Решение
квадратных уравнений
различными способами
Работа ученицы 8И класса,
Архипова Анастасия
Руководитель Правитель
О.А.
2013г.
г. Красноярск
1. Из истории квадратных уравнений.
а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не
только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью
решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными
работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой
математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э.
вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в
их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные
уравнения:
х2 +
х = , х2 – х = 14
Правило решения этих уравнений,
изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако
неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все
найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями,
изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они
были найдены.
б) Квадратные уравнения в
Индии.
Задачи на квадратные уравнения
встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г.
индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый,
Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило
решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх
= с, а >
0
В уравнении коэффициенты, кроме а,
могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.
в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII
вв.
Формулы решения квадратных уравнений
по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной
в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в
котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции,
отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно
некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел
к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению
алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других
странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все
европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных
уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х2
+ bх = с,
при всевозможных комбинациях знаков
коэффициентов b, с было сформулировано в
Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного
уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только
положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди
первых в XVI в. Учитывают, помимо
положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта,
Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает
современный вид.
1.
Решение квадратных
уравнений используя свойства коэффициентов.
А. Пусть дано квадратное уравнение
ах2
+ bх + с
= 0, а ≠ 0.
1.Если а + b + с = 0
(т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2
= .
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0,
получим приведенное квадратное уравнение
х2 +
х + =
0.
Согласно теореме
Виета
По условию а + b
+ с = 0, откуда b
= – а – с. Значит,
Получаем х1 =
1, х2 = , что и требовалось доказать.
2. Если а - b
+ с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 =
– .
Доказательство. По теореме Виета
По условию а – b
+ с = 0, откуда b
= а + с. Таким образом,
т.е. х1 = –
1 и х2 = , что и требовалось
доказать.
● Примеры
1. Решим уравнение 345х2 –
137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 –
208 = 0), то х1 = 1, х2 = = .
Ответ: 1; – .
2. Решим уравнение
132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
х1= - 1, х2=
-
Ответ: - 1; -
Б. Если второй коэффициент b = 2k –
четное число, то формулу корней
х1,2 =
можно записать в виде
х1,2 =
● Пример
Решим уравнение 3х2
– 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = –
14, c = 16, k = – 7;
D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1,
D>0, два различных корня;
х =
Ответ: 2; .
В. Приведенное уравнение
x2 + px + q = 0
совпадает с
уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
х1,2 =
принимает вид:
х1,2 = или х1,2 = - (3).
Формулу (3) особенно
удобно использовать, когда p – четное число.
● Примеры
1. Решим уравнение х2 – 14х
– 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2 = 7±= 7±= 7±8.
Ответ: х1 = 15, х2
= – 1 .
2. Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении
x2 + px
+ q = 0
перенести второй и
третий члены в правую часть, то получим
x2 = – px – q .
Построим графики
зависимостей у = х2 и у = – px – q .
График первой
зависимости – парабола, проходящая через начало координат.
График второй
зависимости – прямая.
Возможны следующие
случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек
пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола
могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола
не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
у
у=х2
у = - рх - q
х1 х2
х
● Пример
1.Решим графически уравнение
х2 –
3х – 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде
х2
= 3х + 4
Построим параболу у
= х2 и прямую у = 3х + 4.
Прямую у = 3х
+ 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и
N (3;13).
Прямая и парабола
пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
х2 = 4.
у
у=х2
у = - 3х + 4
-
1 4 х
Ответ: х1 = – 1 , х2
= 4 .
3. Дидактический материал к работе.
Решите уравнения,
используя свойства коэффициентов:
5х2 – 7х + 2 = 0
839х2 – 448х – 391 = 0
3х2 + 5х – 8 = 0
939х2 + 978х +39 = 0
11х2 + 25х – 36 = 0
313х2 + 326х + 13 = 0
11х2 + 27х +16 = 0
2006х2 – 2007х + 1 = 0
х2 + 2х
– 3 = 0;
х2 – 3х
+ 2 = 0
2х2 – 7х
+ 5 = 0;
х2 +4х + 3 = 0
z2 – 7z + 6 = 0
z2 + 5z + 4 = 0
z2 – 2z + 3 = 0.
|
Решите уравнения,
используя свойства коэффициентов:
5х2 – 7х + 2 = 0
839х2 – 448х – 391 = 0
3х2 + 5х – 8 = 0
939х2 + 978х +39 = 0
11х2 + 25х – 36 = 0
313х2 + 326х + 13 = 0
11х2 + 27х +16 = 0
2006х2 – 2007х + 1 = 0
х2 + 2х
– 3 = 0;
х2 – 3х
+ 2 = 0
2х2 – 7х
+ 5 = 0;
х2 +4х + 3 = 0
z2 – 7z + 6 = 0
z2 + 5z + 4 = 0
z2 – 2z + 3 = 0.
|
Литература:
1)
Математика. Алгебра.
Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений /
Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
2)
Гусев В. А., Мордкович А.
Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение,
1988
3)
Глейзер Г. И. История
математики в школе. – М.: просвещение, 1982
4)
Брадис В. М.
Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение,
1990
5)
Окунев А. К. Квадратичные
функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
6)
Пресман А.А. Решение
квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
7)
Дидактические материалы по
алгебре.
8)
М., Математика
(приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97,
40/2000.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.