Инфоурок Математика Другие методич. материалыРепетиционное ЕГЭ по математике (профиль)

Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)

Скачать материал

Вариант №1

Декабрь 2014

B 1 . Поезд Но­во­си­бирск-Крас­но­ярск от­прав­ля­ет­ся в 15:20, а при­бы­ва­ет в 4:20 на сле­ду­ю­щий день (время мос­ков­ское). Сколь­ко часов поезд на­хо­дит­ся в пути?

В 2. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат — сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч? 

B 3 . Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 48 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 м2. В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

 

Фирма

Цена стек­ла (руб. за 1 м2)

Резка и шли­фов­ка (руб. за одно стек­ло)

A

420

75

Б

440

65

В

470

55

 

B 4 . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 12. DE ― сред­няя линия этого тре­уголь­ни­ка, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABDE.

B 5 . Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?

B 6 . Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

 

 

В 7. В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, CH  — высота, AB = 15, \tg A = \frac{3}{4}. НайдитеAH.

В 8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

                                                             

 

В 9. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  точка  – се­ре­ди­на ребра ,  – вер­ши­на. Из­вест­но, что =3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка .

В 10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

В 11. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те  м над землей, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где  км — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 4 км. На сколь­ко мет­ров нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы рас­сто­я­ние до го­ри­зон­та уве­ли­чи­лось до 48 ки­ло­мет­ров?

 

 

Вариант №1

Декабрь 2014

В 12. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.     

 

B 13 . Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 5 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 5 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

B 14 . Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

 

 

 

 

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

 

  16. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки  до плос­ко­сти .

 

 17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

http://reshuege.ru/formula/1d/1d7e60a3fd6a98998e9edd73b0d01240.png

 

    18. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно . На одной из них лежит вер­ши­на , на дру­гой — ос­но­ва­ние  рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  Из­вест­но, что  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник  а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка 

19.  В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

 20. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

 

21. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Вариант №2

Декабрь 2014

B1. На счету Ма­ши­но­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на было 53 рубля, а после раз­го­во­ра с Леной оста­лось 8 руб­лей. Сколь­ко минут длил­ся раз­го­вор с Леной, если одна ми­ну­та раз­го­во­ра стоит 2 рубля 50 ко­пе­ек?

В 2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 20^\circ. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Водитель может начинать движение, когда температура двигателя достигнет 20^\circ. Какое наименьшее количество минут потребуется, чтобы водитель мог начать движение? 1

В 3. Кли­ент хочет арен­до­вать ав­то­мо­биль на трое суток для по­езд­ки про­тя­жен­но­стью 600 км. В таб­ли­це при­ве­де­ны ха­рак­те­ри­сти­ки трех ав­то­мо­би­лей и сто­и­мость их арен­ды. По­ми­мо арен­ды кли­ент обя­зан опла­тить топ­ли­во для ав­то­мо­би­ля на всю по­езд­ку. Какую сумму в руб­лях за­пла­тит кли­ент за арен­ду и топ­ли­во, если вы­бе­рет самый де­ше­вый ва­ри­ант?

Ав­то­мо­биль

Топ­ли­во

Рас­ход топ­ли­ва (л на 100 км)

Аренд­ная плата (руб. за 1 сутки)

А

Ди­зель­ное

7

3400

Б

Бен­зин

10

3500

В

Газ

12

3100

Цена ди­зель­но­го топ­ли­ва — 21 рубль за литр, бен­зи­на — 23 рубля за литр, газа — 16 руб­лей за литр.

В 4. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен . Най­ди­те мень­ший угол дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В 5. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

В 6. Ре­ши­те урав­не­ние .

 

 

В 7. В тре­уголь­ни­ке  , вы­со­та  равна 4, . Най­ди­те .

В 8. Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те a.

В 9. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке, все дву­гран­ные углы ко­то­ро­го пря­мые. 

В 10. Най­ди­те , если , при .

В 11. В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где  – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана,  – на­чаль­ная вы­со­та стол­ба воды,  – от­но­ше­ние пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний крана и бака, а  – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те  м/с). Через сколь­ко се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объема воды?

Вариант №2

Декабрь 2014

В 12. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 34. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

В 13. Один­на­дцать ру­ба­шек де­шев­ле курт­ки на 1%. На сколь­ко про­цен­тов три­на­дцать ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

В 14. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции 

 

 

 

 

 

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

 

16. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: http://reshuege.ru/formula/26/264aff849f3e536b61a34bd9b657e19f.png

18. В тре­уголь­ни­ке  из­вест­ны сто­ро­ны:    Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки  и  пе­ре­се­ка­ет пря­мые  и  со­от­вет­ствен­но в точ­ках  и  от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок  ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник . Най­ди­те длину от­рез­ка 

19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств  клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

имеет един­ствен­ный ко­рень.

21. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел  В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние .

