ГОСУДАРСТВЕННОЕ
АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ
МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»
КРАТКИЙ
СПРАВОЧНИК
по
математике
(тригонометрия)
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Предмет тригонометрия
Слово
"тригонометрия" искусственно составлено из греческих слов:
"тригонон" - треугольник и "метрезис" - измерение. Основная
задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении
неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в
тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его
сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника - по площади и двум углам и
т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению
треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию
и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.
Учение о
решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией;
в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской
или прямолинейной тригонометрией.
Тригонометрические
функции
Основные
формулы тригонометрии
Перевод градусной меры
угла в радианную и обратно. Пусть a°
- градусная мера угла, b - радианная, тогда
справедливы формулы:
Формулы
зависимости между функциями одного и того же аргумента
Формулы
сложения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в
последних двух формулах  и соответственно 
|
|
|
|
|
|
(
в последних двух формулах  и соответственно 
|
Формулы
двойных и половинных углов
Формулы
преобразования суммы в произведение
Формулы
преобразования произведения в сумму
Формулы
приведения
Решение
простейших тригонометрических уравнений
|
Уравнение
|
Общее
решение
|
Частные
случаи
|
|
|
|
|
|
 ,
|
|
|
|
|
|
 ,
|
|
|
|
|
|
 ,
|
|
|
|
|
|
 ,
|
|
|
|
|
Для решения простейших
тригонометрических неравенств 
, 
, 
, 
(вместо
знака 
могут стоять 
, 
, 
)
применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей
функции с прямой 
, расположенные ближе к началу координат, и
затем используют периодичность функции.
Для решения более сложных
тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью
упрощений.
Тригонометрические
функции половинного аргумента
(Выбор
знака перед корнем зависит от того, в какой четверти
находится
угол 
)
Выражение
тригонометрических функций через одну из них того же аргумента
(Выбор
знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол 
)
1)
Через 
2)
Через 
3)
Через 
4)
Через 
Выражение
тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента
Преобразование
степеней синуса и косинуса
5) Графики
и основные свойства тригонометрических функций
|
|
 для 
|
|
 для 
|
|
 для 
|
|
 для 
|
|
 ,  ,  ,
период  , нечетная
|
|
|
для
|
|
для
|
|
для 
|
|
для 
|
|
 , , ,
период , четная
|
|
|
для 
|
|
 для 
|
|
для 
|
|
 , \ ,  ,
период  , нечетная
|
|
|
для 
|
|
для
|
|
для
|
|
 , \ ,  ,
период , нечетная
|
Графики и основные
свойства обратных тригонометрических функций
|
|
для 
|
|
для 
|
|
для 
|
|
Функция нечетная
|
|
 ,  ,  ,
непериодическая функция
|
|
|
для
|
|
для
|
|
для 
|
|
Функция ни четная, ни нечетная
|
|
 ,  ,  ,
непериодическая функция
|
|
|
для 
|
|
для 
|
|
для 
|
|
Функция нечетная
|
|
 , ,  ,
непериодическая функция
|
|
|
для 
|
|
для
|
|
для
|
|
Функция ни четная, ни нечетная
|
|
 ,  ,  , непериодическая
функция
|
Связь
тригонометрических функций с обратными тригонометрическими функциями
осуществляется при помощи следующей таблицы
|
|
|
|
|
|
|
-90°=
|
-1
|
-
|
-¥
|
-
|
|
-60°=
|
|
-
|
-
|
-
|
|
-45°=
|
|
-
|
-1
|
-
|
|
-30°=
|
|
-
|
|
-
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
¥
|
|
30°=
|
|
|
|
|
|
45°=
|
|
|
1
|
1
|
|
60°=
|
|
|
|
|
|
90°=
|
1
|
0
|
¥
|
0
|
|
120°=
|
-
|
|
-
|
|
|
135°=
|
-
|
|
-
|
-
1
|
|
150°=
|
-
|
|
-
|
-
|
|
180°=
|
-
|
-1
|
-
|
-
¥
|
Тригонометрические
функции двойного и тройного аргумента
Примеры решения задач
1. 
