Т Е С Т 1
Цилиндр. Площадь поверхности
цилиндра.
Вариант 1
А1.
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 12π, а высота
цилиндра равна 3. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π
А2.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 см2 , площадь основания
равна 5 см2 . Вычислить высоту и площадь боковой поверхности
цилиндра.
¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
А3. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из
которых одно осевое с площадью, равной S.
Угол между плоскостями сечений равен 30о . Найдите площадь второго
сечения.
¤ 1) ¤ 2) S
¤ 3) ¤ 4)
B1.
Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания
равен 10 см, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8 см, АВ=13 см.
Определите высоту цилиндра.
Ответ:________________________________________________________________________
В2.
Высота цилиндра равна h, радиус основания
– r.
В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат так, что все его вершины находятся
на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата.
Ответ:________________________________________________________________________
С1.
Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра составляет со стороной
основания развертки угол β. Вычислите угол между диагональю осевого сечения
цилиндра и плоскостью основания.
Ответ:________________________________________________________________________
Т Е С Т 1
Цилиндр. Площадь поверхности
цилиндра.
Вариант 2
А1.
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 20π, а высота
цилиндра равна 5. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π
А2.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см2 , площадь основания
равна 8 см2 . Вычислить высоту и площадь боковой поверхности
цилиндра.
¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
А3. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно
осевое с площадью, равной S.
Угол между плоскостями сечений равен 45о . Найдите площадь второго
сечения.
¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S
B1.
Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания
равен 5 см, высота цилиндра равна 6 см, АВ=10 см. Определите расстояние между
прямой АВ и осью цилиндра.
Ответ:________________________________________________________________________
В2.
Радиус основания цилиндра равен r . В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат со стороной a так, что все его вершины находятся на окружностях оснований. Найдите высоту
цилиндра.
Ответ:________________________________________________________________________
С1.
Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью его основания равен
β. Вычислите угол между диагональю развертки его боковой поверхности и стороной
основания развертки.
Ответ:________________________________________________________________________
Т Е С Т 2
Прямой
круговой конус
Вариант
1
А1.
Найдите высоту прямого кругового конуса, если площадь его осевого сечения равна
6 см2 , а площадь основания равна 8 см2 .
¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4
А2.
Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой
поверхности является сектор с дугой, равной 90o
¤ 1) 60o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 30o
А3.
Длина окружности оснований усеченного конуса равна 4π и 10π. Высота конуса
равна 4. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.
¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74
π
B1.
Высота конуса равна радиусу R
его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от
окружности основания дугу в 60o .
Определите площадь сечения.
Ответ:________________________________________________________________________________
В2.
Образующая конуса равна 13 см, высота – 12 см. Этот конус пересечен прямой, параллельной
основанию. Расстояние ее от основания равно 6 см, а от высоты – 2 см. Найдите
длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
Образующая усеченного конуса равна L
и составляет с плоскостью основания угол α. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна
образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 2
Прямой
круговой конус
Вариант
2
А1.
Найдите высоту прямого кругового конуса, если площадь его осевого сечения равна
8 см2 , а площадь основания равна 12 см2 .
1) 4 ¤
2) 4 ¤ 3) 6 ¤
4) 6
А2.
Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой
поверхности является сектор с дугой, равной 120o
¤ 1) 90o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 60o
А3.
Длина окружности оснований усеченного конуса равна 4π и 28π. Высота конуса
равна 5. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.
¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408
π
B1.
Высота конуса равна радиусу R
его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от
окружности основания дугу в 90o .
Определите площадь сечения.
Ответ:________________________________________________________________________________
В2.
Образующая конуса равна 17 см, высота – 8 см. Этот конус пересечен прямой,
параллельной основанию. Расстояние ее от основания равно 4 см, а от высоты – 6
см. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью нижнего основания угол α.
Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей конуса. Сумма длин
окружностей равна 2 πm. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 3
Сфера
и шар. Уравнение сферы.
Вариант
1
А1.
Точки А и В лежат на сфере радиуса R.
Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m.
¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
А2.
Найдите координаты центра С и радиуса R
сферы, заданной уравнением
¤ 1) C (-3; 2; 0), R= ¤ 2) C (3; -2;0), R=5
¤ 3) C (-3; 2;0), R=5 ¤ 4) C (3; -2;0), R=
А3. Напишите уравнение сферы с центром в
точке С (4; -1; 3), проходящей через точку А(-2; 3;1)
¤ 1) ¤ 2)
¤ 3) ¤ 4)
B1.
Вершины прямоугольного треугольника с катетами 25 и 5 лежат на сфере. Найдите
радиус сферы, если расстояние от центра до плоскости треугольника равно 8.
Ответ:________________________________________________________________________________
B2.