 

 

Вариант №3

Декабрь 2014

B 1 . Мо­биль­ный те­ле­фон стоил 6000 руб­лей. Через не­ко­то­рое время цену на эту мо­дель сни­зи­ли до 4800 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена?

B 2 . На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­ме­сяч­ны­ми тем­пе­ра­ту­ра­ми в 1973 году. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

B 3 . От дома до дачи можно до­е­хать на ав­то­бу­се, на элек­трич­ке или на марш­рут­ном такси. В таб­ли­це по­ка­за­но время, ко­то­рое нужно за­тра­тить на каж­дый уча­сток пути. Какое наи­мень­шее время по­тре­бу­ет­ся на до­ро­гу? Ответ дайте в часах.

 

1

2

3

Ав­то­бу­сом

От дома до ав­то­бус­ной 
стан­ции — 5 мин.

Ав­то­бус в пути: 
2 ч 5 мин.

От оста­нов­ки ав­то­бу­са 
до дачи пеш­ком 10 мин.

Элек­трич­кой

От дома до стан­ции же­лез­ной 
до­ро­ги — 30 мин.

Элек­трич­ка в пути: 
1 ч 40 мин.

От стан­ции до дачи 
пеш­ком 5 мин.

Марш­рут­ным такси

От дома до оста­нов­ки марш­рут­но­го 
такси — 20 мин.

Марш­рут­ное такси в до­ро­ге: 
1 ч 30 мин.

От оста­нов­ки марш­рут­но­го такси 
до дачи пеш­ком 35 мин.

 

 

 

 

B 4 .  В треугольнике ABC  AC = BC = 6, высота AH равна 3. Найдите градусную меру угла C.  MA.E10.B4.09/innerimg0.jpg

B 5 . На эк­за­ме­не 45 би­ле­тов, Федя не вы­учил 9 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный билет.

B 6 . Ре­ши­те урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

B 7 .

В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 90°, синус внеш­не­го угла при вер­ши­не равен , . Най­ди­те .

B 8 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Вариант №3

Декабрь 2014

B 9 . В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K — середина ребра BC, точка L — середина ребраCD, точка M — середина ребра CC_1. Найдите угол LMK. Ответ дайте в градусах.

B 10 . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

B 11 . Кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на вы­стре­ли­ва­ет камни под не­ко­то­рым ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Тра­ек­то­рия полeта камня опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой , где  м,  – по­сто­ян­ные па­ра­мет­ры,  – сме­ще­ние камня по го­ри­зон­та­ли,  – вы­со­та камня над землeй. На каком наи­боль­шем рас­сто­я­нии (в мет­рах) от кре­пост­ной стены вы­со­той 8 м нужно рас­по­ло­жить ма­ши­ну, чтобы камни про­ле­та­ли над сте­ной на вы­со­те не менее 1 метра?

B 12 . Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 6, бо­ко­вое ребро равно 6. Най­ди­те объем приз­мы.

 

B 13 . Две бри­га­ды, со­сто­я­щие из ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции, од­но­вре­мен­но на­ча­ли стро­ить два оди­на­ко­вых дома. В пер­вой бри­га­де было 3 ра­бо­чих, а во вто­рой — 9 ра­бо­чих. Через 4 дня после на­ча­ла ра­бо­ты в первую бри­га­ду пе­ре­шли 7 ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, в ре­зуль­та­те чего оба дома были по­стро­е­ны од­но­вре­мен­но. Сколь­ко дней по­тре­бо­ва­лось бри­га­дам, чтобы за­кон­чить ра­бо­ту в новом со­ста­ве?

B 14 .Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

 

 

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

 

  16. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки  до плос­ко­сти .

 17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

http://reshuege.ru/formula/1d/1d7e60a3fd6a98998e9edd73b0d01240.png

 

   18. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно . На одной из них лежит вер­ши­на , на дру­гой — ос­но­ва­ние  рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  Из­вест­но, что  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник  а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка 

19. В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

 20. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

21. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

 

 

 

Вариант №4

Декабрь 2014

B 1 . Пачка сли­воч­но­го масла стоит 60 руб­лей. Пен­си­о­не­рам ма­га­зин де­ла­ет скид­ку 5%. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит пен­си­о­нер за пачку масла?

B 2 . На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена зо­ло­та в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую цену зо­ло­та за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях за грамм.

                                 

B 3 . Ке­ра­ми­че­ская плит­ка одной и той же тор­го­вой марки вы­пус­ка­ет­ся трёх раз­ных раз­ме­ров. Плит­ки упа­ко­ва­ны в пачки. Тре­бу­ет­ся ку­пить плит­ку, чтобы об­ли­це­вать пол квад­рат­ной ком­на­ты со сто­ро­ной 3 м. Раз­ме­ры плит­ки, ко­ли­че­ство пли­ток в пачке и сто­и­мость пачки при­ве­де­ны в таб­ли­це.

