Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса. ПОДАТЬ ЗАЯВКУ НА КОНКУРС.
Главная / Математика / Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Тригонометрия"

Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Тригонометрия"

Скачать материал

hello_html_m23dfebe8.gifhello_html_m5f4cedc0.gifГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»







КРАТКИЙ



СПРАВОЧНИК



по математике

(тригонометрия)



















ТРИГОНОМЕТРИЯ

Предмет тригонометрия

Слово "тригонометрия" искусственно составлено из греческих слов: "тригонон" - треугольник и "метрезис" - измерение. Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника - по площади и двум углам и т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Тригонометрические функции

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно. Пусть a° - градусная мера угла, b - радианная, тогда справедливы формулы:

hello_html_m119664b8.gif

hello_html_388684ad.gif

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента

1.

hello_html_435ba8cc.gif

4.

hello_html_34c91502.gif

2.

hello_html_424178ad.gif

5.

hello_html_39470c18.gif

3.

hello_html_59f31f62.gif

6.

hello_html_70dd024f.gif


Формулы сложения

hello_html_m7a2247e5.gif

hello_html_ba17712.gif

hello_html_m30abc113.gif

hello_html_1fe5716d.gif

(в последних двух формулах hello_html_66161826.gif и соответственно hello_html_a1fb2b4.gif

hello_html_m30788347.gif

hello_html_m473fb85f.gif

( в последних двух формулах hello_html_m766456c8.gif и соответственно hello_html_m16cacb58.gif

Формулы двойных и половинных углов

1.

hello_html_7c72d7e2.gif

5.

hello_html_m7fd944d0.gif

2.

hello_html_9c45767.gif

6.

hello_html_6978a0d.gif

3.

hello_html_m4c1d99a2.gif

7.

hello_html_6eab05ad.gif

4.

hello_html_m3df202a6.gif

8.

hello_html_m585bf308.gif

Формулы преобразования суммы в произведение

hello_html_mb4ccfb0.gif


hello_html_m2522072a.gif

hello_html_729aa1e2.gif

hello_html_m36bef299.gif

hello_html_m508ed0c6.gif

hello_html_m16565673.gif

hello_html_5be74e73.gif


Формулы преобразования произведения в сумму

hello_html_m23caa28.gif

hello_html_m2bdd90f1.gif

hello_html_7ac720e8.gif

Формулы приведения

hello_html_m7e91be2b.gif

hello_html_m39f16c31.gif

hello_html_md30e9d.gif

hello_html_m30804592.gif

hello_html_508b7caa.gif

hello_html_m78d347a7.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_1390d01d.gif

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_67a20dac.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5aef3502.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_13d7f4af.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_3ab94070.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_me04acfa.gif

hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5739787c.gif

hello_html_7a6a10d6.gif

hello_html_m5532d307.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_36170045.gif

hello_html_68d818b8.gif

hello_html_m116c8b0e.gif

hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_m67fd6074.gif

hello_html_m5739787c.gif







Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение

Общее решение

Частные случаи

hello_html_66a0e68a.gif

hello_html_6d49674e.gif

hello_html_65eb7466.gif

hello_html_24c09a0.gif,

hello_html_63973dda.gif

hello_html_m4a177071.gif

hello_html_62a8f35.gif

hello_html_5962e948.gif

hello_html_m6ae0139.gif

hello_html_m335ccbe3.gif,

hello_html_63973dda.gif

hello_html_6e8f4c2e.gif

hello_html_m57a6e07c.gif

hello_html_79e3a3c.gif

hello_html_m6217e380.gif

hello_html_3d0c2b92.gif,

hello_html_213bf720.gif

hello_html_51236de.gif

hello_html_269acda0.gif

hello_html_5962e948.gif

hello_html_6075387c.gif

hello_html_m30d06fb4.gif,

hello_html_213bf720.gif

hello_html_5330fc42.gif

hello_html_6daa85cd.gif

hello_html_79e3a3c.gif

hello_html_6075387c.gif

Для решения простейших тригонометрических неравенств hello_html_m7cb1629e.gif, hello_html_m623b4c6b.gif, hello_html_m2e8040a.gif, hello_html_m5de3eae8.gif (вместо знака hello_html_23a4f722.gif могут стоять hello_html_7d72a047.gif, hello_html_5bdd7094.gif, hello_html_2464d612.gif) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей функции с прямой hello_html_m70200518.gif, расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции.

Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений.