Определите при каких значениях параметра a
уравнение
задает сферу.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 12.
Известно, что площади этих сечений 100π
и 64π. Найдите радиус шара.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 3
Сфера
и шар. Уравнение сферы.
Вариант
2
А1.
Точки А и В лежат на сфере радиуса R.
Расстояние от центра сферы до прямой АВ равно a.
Найдите длину отрезка АВ.
¤ 1) ¤ 2) ¤
3) ¤ 4)
А2.
Найдите координаты центра С и радиуса R
сферы, заданной уравнением
¤ 1) C (-4; 0; 3), R= ¤ 2) C (4; 0;-3), R=7
¤ 3) C (-4; 0;3), R=7 ¤ 4) C (4; 0;-3), R=
А3.
Напишите уравнение сферы с центром в точке С (-3; 1; -2), проходящей через
точку А(3; 4;-1)
¤ 1) ¤ 2)
¤ 3) ¤ 4)
B1.
Вершины прямоугольного треугольника с катетами 15 и лежат на сфере. Найдите
радиус сферы, если расстояние от центра до плоскости треугольника равно 5.
Ответ:________________________________________________________________________________
B2.
Определите при каких значениях параметра a
уравнение
задает сферу.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 12. Известно,
что площади этих сечений 256π
и 100π. Найдите радиус шара.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 4
Взаимное
расположение сферы и плоскости, сферы и прямой.
Вариант
1
А1. Линия
пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра на 8, имеет длину 12 π.
Найдите площадь поверхности сферы.
¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4)
362π
А2.
Сфера радиуса R касается граней
двугранного угла, величина которого равна α.
Определите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.
¤ 1) ¤ 2) Rtg ¤ 3) ¤ 4) Rctg
А3.
Найдите длину хорды сферы , принадлежащей
оси абсцисс.
¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4)
2
В1. Сечение
шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют
площади 144π и 25π.
Вычислите площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными
плоскостями равно 17.
Ответ:________________________________________________________________________________
В2.
Напишите уравнение плоскости, в которой лежат общие точки сфер, заданных
уравнениями
и
Ответ:________________________________________________________________________________
С1. Найдите
координаты точек пересечения прямой, заданной уравнением и сферы, заданной
уравнением
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 4
Взаимное
расположение сферы и плоскости, сферы и прямой.
Вариант
2
А1. Сечение
шара плоскостью, удаленной от его центра на 15, имеет площадь 64 π. Найдите
площадь поверхности шара.
¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤
4) 1096π
А2.
Сфера касается граней двугранного угла, величина которого равна α.
Расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно l.
Определите радиус сферы.
¤ 1) l tg ¤ 2) l sin ¤ 3) l cos ¤ 4) l ctg
А3.
Найдите длину хорды сферы , принадлежащей
оси ординат..
¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤
4) 2
В1. Сечение
шара двумя параллельными плоскостями, которые лежат по одну сторону от центра шара,
имеют площади 576π и 100π.
Вычислите площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными
плоскостями равно 14.
Ответ:________________________________________________________________________________
В2.
Напишите уравнение плоскости, в которой лежат общие точки сфер, заданных
уравнениями
и
Ответ:________________________________________________________________________________
С1. Найдите
координаты точек пересечения прямой, заданной уравнением и сферы, заданной
уравнением
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 5
Комбинации
фигур вращения.
Вариант
1
А1. Прямоугольный
треугольник с катетами, равными 5 см и 12 см, вращается вокруг гипотенузы.
Вычислите площадь поверхности полученного тела вращения.
¤ 1) см2 ¤ 2)
82π см2 ¤ 3) см2
¤ 4) 78π см2
А2. В
цилиндр вписан шар. Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к
площади поверхности шара.
¤ 1) 3:2 ¤ 2) 2:1 ¤
3) 4:3 ¤ 4) 5:2
А3. В
шар вписан конус, радиус основания которого равен r,
высота – H. Определите площадь
поверхности шара.
¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π( ¤ 4)
B1.
В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найдите
величину угла между осью конуса и его образующей, если площадь полной
поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как 3:2, а ось
цилиндра совпадает с осью конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
На плоскости лежат три одинаковых шара радиуса R,
касающихся друг друга. Сверху в ямку, образованную шарами, положен четвертый
шар того же радиуса. Найдите расстояние от верхней точки четвертого шара до плоскости.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 5
Комбинации
фигур вращения.
Вариант
2
А1. Прямоугольный
треугольник с катетами, равными 8 см и 15 см, вращается вокруг гипотенузы.
Вычислите площадь поверхности полученного тела вращения.
¤ 1) 162π см2 ¤
2) см2 ¤ 3)
164π см2 ¤ 4) см2
А2. В
цилиндр вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра к
площади поверхности шара.