 Раз­мер плит­ки 
(смсм)

Ко­ли­че­ство 
пли­ток в пачке 

Цена пачки 

2020

25

604 р.

2030

16

595 р. 20 к.

 3030

11

594 р.

 Во сколь­ко руб­лей обойдётся наи­бо­лее дешёвый ва­ри­ант по­куп­ки? 

B 4 .  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.                   

             

B 5 . Вика вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. Те­ле­ви­зор вклю­ча­ет­ся на слу­чай­ном ка­на­ле. В это время по че­тыр­на­дца­ти ка­на­лам из трид­ца­ти пяти по­ка­зы­ва­ют ре­кла­му. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Вика по­па­дет на канал, где ре­кла­ма не идет.

B 6 . Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 

B 7 . В треугольнике ABC  угол C равен {{90}^{\circ }}, угол A равен {{30}^{\circ }}, AB =  2\sqrt{3}. Найдите высоту CH. MA.E10.B4.01/innerimg0.jpg

B 8 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 5 м/с?

B 9 . Найдите расстояние между вершинами C и B_2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

    b9_224_138.eps

B 10 . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

B 11 . При тем­пе­ра­ту­ре  рельс имеет длину  м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где  — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния,  — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 7,5 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

Вариант №4

Декабрь 2014

B 12. В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 ребро AA_1 равно 24, а диагональ BD_1 равна 30. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A_1 и C.

   8.eps

B 13 . Баржа в 10:00 вышла из пунк­та  в пункт , рас­по­ло­жен­ный в 15 км от . Про­быв в пунк­те  1 час 20 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт  в 16:00. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна  км/ч.

B 14 . Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на

от­рез­ке .

 

 

 

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

 

16. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: http://reshuege.ru/formula/26/264aff849f3e536b61a34bd9b657e19f.png

18. В тре­уголь­ни­ке  из­вест­ны сто­ро­ны:    Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки  и  пе­ре­се­ка­ет пря­мые  и  со­от­вет­ствен­но в точ­ках  и  от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок  ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник . Най­ди­те длину от­рез­ка 

19.  Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств  клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

имеет един­ствен­ный ко­рень.

21. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел  В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние .

 

 

Ответы: профиль декабрь 2014.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

ВАР 1

13

1

8280

9

0,36

39

9,6

-2

10

-28

178,75

16

30

 −25

ВАР 2

18

3

10452

24

0,3

-2

0,5

24

14

1

50

60

17

1

ВАР 3

20

38

2,25

30

0,8

-2

2

0,25

60

5

90

54

3

6

ВАР 4

57

1010

5436

3

0,6

-5

2

8

30

10

62,5

4

2

9

 

Вариант 1,3

С1. а) Ре­ши­те урав­не­ние http://reshuege.ru/formula/cd/cde8d8c62f60f15ada587331e9529434.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку http://reshuege.ru/formula/ea/eab8e5d7fcafac869636920d5b5db222.png

 


Решение.

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде:

http://reshuege.ru/formula/ac/ac1c57a3be17a1f307250a99fbb0f9b0.png

В ре­зуль­та­те по­лу­чим:

http://reshuege.ru/formula/7a/7a29bd25282abf66b37e39380b5d72ef.png

Зна­чит

http://reshuege.ru/formula/b7/b781b3d4b108dd70971276be222746c0.png

.

http://math.reshuege.ru/get_file?id=6115б) От­ме­тим ре­ше­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти.

 

От­рез­ку http://reshuege.ru/formula/83/83acebda760ff12ff32510cef878dd5f.png при­над­ле­жат корни http://reshuege.ru/formula/f2/f23fe702cefdda5b903db37f78c60e61.pnghttp://reshuege.ru/formula/1d/1dc535bd91961d7b2bcd997f72f8fc1e.png и http://reshuege.ru/formula/c8/c8d671c677b1d9af5222efc3284a644e.png

 

 

Ответ:

А) http://reshuege.ru/formula/b7/b781b3d4b108dd70971276be222746c0.png

Б) http://reshuege.ru/formula/f2/f23fe702cefdda5b903db37f78c60e61.pnghttp://reshuege.ru/formula/1d/1dc535bd91961d7b2bcd997f72f8fc1e.png и http://reshuege.ru/formula/c8/c8d671c677b1d9af5222efc3284a644e.png

С2. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме http://reshuege.ru/formula/28/285e5d0814a0045c4367b6f01f5672ac.png все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png до плос­ко­сти http://reshuege.ru/formula/fb/fb9025501c55c96770dc0f5993b4eb67.png.