Тригонометрические функции половинного аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти

находится угол hello_html_723eef1e.gif)

hello_html_59f8e86d.gif

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол hello_html_m17c0599a.gif)

  1. Через hello_html_60f9ba83.gif

hello_html_31090054.gif

  1. Через hello_html_m16c5102c.gif

hello_html_6c801543.gif

  1. Через hello_html_36170045.gif

hello_html_13b33b51.gif

  1. Через hello_html_m48cdcaa9.gif

hello_html_m165a477f.gifhello_html_m62a00377.gif




Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

hello_html_m7d69598a.gif

Преобразование степеней синуса и косинуса

hello_html_m139b385d.gif

  1. Графики и основные свойства тригонометрических функций

Синус

hello_html_m7819262a.gifдля hello_html_m7f68e517.gif

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m6adc38b1.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_m1a313a40.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_m7c46555f.gif

hello_html_6c878021.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_m8240a59.gif, период hello_html_m2abb494.gif, нечетная

косинус

hello_html_m7819262a.gifдля hello_html_69013b0b.gif

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m1a313a40.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_m7f68e517.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_m6adc38b1.gif

hello_html_m414d97e0.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_m8240a59.gif, период hello_html_m2abb494.gif, четная

тангенс

hello_html_m5a70454.gifдля hello_html_mf9b45e8.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_2a64d84.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_213411ca.gif

hello_html_f17080d.gif, hello_html_m347f956c.gif\hello_html_m2227e576.gif, hello_html_m5a683d37.gif, период hello_html_48ca3c3f.gif, нечетная

котангенс

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m6f55d524.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_2a64d84.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_213411ca.gif

hello_html_m7776b3dd.gif, hello_html_m347f956c.gif\hello_html_m3ad02541.gif, hello_html_m5a683d37.gif, период hello_html_48ca3c3f.gif, нечетная


Графики и основные свойства обратных тригонометрических функций

арксинус

hello_html_m7819262a.gifдля hello_html_5978ff05.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_3f6e47c1.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_683fbecc.gif

Функция нечетная

hello_html_m68f744fd.gif, hello_html_m37ce6283.gif, hello_html_m28d50fa4.gif, непериодическая функция

арккосинус

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_5978ff05.gif

hello_html_m72c601f.gifдля hello_html_5978ff05.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_f902530.gif

Функция ни четная, ни нечетная

hello_html_m40f6a21e.gif, hello_html_m37ce6283.gif, hello_html_2ab73c1.gif, непериодическая функция

арктангенс

hello_html_m5a70454.gifдля hello_html_m646b7c01.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_m5b056491.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_1bf05e28.gif

Функция нечетная

hello_html_m653fc2c9.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_105ae6f4.gif, непериодическая функция

арккотангенс

hello_html_5db5d406.gifдля hello_html_m646b7c01.gif

hello_html_m4b5026cf.gifдля hello_html_m646b7c01.gif

hello_html_776d66f9.gifдля hello_html_f902530.gif

Функция ни четная, ни нечетная

hello_html_6f024a6f.gif, hello_html_m347f956c.gif, hello_html_m32849054.gif, непериодическая функция


Связь тригонометрических функций с обратными тригонометрическими функциями осуществляется при помощи следующей таблицы

hello_html_2862455c.gif

hello_html_m186f510b.gif

hello_html_37a4206a.gif

hello_html_m6657ea47.gif

hello_html_a1549bf.gif

-90°=hello_html_61c4d28c.gif

-1

-

-

-60°=hello_html_389ad382.gif

hello_html_m14e07f09.gif

-

- hello_html_m5d4c79fa.gif

-

-45°=hello_html_6d71d2e9.gif

hello_html_m17cf7544.gif

-

-1

-

-30°=hello_html_5b08fce5.gif

hello_html_m778120a7.gif

-

hello_html_m66f9fb5f.gif

-

0

0

1

0

¥

30°=hello_html_42e9c287.gif

hello_html_m4dbdf1cc.gif

hello_html_m183e9b24.gif

hello_html_m2856a66a.gif

hello_html_m5d4c79fa.gif

45°=hello_html_m26715ffc.gif

hello_html_25819d9b.gif

hello_html_25819d9b.gif

1

1

60°=hello_html_m51954f78.gif

hello_html_m183e9b24.gif

hello_html_m4dbdf1cc.gif

hello_html_m5d4c79fa.gif

hello_html_m2856a66a.gif

90°=hello_html_m40b4ff44.gif

1

0

¥

0

120°=hello_html_5649b759.gif

-


-

hello_html_m66f9fb5f.gif

135°=

-

hello_html_m17cf7544.gif

-

- 1

150°=hello_html_7f330670.gif

-

hello_html_m14e07f09.gif

-

- hello_html_m5d4c79fa.gif

180°=hello_html_1fcf3bc.gif

-

-1

-

- ¥




Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

hello_html_a0c2ee.gif

Примеры решения задач

  1. Найти значение следующих тригонометрических выражений: bs01718_

hello_html_7dfea777.gif, hello_html_6bed77e.gif hello_html_m7a74e5e4.gif, если hello_html_m99bb4c.gif.

