
Логарифмической функции обратна показательной
Квадратичной функции обратна y =:
Косинусу обратен арккосинус:
НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ
ПОСТРОЕНИЯ И СВОЙСТВА ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
1. Алгоритм построения графика функции
y = cos2x:
- Построить график y = cosx.
- Сжать в 2 раза по оси ОХ.
Свойства функции y = cos2x:
D(y) = R; E(y) = [–1; 1];
Период: ;
четная;
Возрастает: [–/2
+ n; n]
Убывает: [n;
/2 + n]
Нули функции:(/4
+ 1/2n;
0)
Точки max: n;
Точки min: /2 + n;
2. Алгоритм построения графика функции
y = cos1/2x:
- Построить график y = cosx.
- Растянуть в 2 раза по оси ОХ.
Свойства функции y = cos1/2x:
D(y) = R; E(y) = [–1; 1];
Период: 4;
четная;
Возрастает: [– 2
+ 4n; 4n]
Убывает: [4n;
2 + 4n]
Нули функции:( +
2n; 0)
Точки max: 4n;
Точки min: 2 + 4n;
3. Алгоритм построения графика функции
y = sin(x + 2):
- Построить график y = sinx.
- Сдвинуть график на 2 единицы влево по оси ОХ.
4. Алгоритм построения графика функции
y = sin(x – 2):
- Построить график y = sinx.
- Сдвинуть график на 2 единицы вправо по оси ОХ.
5. Алгоритм построения графика функции
y = 2cosx:
- Построить график y = cosx.
- Увеличить ординату в 2 раза.
6. Алгоритм построения графика функции
y = 1/2cosx:
- Построить график y = cosx.
- Уменьшить ординату в 2 раза.
7. Алгоритм построения графика функции
y = – cosx:
- Построить график y = cosx.
- Выполнить зеркальное отображение относительно оси
ОХ.
8. Алгоритм построения графика функции
y = sinx + 2:
- Построить график y = sinx.
- Сдвинуть график на 2 единицы вверх по оси Оy.
9. Алгоритм построения графика функции
y = sinx – 2:
- Построить график y = sinx;
- Сдвинуть график на 2 единицы вниз по оси Оy.
10. Алгоритм построения графика функции y=3sinх
- Построить график функции y=sinx
- Осуществить растяжение от оси
х с коэффициентом 3
11. Алгоритм построения графика функции y=-1/3cosx-1
- Построить график функции
y=cosx
- Осуществить сжатие к оси х с
коэффициентом 3
- Подвергнуть график
преобразованию симметрии относительно оси х
- Осуществить сдвиг вдоль оси у
на 1 единицу масштаба вниз
12. Алгоритм построения графика функции y=-1/2cosx
- Построить график функции y=cosx
- Осуществить сжатие к оси х с
коэффициентом 2
- Подвергнуть график
преобразованию симметрии относительно оси х
13. Алгоритм построения графика функции y=4sin(x-π/6)
- Построить график функции y=sinx
- Осуществить сдвиг вдоль оси x на π/6 единиц масштаба
вправо
- Осуществить растяжение от оси х
с коэффициентом 4
Построение графиков функций
у = sin kx и y = cos kx
Для того чтобы построить графики функций у = sin kx и y = cos kx будет
использован прием растяжения и сжатия графика по оси абсцисс. Этот
прием часто применяется при построении графиков тригонометрических функций.
Причём при 0 < k < 1, график "растягивается", а при k > 1,
"сжимается". Построить график функции .
Для построения графика используем схему исследования
функции, рассмотренную в предыдущем занятии.
Областью определения функции является
вся числовая прямая. D(y) = R.
Множество значений функции промежуток [-1;1]. E(y) = [-1;1].
Функция нечетная, т.к. =
- . График функции симметричен относительно
начала координат.
Периодическая. Период данной функции найдем из равенства , где Т - наименьший положительный период
для функции y = sinx, а k - коэффициент при аргументе (в данном случае ).
Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Если у = 0, то = 0, откуда =
k, x = 2k, а такими точками
являются (0; 0), (2; 0), нам достаточно знать только эти точки, так
как функция периодична и нечётна, и достаточно построить график только на
отрезке [0; 2].
Максимум функции равен 1 при =
, т. е. при х = .
Минимум функции равен -1 при =
, т.е. при х = 3.
По этим данным построим график функции .
Сначала график строим для положительного полупериода [0; 2], затем на отрезке, соответствующем
отрицательному полупериоду [0; -2] (рис. 1), и, наконец, на всей области
определения (штриховая линия).
Но график функции можно
построить иначе, приняв за исходный известный нам график функции
у = sinx, нанесенный штриховой линией на рисунке 2. Замечаем, что период
исходной функции y = sinx равен
T = 2, а период
заданной функции составляет t = 4, т. е. вдвое больше
периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить,
получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 2) путем растяжения его
вдоль оси Ох вдвое.
График функции y = sin 4x будем строить аналогично предыдущему, учитывая, что k
= 4, период этой функции равен: . Область
определения функции — вся числовая прямая. Множество значений — отрезок [-1;
1].
График функции у = sin 4х строим путем сжатия по оси Ох исходного графика y =
sinx в 4 раза (рис. 3), так как период у заданной функции в 4 раза меньше
периода 2 исходной
функции.
Таким образом, если известен график y = f (x), то график функции y =
f(kx) строится посредством сжатия по оси Ох исходного графика пропорционально
коэффициенту k при аргументе, а именно: если k > 1, то сжатие в k раз; если
0 < k < 1, то растяжение в 1/k раз.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.