 


Решение.

http://math.reshuege.ru/get_file?id=5091Пря­мые http://reshuege.ru/formula/3e/3e885d8cc2b3a7fc96f4fedee82f3de2.png и http://reshuege.ru/formula/30/30781f1fc2f9342ceb1ad2f6f35a51db.png пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой http://reshuege.ru/formula/2c/2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png. Плос­кость http://reshuege.ru/formula/fb/fb9025501c55c96770dc0f5993b4eb67.png, со­дер­жа­щая пря­мую http://reshuege.ru/formula/2c/2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти http://reshuege.ru/formula/99/998bd57e40c79a82270c1ea253026689.png. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те http://reshuege.ru/formula/1b/1baa5a77aeff33338948c1e0c4466462.png пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/99/998bd57e40c79a82270c1ea253026689.png, в ко­то­ром http://reshuege.ru/formula/51/51c6011578910dabc660641682a9ece1.pnghttp://reshuege.ru/formula/52/52037dd524dfe30fd844aff9aa8af34f.pnghttp://reshuege.ru/formula/5f/5fd46919f4d2f05899af4ce4f566dc28.png:

 

 

http://reshuege.ru/formula/9d/9d1fd3aa2fdfea3885f2e07e67827aac.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/ae/aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png.

С3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств http://reshuege.ru/formula/1d/1d7e60a3fd6a98998e9edd73b0d01240.png

Ре­ше­ние.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

 

http://reshuege.ru/formula/ab/ab5e80172a6e9aa931de7eea013e20e8.png

 

http://reshuege.ru/formula/94/94029c620b06e29556c41e102a1042fc.png

 

http://reshuege.ru/formula/51/51713a350f9d00154366052827ec826f.pngпри всех http://reshuege.ru/formula/cd/cd27fa7a12eca9b4994de586dc6b8e8e.pngпо­сколь­ку http://reshuege.ru/formula/c7/c7feb7c60721947717d979e063fcff6f.png

 

Сле­до­ва­тель­но,

http://reshuege.ru/formula/8b/8b9881f2e95e648d533c9ebd65264d13.png

 

Итак, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство http://reshuege.ru/formula/fa/fa86f96d6c03bb3e810f4e2363ca3f88.png

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы: http://reshuege.ru/formula/24/24fa5dcab7df03a9b86de2b12ec5ff02.png

Оче­вид­но, кор­ня­ми урав­не­ния http://reshuege.ru/formula/f6/f697e0c2a71de900aa7c8a67285d75e4.pngбудут числа: −4 и −3. (Ко­рень квад­рат­но­го трех­чле­на http://reshuege.ru/formula/11/11f888eb17158de5b36d2df4f828dc15.pngрав­ный −5 не может слу­жить ис­ко­мым кор­нем из-за не­от­ри­ца­тель­но­сти вы­ра­же­ния http://reshuege.ru/formula/b9/b90985dde870365299abe5c564d3e204.png).

Те­перь решим не­ра­вен­ство http://reshuege.ru/formula/30/307b2284d02f09cf8f04c7b5e5599cd1.png

http://reshuege.ru/formula/21/2189dfc46cb99cd14d03633ae3476a75.png

 

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство http://reshuege.ru/formula/f0/f05ad7b4f7331e04f308b9f517c57be8.pngПе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство http://reshuege.ru/formula/4f/4f648c36ff0a4977c0e4caa4a4fe8d7e.png

 

С4. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно http://reshuege.ru/formula/c2/c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png. На одной из них лежит вер­ши­на http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png, на дру­гой — ос­но­ва­ние http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png Из­вест­но, что http://reshuege.ru/formula/06/06480dc101863ab9a43b57673161696e.png Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/14/14b1ad51ec1c47b47bee445bd306a51b.png а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png

Решение.

Пусть http://reshuege.ru/formula/1e/1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8.png — вы­со­та тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/ed/ed6c503298127c79f6ae86488016ff2c.png и http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png — ра­ди­ус и центр впи­сан­ной окруж­но­сти, http://reshuege.ru/formula/91/9139988e3648ec11ed601e038d8d6723.png по­это­му http://reshuege.ru/formula/42/426c8416cb54b13954194cc223ed2acb.png Най­дем пло­щадь, по­лу­пе­ри­метр и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/2a/2a2cf9584c16f71762469bd32f5fce2a.png

 

http://reshuege.ru/formula/01/01f192724b890be6dabaf18b905f5572.png

Тогда http://reshuege.ru/formula/3c/3c79dd8c76b7d0652028cfbd91e7a0b2.png Кроме того, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

http://reshuege.ru/formula/07/07548d1d8b03c4d5450d55e68d3ef61f.png

Пусть окруж­ность с цен­тром в точке http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны http://reshuege.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png и дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых. Ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен http://reshuege.ru/formula/c4/c4ba836de333cd4139f111ca69ea03c8.png по­сколь­ку он вдвое мень­ше рас­сто­я­ния между пря­мы­ми. Точку ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мой http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png обо­зна­чим http://reshuege.ru/formula/0a/0ae1285ce5610001567ddb53236e50fe.png