Решение. Выпишем формулы для нахождения hello_html_7dfea777.gif, hello_html_6bed77e.gif hello_html_m7a74e5e4.gif:

hello_html_m76d3e6b9.gif, hello_html_3224b587.gif, hello_html_433791a3.gif.

hello_html_9f9d92b.gif.

Из основного тригонометрического тождества найдем hello_html_79c10126.gif:

hello_html_3bbde95e.gifhello_html_40f608c.gif

Далее найдем значения искомых выражений:

hello_html_288f73d9.gifhello_html_4fa1b4de.gif

Ответ: hello_html_m413abdfc.gif, hello_html_11e8f0bf.gif, hello_html_50172e7b.gif

  1. Доказать тождество: bs01718_

hello_html_5225ceae.gif

Решение. Приведем левую часть к 1:

hello_html_m3d4d872a.gif


hello_html_m12e4f555.gif.

Тождество доказано.

  1. Вычислить значение выражения: bs01718_

hello_html_69ad182b.gif

Решение. Используя формулы приведения, получим:

hello_html_m3c56021.gif

hello_html_m299d8956.gif

hello_html_m3ef74fbb.gif

hello_html_m20a7f02d.gif

Итак, значение выражения 0.

Пояснения к разделу: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.hh00546_

Для решения произвольных тригонометрических уравнений и неравенств применяют те же основные приемы, которые были описаны ранее для решения алгебраических уравнений: введение новой переменной и разложение на множители левой части уравнения или неравенства.

Из общих соображений выскажем следующее: при замене одной функции другой следует избегать введения радикалов, так как это усложняет решение и требует проверки найденных корней (при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни).

Иногда оказывается возможным, перенеся все члены уравнения в левую часть, разложить ее на сомножители.

  1. Уравнения, однородные относительно hello_html_m74ec0d.gif и hello_html_32449a00.gif.

Каждое из уравнений:

hello_html_4938ea24.gif,

hello_html_m3f20df00.gifи т.д.

называется однородным относительно hello_html_m74ec0d.gif и hello_html_32449a00.gif. Сумма показателей степеней у hello_html_m74ec0d.gif и hello_html_32449a00.gif во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Делением на hello_html_m10f466cb.gif, hello_html_m38b8bce9.gif степень однородного уравнения, оно приводится к уравнению, алгебраическому относительно hello_html_m4572dc68.gif.

Разделив, например, уравнение hello_html_m3f20df00.gif на hello_html_m2aa451f8.gif, получим уравнение:

hello_html_m7ac7dcbc.gif.

При hello_html_m10c5456.gif эти уравнения эквивалентны, так как если hello_html_6c0780cd.gif, то из первого уравнения получим, что и hello_html_m341b5e61.gif, что невозможно (hello_html_m74ec0d.gifи hello_html_32449a00.gif при одном и том же аргументе в нуль не обращаются). Далее из эквивалентного уравнения находим hello_html_m4572dc68.gif, решая квадратное уравнение относительно hello_html_m4572dc68.gif, а по значениям hello_html_m4572dc68.gif - соответствующие значенияhello_html_m7b669399.gif.

  1. Решить уравнение: bs01718_

hello_html_14ccf23.gif

Решение. Заменяя hello_html_4d829cdd.gif и hello_html_m4c964b5b.gif, получим однородное уравнение:

hello_html_m5e468715.gif,

или

hello_html_1c37f93.gif.

Деля на hello_html_m2aa451f8.gif (hello_html_34eb1cbf.gif), получим:

hello_html_351ce698.gif.

Вводим новую переменную hello_html_f17080d.gif и получаем квадратное уравнение относительно нее:

hello_html_94965ab.gif.

Корни этого уравнения: hello_html_52bd1e33.gif. Далее получаем равносильную совокупность уравнений:

hello_html_25f08833.gif hello_html_mbcbf5c6.gif

hh00546_

  1. Уравнения, левая часть которых раскладывается на множители, а правая часть равна нулю.