¤ 1) 2:1 ¤ 2) 3:2 ¤
3) 1:1 ¤ 4) 2:3
А3. В
шар вписан конус, радиус основания которого равен r,
высота – L. Определите площадь
поверхности шара.
¤ 1) π( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL
B1.
В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найдите
величину угла между осью конуса и его образующей, если площадь полной
поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как 8:9, а ось
цилиндра совпадает с осью конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
На плоскости лежат четыре одинаковых шара радиуса R
так, что каждый из шаров касается двух соседних. Сверху в ямку, образованную
шарами, положен пятый шар того же радиуса. Найдите расстояние от верхней точки пятого
шара до плоскости.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 6
Комбинации
многогранников и тел вращения.
Вариант
1
А1. В
правильную треугольную призму вписан цилиндр. Найдите площадь его поверхности,
если сторона основания призмы равна 2, а высота – 3.
¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π
А2. Вокруг
правильной треугольной пирамиды описан конус. Вычислите площадь боковой
поверхности конуса, если сторона основания пирамиды равна a,
боковые ребра наклонены к основанию под углом 30o .
¤ 1) ¤
2) ¤
3) 4)
А3. В
правильную четырехугольную призму вписана сфера. Найдите отношение площади
полной поверхности призмы к площади сферы.
¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
В1. Около
шара описана правильная треугольная усеченная пирамида, стороны оснований
которой равны a и b.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ:________________________________________________________________________________
В2. В
куб с ребром, равным a, вписан шар.
Вычислите радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба, имеющих
общую вершину.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1. Осевым
сечением конуса является равносторонний треугольник. В этот конус вписана
правильная треугольная пирамида. Найдите отношение площадей боковых
поверхностей пирамиды и конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 6
Комбинации
многогранников и тел вращения.
Вариант
2
А1. Вокруг
правильной треугольной призмы описан цилиндр. Найдите площадь его
поверхности, если высота призмы равна 4, а высота
основания призмы – 6.
¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π
А2. В
правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a,
боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45o.
Вычислите площадь боковой поверхности вписанного в пирамиду конуса.
¤ 1) ¤
2) ¤
3) 4)
А3. Вокруг
куба описана сфера. Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности
куба.
¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
В1. Около
шара описана правильная треугольная усеченная пирамида, стороны оснований
которой равны a и b.
Найдите площадь поверхности шара.
Ответ:________________________________________________________________________________
В2. В
куб вписан шар. Радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба,
имеющих общую вершину, равен R.
Вычислите длину ребра куба.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1. Осевым
сечением конуса является равносторонний треугольник. В этот конус вписана
правильная четырехугольная пирамида. Найдите отношение площадей боковых
поверхностей пирамиды и конуса.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 7
Обобщение
темы «Цилиндр, конус, шар».
Вариант
1
А1. Прямоугольник
со сторонами, равными 10 см и 12 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите
полную площадь поверхности полученного тела вращения.
¤ 1) 460π см2 ¤ 2) 420π см2
¤ 3) 440 π см2 ¤ 4) 400π см2
А2.
Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной
a.
Вычислить площадь сечения, проходящей через две образующие конуса, угол между
которыми равен 60o .
¤ 1) а2 ¤ 2) а2 ¤ 3) а2 ¤
4) а2
А3.
Определите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его
оснований равны 6 см и 10 см, высота равна 3 см.
¤ 1) 212π см2 ¤ 2)
224π см2 ¤ 3) 220π см2 ¤ 4) 216π
см2
А4. Найдите
площадь поверхности сферы, заданной уравнением + ++6x-8y+2z-7=0
¤ 1) 132π
¤ 2) 136π
¤ 3) 140 π
¤ 4) 128 π
А5. Стороны
треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Определите расстояние от центра сферы
до плоскости треугольника, если его стороны равны 15 см, 15 см и 24 см.
¤ 1) 1 см ¤ 2) 2 см ¤ 3) 3 см ¤ 4) 4
см
А6. В
конус с углом при
вершине осевого сечения и радиусом основания r
вписана сфера радиуса R. Найдите величину
r,
если известны R и .
¤ 1) R tg( - ¤ 2) R tg( + ¤ 3) R tg ¤ 4) R ctg
В1.
Через
образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади
полученных сечений равны см2
и
Ответ: _______________________________________________________________________________
В2.
Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите
стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а площадь полной
поверхности тела вращения равна 60
Ответ:________________________________________________________________________________
В3.
Сфера радиуса R касается всех ребер
правильной треугольной призмы. Найдите длину бокового ребра призмы и расстояние
от центра сферы до плоскостей боковых граней.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
Две параллельные плоскости пересекают диаметр сферы АВ в точках С и D,
делящих его в отношении АС:СD:DB=1:2:3.