 

http://math.reshuege.ru/get_file?id=7356

Пусть точки http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png и http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png (рис. 1). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му http://reshuege.ru/formula/2c/2c64c5cf613d8b9f4f7f3980d29aca10.png и http://reshuege.ru/formula/40/406a827681ba573eb9029a9a41cae6d7.png — бис­сек­три­сы смеж­ных углов http://reshuege.ru/formula/5f/5f940633549c56d92d67022e81b6c5d6.png и http://reshuege.ru/formula/cd/cd361f16f3abea2f52d8de0a21c05520.png со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, http://reshuege.ru/formula/ec/ecbcab78f59cd4847907423f11e49ad7.png и http://reshuege.ru/formula/83/8353e1b919caabee1b05baf93f5266fe.png по­сколь­ку эти углы об­ра­зо­ва­ны па­ра­ми со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки http://reshuege.ru/formula/80/807b2a9e337cc4dc202da8381e32b563.png и http://reshuege.ru/formula/54/54947e05f9d19365e57ba2b20592e936.png по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том http://reshuege.ru/formula/66/66d2bee1fe0b13fb2c55d8821891e8c7.png По­это­му

 

http://reshuege.ru/formula/76/765b34f52ad6c49c0b91b7877b74e0f9.png

 

http://math.reshuege.ru/get_file?id=7357

Пусть точки http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png и http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежат по одну сто­ро­ну от точки http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png (рис. 2). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му лучи http://reshuege.ru/formula/2c/2c64c5cf613d8b9f4f7f3980d29aca10.png и http://reshuege.ru/formula/40/406a827681ba573eb9029a9a41cae6d7.png сов­па­да­ют и яв­ля­ют­ся бис­сек­три­сой угла http://reshuege.ru/formula/70/70e81e736cbd6dc3235924fca0f19c83.png Зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки http://reshuege.ru/formula/81/8154e5c303d1ac0fddea00154b517c4b.png и http://reshuege.ru/formula/89/891d80c2073280f4eea9174dbf6c4ed9.pngпо­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том http://reshuege.ru/formula/8f/8f80f4f43a537a4b40300116e42d40bf.png Тогда

 

 

http://reshuege.ru/formula/69/696dfda94e550abe750decad993482b6.png

 

Ответ: http://reshuege.ru/formula/63/6396f5896f4598f76d9f948f90625e28.png

 

С5.

В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция края, со­став­ля­ла http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png у.е. Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял http://reshuege.ru/formula/77/7730138e9ace02892c03ed7d918e2f72.png бар­ре­лей. Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная сумм вы­рос­ла до http://reshuege.ru/formula/08/08771170f49433a751044bc8e4514f7c.png у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до http://reshuege.ru/formula/19/195574a62e5ce51203b87628ec9178fb.png у.е. Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить http://reshuege.ru/formula/f0/f09c44810eba7e487bc296290b399a1a.png бар­ре­лей сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:

 

http://reshuege.ru/formula/02/02f77a014f9866077df968db036356f8.png % то есть http://reshuege.ru/formula/98/98980192d1936fa3352ecc44c1494801.png % = http://reshuege.ru/formula/08/084b6fbb10729ed4da8c3d3f5a3ae7c9.png %.

 

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001 г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.

 

Ответ: 96.



С6.
Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

http://reshuege.ru/formula/c2/c27cb553a49828a30b37b5af3b765861.png

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

http://reshuege.ru/formula/48/487275cce391db62c2ed6085ab8e91fd.png

 

С7.

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

 


Решение.

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му 4k − 8l + 0 · m = −3(k + l + m).

 

а) За­ме­тим, что в левой части при­ведённого выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му k + l + m — ко­ли­че­ство целых чисел — де­лит­ся на 4. По усло­вию 40 < k + l + m < 48, по­это­му k + l + m = 44. Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

 

б) При­ведём ра­вен­ство 4k − 8l = −3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥ 0, по­лу­ча­ем, что 5l ≥ 7k, от­ку­да l > k. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

 

в) Под­ста­вим k + l + m = 44 в пра­вую часть ра­вен­ства 4k − 8l = −3(k + l + m), от­ку­да k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44, по­лу­ча­ем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤ 17, то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

 в) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда http://reshuege.ru/formula/af/af16232ffc60e7470751c6c276772678.png ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

 

Ответ: а) 44; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 17.

Вариант 2,4.