Найти значение следующих
тригонометрических выражений:
,
, если 
.
Решение.
Выпишем формулы для нахождения ,
:
,
,
.
.
Из основного
тригонометрического тождества найдем 
:
Далее найдем значения
искомых выражений:
Ответ: 
, 
, 
2. 
Доказать тождество:
Решение.
Приведем левую часть к 1:
.
Тождество
доказано.
3. 
Вычислить значение выражения:
Решение.
Используя формулы приведения, получим:
Итак,
значение выражения 0.
Пояснения
к разделу: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Для решения произвольных
тригонометрических уравнений и неравенств применяют те же основные приемы,
которые были описаны ранее для решения алгебраических уравнений: введение новой
переменной и разложение на множители левой части уравнения или неравенства.
Из общих соображений
выскажем следующее: при замене одной функции другой следует избегать введения
радикалов, так как это усложняет решение и требует проверки найденных корней
(при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни).
Иногда оказывается
возможным, перенеся все члены уравнения в левую часть, разложить ее на
сомножители.
1. Уравнения,
однородные относительно 
и 
.
Каждое из уравнений:
,
и
т.д.
называется однородным
относительно 
и . Сумма показателей
степеней у 
и во всех членах такого
уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения.
Делением на 
, 
степень однородного
уравнения, оно приводится к уравнению, алгебраическому относительно 
.
Разделив, например,
уравнение 
на 
, получим уравнение:
.
При 
эти уравнения
эквивалентны, так как если 
, то из первого уравнения получим, что и 
, что
невозможно (и при одном и том же
аргументе в нуль не обращаются). Далее из эквивалентного уравнения находим , решая
квадратное уравнение относительно 
, а по значениям -
соответствующие значения
.
4. Решить уравнение:
Решение.
Заменяя 
и 
, получим однородное
уравнение:
,
или
.
Деля на 
(
),
получим:
.
Вводим новую переменную 
и
получаем квадратное уравнение относительно нее:
.
Корни этого уравнения: 
. Далее
получаем равносильную совокупность уравнений:
2. Уравнения,
левая часть которых раскладывается на множители, а правая часть равна нулю.
Перенеся все члены любого
уравнения в левую часть, его можно привести к виду 
.
Если левая часть этого
уравнения раскладывается на сомножители, то каждый из них приравнивается к
нулю, и уравнение распадается на несколько простых уравнений. Очень важно при
этом иметь в виду, что корнями первоначального уравнения будут только те из
корней полученных уравнений, которые входят в область определения
первоначального уравнения.
Рассмотрим пример.
5. Решить уравнение:
.
Решение.
Здесь целесообразно использовать формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму. Воспользовавшись этими формулами, получим
уравнение:
или 
.
Разность косинусов
преобразуем в произведение 
, которое равносильно совокупности уравнений:
3. Уравнения
вида 
.
Эти уравнения можно
решать при помощи универсальной тригонометрической подстановки 
,
воспользовавшись формулами, выражающими 
и 
через 
:
и
.
Исходное уравнение
сводится к дробно-рациональному алгебраическому уравнению, решение которого
нами было рассмотрено ранее.
Такие уравнения
рациональнее решать введением вспомогательного угла: 
. Рассмотрим
дальнейший ход решения уравнения путем эквивалентных преобразований левой
части:
.
Введем обозначения:
и
.
Заметим, что выражение в
скобках в этом случае преобразуется в косинус разности аргументов:
.
Таким образом, исходное
уравнение приводится к эквивалентному простейшему тригонометрическому
уравнению:
,
или 
,
решение которого, суть
,
.
Задача решена в общем
виде.
6. Решить уравнение:
.
Решение.
(первый способ) Заменив и 
через , получим:
.
Введем новую переменную: и получим эквивалентное квадратное
уравнение относительно 
:
,
у которого дискриминант
равен нулю и, следовательно, имеем единственный корень 
. Задача свелась
к решению уравнения:
;
; 
, .
Решение.
(второй способ). Введем вспомогательный угол: 
.
Тогда решение исходного
уравнения сразу запишется в виде:
=
, .
Иными словами, мы
получили тот же ответ, что не удивительно.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.