Определите отношение радиусов сечений (меньшего к большему), если прямая,
содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол .
Ответ:________________________________________________________________________________
С2.
Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды. Найдите радиус
такой сферы, если все ребра пирамиды равны 18 см.
Ответ:________________________________________________________________________________
Т Е С Т 7
Обобщение
темы «Цилиндр, конус, шар».
Вариант
2
А1. Прямоугольник
со сторонами, равными 8 см и 10 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите
полную площадь поверхности полученного тела вращения.
¤ 1) 360π см2 ¤ 2) 354π см2
¤ 3) 368 π см2 ¤ 4) 376π см2
А2.
Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной
a.
Вычислить площадь сечения, проходящей через две образующие конуса, угол между
которыми равен 45o .
¤ 1) а2 ¤ 2) а2 ¤ 3) а2 ¤
4) а2
А3.
Определите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его
оснований равны 5 см и 8 см, высота равна 4 см.
¤ 1) 150π см2 ¤ 2)
154π см2 ¤ 3) 158π см2 ¤ 4) 146π
см2
А4. Найдите
площадь поверхности сферы, заданной уравнением + +-4x+2y+6z-4=0
¤ 1) 68π
¤ 2) 80π ¤ 3) 76π
¤ 4) 72π
А5. Стороны
треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Определите расстояние от центра сферы
до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.
¤ 1) 1 см ¤ 2) 2 см ¤ 3) 3 см ¤ 4) 4
см
А6. В
конус с углом при
вершине осевого сечения и радиусом основания r
вписана сфера радиуса R. Найдите величину
R,
если известны r и .
¤ 1) r tg( - ¤ 2) r tg( + ¤ 3) r tg ¤ 4) r ctg
В1.
Через
образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади
полученных сечений равны см2
и
Ответ: _______________________________________________________________________________
В2.
Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите
стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а площадь полной поверхности
тела вращения равна 90
Ответ:________________________________________________________________________________
В3.
Сфера радиуса R касается всех ребер
правильной треугольной призмы. Найдите длину ребра основания призмы и расстояние
от центра сферы до плоскостей оснований призмы.
Ответ:________________________________________________________________________________
С1.
Две параллельные плоскости пересекают диаметр сферы АВ в точках С и D,
делящих его в отношении АС:СD:DB=1:3:4.
Определите отношение радиусов сечений (меньшего к большему), если прямая,
содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол .
Ответ:________________________________________________________________________________
С2.
Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды. Найдите радиус
такой сферы, если все ребра пирамиды равны 22 см.
Ответ:________________________________________________________________________________
ОТВЕТЫ
К ТЕСТАМ
№ теста
|
Вариант
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
А5
|
А6
|
В1
|
В2
|
С1
|
B3
|
C2
|
1
|
1
|
4
|
1
|
3
|
-
|
-
|
-
|
5
см
|
|
arctg(πtg
|
|
|
2
|
3
|
4
|
2
|
-
|
-
|
-
|
3
см
|
|
arctg()
|
|
|
2
|
1
|
2
|
3
|
1
|
-
|
-
|
-
|
|
3
см
|
πsinαtgα
|
|
|
2
|
1
|
2
|
4
|
-
|
-
|
-
|
|
9
см
|
|
|
|
3
|
1
|
4
|
1
|
2
|
-
|
-
|
-
|
17
|
a<29
|
8
|
|
|
2
|
3
|
4
|
3
|
-
|
-
|
-
|
13
|
a>-14
|
8
|
|
|
4
|
1
|
2
|
3
|
4
|
-
|
-
|
-
|
676π
|
4x-6y+2z+7=0
|
(-4;5;2), (; )
|
|
|
2
|
1
|
2
|
1
|
-
|
-
|
-
|
2704π
|
3x-4y+8z-12=0
|
(3;0;7),
(1;2;3)
|
|
|
5
|
1
|
3
|
1
|
4
|
-
|
-
|
-
|
arctg
|
-
|
(3+)R
|
|
|
2
|
2
|
3
|
2
|
-
|
-
|
-
|
arctg
|
-
|
(2+)R
|
|
|
6
|
1
|
2
|
3
|
1
|
-
|
-
|
-
|
|
|
|
|
|
2
|
1
|
4
|
2
|
-
|
-
|
-
|
|
2(2+)R
|
|
|
|
7
|
1
|
3
|
2
|
4
|
1
|
3
|
2
|
12
|
8 см, 11
см, 11 см
|
|
R,
|
9 см
|
2
|
1
|
3
|
2
|
4
|
4
|
1
|
|
12 см, 9
см, 9 см
|
|
R,
|
11 см
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.