C 1 № 504240. а) Ре­ши­те урав­не­ние http://reshuege.ru/formula/7d/7dbe51593d350b28efff6bf4f40802f8.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку http://reshuege.ru/formula/07/07bcc999507934024f8448b9fa572dc4.png

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при http://reshuege.ru/formula/30/30eab98a20240e4f7138609c42d2dda3.png то есть при http://reshuege.ru/formula/eb/eb48ab99519966eca41ba31320e37fd7.png Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен нулю:

 

http://reshuege.ru/formula/e4/e46e945ab30f338180749b4583898125.png

 

Серию http://reshuege.ru/formula/36/36962bbd4e967885dbe628cf138db096.png нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ: http://reshuege.ru/formula/f8/f8e2e7c8d97d4b205856b1d68cb40a3b.png

б) http://math.reshuege.ru/get_file?id=12221При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке http://reshuege.ru/formula/de/dec796eb8db772d6e7e4e47e9efe2b31.png

 

Ответ: а) http://reshuege.ru/formula/76/765369fd7ccbc5c42c99e8b8bc1ed060.png б) http://reshuege.ru/formula/b7/b794719ebda5e76b7bec489397c2e4cb.png

 

С2.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре ACна­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки ED и L.

 


Решение.

http://math.reshuege.ru/get_file?id=13805За­ме­тим, что http://reshuege.ru/formula/8e/8e4fa369b1ad0ed592a3d17c0381991d.png по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/ea/ea81d813c1a27b2ac2199fd43caf1cb1.png имеем: http://reshuege.ru/formula/99/990edd0176a90105427763856c4d15da.png Тогда пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/4f/4f9a01a5da8b8561cd3ccf535055da65.png равна:

 

http://reshuege.ru/formula/e3/e3b66733b825d6df7f8d42853d5a6ce9.png

 

 

Ответ: http://reshuege.ru/formula/66/66e46db5a62bc352996d1187bd147368.png

 

С3.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств http://reshuege.ru/formula/26/264aff849f3e536b61a34bd9b657e19f.png

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. За­ме­тим, что чис­ли­тель дроби (левая часть не­ра­вен­ства), по­ло­жи­те­лен при всех зна­че­ни­яhttp://reshuege.ru/formula/0d/0d1e7594523d615ac6574f4aa5b3fb40.pngтак как дис­кри­ми­нант под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния от­ри­ца­те­лен: http://reshuege.ru/formula/f9/f90e8ac668a167560a0a3552ffa9a6e0.pngА для того чтобы левая часть не­ра­вен­ства была не мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ние двух усло­вий: http://reshuege.ru/formula/20/20e14e5c1eac814831da8c060e267f38.pngиhttp://reshuege.ru/formula/37/37df6af3dd21d23a61185e7b4cad69f1.pngРешим си­сте­му:

 

http://reshuege.ru/formula/cf/cf47277febec2f84649e7d66e6f0e494.png

 

Од­на­ко, при http://reshuege.ru/formula/a2/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.pngзна­ме­на­тель левой части пер­во­го не­ра­вен­ства об­ра­ща­ет­ся в нуль. По­это­му даль­ней­шие наши ис­сле­до­ва­ния будем вести на мно­же­стве http://reshuege.ru/formula/08/080b94835b0f58520d0bae7c182ec7ba.png

Решим пер­вое не­ра­вен­ство на ука­зан­ном мно­же­стве. По­сколь­ку наhttp://reshuege.ru/formula/5d/5dd170fe22e83d5ccafb664fd471c861.pnghttp://reshuege.ru/formula/d2/d21fb5fa7e12a03f1b4e4f99d5301788.pngто

 

http://reshuege.ru/formula/71/7105f5b5dc065ce787beb1d96ed50fff.png

 

http://reshuege.ru/formula/92/9282dfe95ecd90ef8412e96559a989ef.png

 

По­сколь­ку на http://reshuege.ru/formula/8c/8cea2e4c8cc6333727c6d77797d065c4.pnghttp://reshuege.ru/formula/d2/d21fb5fa7e12a03f1b4e4f99d5301788.pngто на этом мно­же­ствеhttp://reshuege.ru/formula/ba/ba734570b67a56276b413664bbd13a4b.pngА также на http://reshuege.ru/formula/b0/b0b327b0806fff6fb65457f2d75ef035.pngЗна­чит, на этом мно­же­стве

http://reshuege.ru/formula/2f/2f8c5d545811b1997ce761bd16f41ba0.png

 

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы есть мно­же­ство (2; 3).

 

Ответ: (2; 3).

 

С4.

В тре­уголь­ни­ке http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png из­вест­ны сто­ро­ны: http://reshuege.ru/formula/e2/e263d005d57e740982a503ee08531bf0.png http://reshuege.ru/formula/18/1800dc4af61459c83a06a64ce171c03c.png http://reshuege.ru/formula/6d/6dc73c2b0375db5c53839d782170b92f.png Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png и http://reshuege.ru/formula/b8/b89e5a133abfb103cd888ed2cad06dc5.png пе­ре­се­ка­ет пря­мые http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png и http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png со­от­вет­ствен­но в точ­ках http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png и http://reshuege.ru/formula/df/dfcc92637e9462725e6a9502ae267b78.png от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок http://reshuege.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.png ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png. Най­ди­те длину от­рез­ка http://reshuege.ru/formula/45/45c91fd18f42506b20013996891fe6c6.png