Перенеся все члены любого уравнения в левую часть, его можно привести к виду hello_html_6404cf90.gif.

Если левая часть этого уравнения раскладывается на сомножители, то каждый из них приравнивается к нулю, и уравнение распадается на несколько простых уравнений. Очень важно при этом иметь в виду, что корнями первоначального уравнения будут только те из корней полученных уравнений, которые входят в область определения первоначального уравнения.

Рассмотрим пример.

  1. Решить уравнение: bs01718_

hello_html_m31ddac13.gif.

Решение. Здесь целесообразно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Воспользовавшись этими формулами, получим уравнение:

hello_html_8b8ceff.gif

или hello_html_6c3e25e9.gif.

Разность косинусов преобразуем в произведение hello_html_m85117c3.gif, которое равносильно совокупности уравнений:

hello_html_m5e672954.gif hello_html_m1f6b47c5.gif hello_html_379165df.gifhh00546_

  1. Уравнения вида hello_html_m24ccdd3f.gif.

Эти уравнения можно решать при помощи универсальной тригонометрической подстановки hello_html_m128db57.gif, воспользовавшись формулами, выражающими hello_html_53e14c78.gif и hello_html_32449a00.gif через hello_html_m51fd206b.gif:

hello_html_55462243.gif и hello_html_m33c78790.gif.

Исходное уравнение сводится к дробно-рациональному алгебраическому уравнению, решение которого нами было рассмотрено ранее.

Такие уравнения рациональнее решать введением вспомогательного угла: hello_html_m40235213.gif. Рассмотрим дальнейший ход решения уравнения путем эквивалентных преобразований левой части:

hello_html_m53d7b6cc.gif.

Введем обозначения:

hello_html_554145e0.gifи hello_html_8ba8b97.gif.

Заметим, что выражение в скобках в этом случае преобразуется в косинус разности аргументов:

hello_html_179af296.gif.

Таким образом, исходное уравнение приводится к эквивалентному простейшему тригонометрическому уравнению:

hello_html_53b89ea.gif, или hello_html_5e187d2c.gif,

решение которого, суть

hello_html_7a22d165.gifhello_html_63df98a4.gifhello_html_7ea27d64.gif, hello_html_m7f62247a.gif.

Задача решена в общем виде.

  1. Решить уравнение: bs01718_

hello_html_mfba10e2.gif.

Решение. (первый способ) Заменив hello_html_53e14c78.gif и hello_html_32449a00.gif через hello_html_m51fd206b.gif, получим:

hello_html_5751fe0.gifhello_html_64feb559.gif. Введем новую переменную: hello_html_m128db57.gif и получим эквивалентное квадратное уравнение относительно hello_html_1277e9c8.gif:

hello_html_m161ad6ac.gif,

у которого дискриминант равен нулю и, следовательно, имеем единственный корень hello_html_m74841a5c.gif. Задача свелась к решению уравнения:

hello_html_6254774f.gif; hello_html_4d417318.gif; hello_html_150cc429.gif, hello_html_m7f62247a.gif.

Решение. (второй способ). Введем вспомогательный угол: hello_html_m6619da2d.gif.

Тогда решение исходного уравнения сразу запишется в виде:

hello_html_7a22d165.gifhello_html_3797a0ba.gifhello_html_516cf9db.gif=hello_html_3797a0ba.gifhello_html_48ef956a.gif, hello_html_m7f62247a.gif.

Иными словами, мы получили тот же ответ, что не удивительно.



Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Тригонометрия"
Скачать материал
  • Математика
Описание:

Данная методическая разработка предназначена для самостоятельной работы студентов первого курса медицинского техникума, специальности Сестринское дело по теме: «Тригонометрия». Методическое пособие разработано для преподавателя с целью выявления и систематизации знаний студентов по данной теме. Основными задачами является закрепление и углубление теоретических знаний у студентов  по данной теме.

Методическое пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Она содержит в себе материал, способствующий формированию сознательного отношения к процессу обучения, стремлению к самостоятельной работе и всестороннему овладению знаниями. Развитию интереса к учебному предмету, содействию активизации мышления обучающихся. Развитию познавательной деятельности обучающихся, по овладению программного учебного материала, по дисциплине  «Математика».



Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 11 октября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Скачать материал
Автор Тюменцева Оксана Николаевна
Дата добавления 15.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 1017
Номер материала 58072
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