Главная / Математика / Решение квадратных уравнений различными способами

Решение квадратных уравнений различными способами

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
Скачать материал





Решение

квадратных уравнений

различными способами








Работа ученицы 8И класса,

Архипова Анастасия

Руководитель Правитель О.А.








2013г.

г. Красноярск


1. Из истории квадратных уравнений.


а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне


Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х2 + х = hello_html_3ab5298d.gif, х2 – х = 14 hello_html_3f98dfc0.gif

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.


б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:


ах2 + bх = с, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.


Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х2 + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.








  1. Решение квадратных уравнений используя свойства коэффициентов.


А. Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.


1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = hello_html_m6e289869.gif.



Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение


х2 + hello_html_535734a5.gif х + hello_html_m6e289869.gif = 0.


Согласно теореме Виета


hello_html_m4d7316f3.gif


По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

hello_html_m5c032eff.gif

Получаем х1 = 1, х2 = hello_html_m6e289869.gif, что и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – hello_html_m6e289869.gif.

Доказательство. По теореме Виета


hello_html_m4d7316f3.gif


По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,


hello_html_10772d54.gif

т.е. х1 = 1 и х2 = hello_html_m6e289869.gif, что и требовалось доказать.


Примеры


1. Решим уравнение 345х2 137х – 208 = 0.


Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = hello_html_m6e289869.gif = hello_html_m546e439a.gif.

Ответ: 1; hello_html_3ba0f66c.gif.

2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то


х1= - 1, х2= - hello_html_m4f2cec21.gif

Ответ: - 1; - hello_html_m4f2cec21.gif



Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней


х1,2 = hello_html_m684d656d.gif


можно записать в виде


х1,2 = hello_html_3196ab61.gif


Пример


Решим уравнение 3х2 14х + 16 = 0.


Решение. Имеем: а = 3, b = 14, c = 16, k = 7;


D = k2ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;


х = hello_html_4b6c5a8b.gif


Ответ: 2; hello_html_78a3181e.gif.


В. Приведенное уравнение


x2 + px + q = 0


совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней


х1,2 = hello_html_m684d656d.gif

принимает вид:


х1,2 = hello_html_2e3c1c99.gif или х1,2 = - hello_html_7bb2981b.gif (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

Примеры

1. Решим уравнение х2 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 = 7±hello_html_70323da.gif= 7±hello_html_m38294bd3.gif= 7±8.


Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .


2. Графическое решение квадратного уравнения.


Если в уравнении

x2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

x2 = – px q .

Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px q .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.





у

у=х2



у = - рх - q






х1 х2 х



Пример

1.Решим графически уравнение

х2 3х – 4 = 0.


Решение. Запишем уравнение в виде

х2 = 3х + 4

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и

N (3;13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и

х2 = 4.

у

у=х2 у = - 3х + 4













- 1 4 х

Ответ: х1 = – 1 , х2 = 4 .



3. Дидактический материал к работе.


Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

2 – 7х + 2 = 0

839х2 – 448х – 391 = 0

2 + 5х – 8 = 0

939х2 + 978х +39 = 0

11х2 + 25х – 36 = 0

313х2 + 326х + 13 = 0

11х2 + 27х +16 = 0

2006х2 – 2007х + 1 = 0

х2 + 2х – 3 = 0;

х2 3х + 2 = 0

2 7х + 5 = 0;

х2 +4х + 3 = 0

z2 – 7z + 6 = 0

z2 + 5z + 4 = 0

z2 – 2z + 3 = 0.


Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

2 – 7х + 2 = 0

839х2 – 448х – 391 = 0

2 + 5х – 8 = 0

939х2 + 978х +39 = 0

11х2 + 25х – 36 = 0

313х2 + 326х + 13 = 0

11х2 + 27х +16 = 0

2006х2 – 2007х + 1 = 0

х2 + 2х – 3 = 0;

х2 3х + 2 = 0

2 7х + 5 = 0;

х2 +4х + 3 = 0

z2 – 7z + 6 = 0

z2 + 5z + 4 = 0

z2 – 2z + 3 = 0.


Литература:


  1. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

  2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988

  3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982

  4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990

  5. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

  6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

  7. Дидактические материалы по алгебре.

  8. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.

Решение квадратных уравнений различными способами
Скачать материал
  • Математика
Описание:

В своей работе ученица Архипова Анастасия приводит различные способы решения квадратных уравнений и предлагает решить созданный ею тренажер.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных  участков и с земляными работами  военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные  уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные квадратные  уравнения.

 



Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 25 октября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Скачать материал
Автор Правитель Оксана Александровна
Дата добавления 07.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 538
Номер материала 39800
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