 


Решение.

http://math.reshuege.ru/get_file?id=4418Обе точки http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png и http://reshuege.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок http://reshuege.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.png не может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

Пусть обе точки http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png и http://reshuege.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Че­ты­рех­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/36/36a6b2fd4197167df7cda9daed233e2b.png — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

 

http://reshuege.ru/formula/73/73d3a5114e0a299d17377deb6f2726f0.png

 

Зна­чит, тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png по­до­бен тре­уголь­ни­ку http://reshuege.ru/formula/e8/e85f7bc210cf51d1aabea49f71121467.png так как угол http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен http://reshuege.ru/formula/9a/9a2e3983721474f18eaedbc0594dfa18.png тогда http://reshuege.ru/formula/53/5390382bf5f7f8bfdcf1bb6c2ea5c4f5.png http://reshuege.ru/formula/03/03f3b050dc52f6692a90d4c028e7e89e.png Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка http://reshuege.ru/formula/36/36a6b2fd4197167df7cda9daed233e2b.png равны:

 

http://reshuege.ru/formula/64/64571683fe55933f1a3cd61fa3ec4a95.png

 

http://math.reshuege.ru/get_file?id=4420Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим

 

http://reshuege.ru/formula/52/520f8a98abe1d03de805bb5450d49e45.png

http://reshuege.ru/formula/2b/2b1feaa0aa9c57a77dcbbbb04bd28fe0.png Сле­до­ва­тель­но, http://reshuege.ru/formula/1f/1fc4d94b68ca168a6923ba937213e86e.png

Пусть точка http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png. Углы http://reshuege.ru/formula/ef/ef7f95debd782bfb71ed799a2395b2f6.png и http://reshuege.ru/formula/5b/5bec55d452dbea99476cd51a1c821b8a.png равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png по­до­бен тре­уголь­ни­ку http://reshuege.ru/formula/27/275afbf40342c6617de8827f232f9955.png, так как уголhttp://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен http://reshuege.ru/formula/d4/d466962342c69e0ac1b0532a493d2908.png то есть, тре­уголь­ни­ки http://reshuege.ru/formula/27/275afbf40342c6617de8827f232f9955.png и http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png равны, по­это­му http://reshuege.ru/formula/6d/6d5d2a5c1a8028e1fc27bd2a88f64a27.png За­ме­тим, что http://reshuege.ru/formula/07/07dbe5e58f49c0d9f0c0cbb86ebf8bbf.png и точка http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны http://reshuege.ru/formula/0c/0c6ed112a9eb109891082295b6e83622.png

Если точка http://reshuege.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны http://reshuege.ru/formula/13/1386a33c8084d2507f95822d41bc77e1.png то http://reshuege.ru/formula/0e/0eff83722f98fb712e6c329a04d4a160.png но, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем http://reshuege.ru/formula/d1/d1530b70ab8f04fa666a26195817e818.png Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ: http://reshuege.ru/formula/0b/0bed788c5fd485389ea987b4294ceff9.png

С5. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение:

Тогда банк вложит http://alexlarin.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\color%7bblue%7d%7B0%7D%2C%7B3%7D%7Ba%7D средств в комбинат, а http://alexlarin.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\color%7bblue%7d%7B0%7D%2C%7B7%7D%7Ba%7D – в торговый комплекс.
а) Ясно, что минимальная выручка будет тогда, когда проекты принесут минимальный доход, а банк будет вынужден отдать клиентам проценты по максимальной ставке. Минимальную прибыль можно найти так: 
http://alexlarin.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\color%7bblue%7d%7Ba%7D%7B%5Cleft(%7B1%7D%2C%7B32%7D%5Ccdot%7B0%7D%2C%7B3%7D%2B%7B1%7D%2C%7B22%7D%5Ccdot%7B0%7D%2C%7B7%7D%5Cright)%7D-%7B1%7D%2C%7B2%7D%7Ba%7D%3D%7B0%7D%2C%7B05%7D%7Ba%7D. Минимальная прибыль равна 5%.
б) Максимальным доход будет, если все проекты принесут максимально возможную сумму, и банк выдаст клиенты проценты по минимальной ставке. Максимальная прибыль: 
http://alexlarin.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\color%7bblue%7d%7Ba%7D%7B%5Cleft(%7B1%7D%2C%7B37%7D%5Ccdot%7B0%7D%2C%7B3%7D%2B%7B1%7D%2C%7B27%7D%5Ccdot%7B0%7D%2C%7B7%7D%5Cright)%7D-%7B1%7D%2C%7B1%7D%7Ba%7D%3D%7B0%7D%2C%7B2%7D%7Ba%7D. Максимальная прибыль равна 20%.

Ответ: 5%, 20%.

 

С6.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

http://reshuege.ru/formula/a3/a3c48b566affcb179b8ba98b53d2fa38.png

 

имеет един­ствен­ный ко­рень.

 


Решение.

Если x0 яв­ля­ет­ся кор­нем ис­ход­но­го урав­не­ния, то и −x0 яв­ля­ет­ся его кор­нем. Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, толь­ко если x0 = −x0, то есть x0 = 0. Под­ста­вим зна­че­ние x = 0 в ис­ход­ное урав­не­ние:

 

http://reshuege.ru/formula/55/558fa4b8c9a9fc27d6563d50f3e974ff.png

 

от­ку­да либо |a − 3| = 0  a = 3, либо |a − 3| = 2 a = 1, или a = 5.

При a = 3 ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x2 = 2|x|. Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа −2; 0 и 2, то есть ис­ход­ное урав­не­ние имеет более од­но­го корня.

При a = 1 и при a = 5 урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x2 + 4 = |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию x2 + 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней.

При −2 ≤ x ≤ 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x2 = 0, ко­то­рое имеет един­ствен­ный ко­рень.

При x > 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x2 − 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней. При a = 1 и при a = 5 ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

 

Ответ: 1; 5.

 

С 7.

Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел http://reshuege.ru/formula/d9/d979f2f2fed5d2a30bbbb1abbad51ba2.png В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше http://reshuege.ru/formula/8f/8f885610bb42e76530f8902d55629b72.png Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние http://reshuege.ru/formula/48/48b0c0899579ff296e9e96c6ef9e4c4d.png.

 


Решение.

Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние тре­тье­го члена воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел http://reshuege.ru/formula/3e/3e639e9500f3cc26e311c24df05772ef.png, при­чем толь­ко если http://reshuege.ru/formula/6d/6d32420df194fb45a65c40ee7c438751.png и http://reshuege.ru/formula/06/067db78c6d93e3b7e280de54f92bc5c2.png. То есть если де­ся­тич­ная дробь на­чи­на­ет­ся так:

 

http://reshuege.ru/formula/de/de182e65c156ae1e34347ceba053d4f7.png (чет­вер­тая цифра не http://reshuege.ru/formula/cf/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png).

За­ме­тим, что таким об­ра­зом на­чи­на­ет­ся, на­при­мер, число

 

http://reshuege.ru/formula/bb/bb90bd2efca86cf097bc74aef21cd5ea.png

Най­дем число http://reshuege.ru/formula/6f/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png и про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ет ли оно усло­ви­ям за­да­чи. Для этого за­пи­шем сумму по­дроб­нее.

 

http://reshuege.ru/formula/c9/c90ebe4c1708aa2c6d0218c6efec0ca6.png

В каж­дой строч­ке — сумма гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем http://reshuege.ru/formula/eb/ebfb8ea2bd61db220781652e81f6d0cd.png

По фор­му­ле для суммы бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем:

 

http://reshuege.ru/formula/95/955f3d69b544456e448e8a3ae06eb5c8.png

http://reshuege.ru/formula/80/801e0b33591ca5c2441641f968b682de.png

По­лу­ча­ет­ся, что http://reshuege.ru/formula/6f/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png — ра­ци­о­наль­ное число, и оно пред­став­ля­ет­ся дро­бью со зна­ме­на­те­лем 81, что мень­ше ста. Число http://reshuege.ru/formula/6f/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и для этого числа http://reshuege.ru/formula/34/34dffb8a0f1597f722e555332d5d1d7c.png

Ответ: 3.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Руководитель страховой организации

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данная работа представляет репетиционный тест в формате ЕГЭ-2015 для 11 класса по математике профильный уровень. Здесь 4 варианта работы. Так как работа проводилась в декабре 2014 года, то в работе отсутствуют задания, содержащие логарифмы, в виду того, что логарифмы по УМК Мордковича изучаются во втором полугодии 11 класса.

Задания собирались с различных сайтов, таких как: решу ЕГЭ, сайт Алекса Ларина и mathege.

В конце работы есть ответы и решения для части С (задания 15-21). В части С задания у первого-третьего и второго-четвертого вариантов дублируются. Тест составлялся для текущего среза готовности учеников, выбравших сдачу ЕГЭ по математике на профильном уровне.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 522 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 04.01.2015 851
    • DOCX 1.3 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Васильева Рита Леонидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Васильева Рита Леонидовна
    Васильева Рита Леонидовна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 20983
    • Всего материалов: 5

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

HR-менеджер

Специалист по управлению персоналом (HR- менеджер)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика. Сложение и вычитание

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1354 человека из 85 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания с применением дистанционных технологий

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 39 человек из 19 регионов

Курс повышения квалификации

Развивающие математические задания для детей и взрослых

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 64 человека из 26 регионов

Мини-курс

Успешая команда: опросы, сторис

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Фундаментальные принципы здоровья и двигательной активности

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психологические особенности педагогического общения

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 30 человек из 19 регионов