Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса. ПОДАТЬ ЗАЯВКУ НА КОНКУРС.
Главная / Математика / Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)

Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)

Скачать материал

Вариант №1

Декабрь 2014

B 1 . Поезд Но­во­си­бирск-Крас­но­ярск от­прав­ля­ет­ся в 15:20, а при­бы­ва­ет в 4:20 на сле­ду­ю­щий день (время мос­ков­ское). Сколь­ко часов поезд на­хо­дит­ся в пути?

В 2. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат — сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч? 

hello_html_e7f7db1.png

B 3 . Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 48 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 м2. В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

 

Фирма

Цена стек­ла (руб. за 1 м2)

Резка и шли­фов­ка (руб. за одно стек­ло)

A

420

75

Б

440

65

В

470

55


B 4 . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 12. DE ― сред­няя линия этого тре­уголь­ни­ка, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABDE.

B 5 . Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?

B 6 . Най­ди­те ко­рень урав­не­ния hello_html_m63b214be.png.hello_html_0.gif



В 7. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_4907666.png, CH  — высота, hello_html_m4f4af709.png, hello_html_m56159f53.png. НайдитеAH.

В 8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

hello_html_15fa5fcf.pnghello_html_m5cf3f4b6.png


В 9. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де hello_html_9893ae3.png точка hello_html_302e26ad.png – се­ре­ди­на ребра hello_html_m29a83e4b.png, hello_html_5728922d.png – вер­ши­на. Из­вест­но, что hello_html_4fca4ab3.png=3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_6810cb7a.png.

В 10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_3a366d13.png, если hello_html_m17eb1317.png.

В 11. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те hello_html_m21a6211d.png м над землей, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле hello_html_m55203c56.png, где hello_html_37197701.png км — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 4 км. На сколь­ко мет­ров нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы рас­сто­я­ние до го­ри­зон­та уве­ли­чи­лось до 48 ки­ло­мет­ров?




Вариант №1

Декабрь 2014

В 12. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер. hello_html_m24e1f21c.png


B 13 . Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 5 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 5 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

B 14 . Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_825bd89.png на от­рез­ке hello_html_5f62b451.png





15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_183162f4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png


16. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки hello_html_m1e35b117.png до плос­ко­сти hello_html_6efb9be6.png.


17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

hello_html_m7bd5defa.png


18. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно hello_html_m73512086.png. На одной из них лежит вер­ши­на hello_html_22d09072.png, на дру­гой — ос­но­ва­ние hello_html_m29a83e4b.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png Из­вест­но, что hello_html_6bd89558.png Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник hello_html_55a8f74c.png а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png

19.  В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

20. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_71fa9894.png

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.


21. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Вариант №2

Декабрь 2014

B1. На счету Ма­ши­но­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на было 53 рубля, а после раз­го­во­ра с Леной оста­лось 8 руб­лей. Сколь­ко минут длил­ся раз­го­вор с Леной, если одна ми­ну­та раз­го­во­ра стоит 2 рубля 50 ко­пе­ек?

В 2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха hello_html_m11344f7c.png. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Водитель может начинать движение, когда температура двигателя достигнет hello_html_m11344f7c.png. Какое наименьшее количество минут потребуется, чтобы водитель мог начать движение? hello_html_64475fb4.png

В 3. Кли­ент хочет арен­до­вать ав­то­мо­биль на трое суток для по­езд­ки про­тя­жен­но­стью 600 км. В таб­ли­це при­ве­де­ны ха­рак­те­ри­сти­ки трех ав­то­мо­би­лей и сто­и­мость их арен­ды. По­ми­мо арен­ды кли­ент обя­зан опла­тить топ­ли­во для ав­то­мо­би­ля на всю по­езд­ку. Какую сумму в руб­лях за­пла­тит кли­ент за арен­ду и топ­ли­во, если вы­бе­рет самый де­ше­вый ва­ри­ант?

Ав­то­мо­биль

Топ­ли­во

Рас­ход топ­ли­ва (л на 100 км)

Аренд­ная плата (руб. за 1 сутки)

А

Ди­зель­ное

7

3400

Б

Бен­зин

10

3500

В

Газ

12

3100

Цена ди­зель­но­го топ­ли­ва — 21 рубль за литр, бен­зи­на — 23 рубля за литр, газа — 16 руб­лей за литр.

В 4. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен hello_html_m248513b3.png. Най­ди­те мень­ший угол дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В 5. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

В 6. Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_m5e5270f8.png.



В 7. В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png hello_html_70d3ccaf.png, вы­со­та hello_html_3940000a.png равна 4, hello_html_m3be1fdd9.png. Най­ди­те hello_html_52d63ee.png.

В 8. Пря­мая hello_html_m6cdeb35.png яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции hello_html_74c2ddd4.png. Най­ди­те a.

В 9. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке, все дву­гран­ные углы ко­то­ро­го пря­мые. hello_html_m1035e24b.png

В 10. Най­ди­те hello_html_13fc03b6.png, если hello_html_7aba3477.png, при hello_html_769f5ac5.png.

В 11. В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­нуhello_html_42b50f8f.png где hello_html_mf2b33a1.png – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана, hello_html_42e0783a.png – на­чаль­ная вы­со­та стол­ба воды, hello_html_m6f66230a.png – от­но­ше­ние пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний крана и бака, а hello_html_1003048d.png – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те hello_html_m48cc21af.png м/сhello_html_m2bb991ac.png). Через сколь­ко се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объема воды?

Вариант №2

Декабрь 2014

В 12. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все ребра равны 34. Най­ди­те угол hello_html_d33b99.png. Ответ дайте в гра­ду­сах.

В 13. Один­на­дцать ру­ба­шек де­шев­ле курт­ки на 1%. На сколь­ко про­цен­тов три­на­дцать ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

В 14. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции hello_html_169764b4.png






15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_59c5777c.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_498b1500.png


16. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: hello_html_4d99b560.png

18. В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png из­вест­ны сто­ро­ны: hello_html_376b810d.png hello_html_m58b19588.png hello_html_368971f5.png Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки hello_html_3e6a0328.png и hello_html_4d32fac2.png пе­ре­се­ка­ет пря­мые hello_html_m29a83e4b.png и hello_html_4fca4ab3.png со­от­вет­ствен­но в точ­ках hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_332b1349.png от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок hello_html_m67067672.png ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_m17d3da6.png

19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_m454d67a3.png

имеет един­ствен­ный ко­рень.

21. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m708099c1.png В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше hello_html_m4a47b91d.png Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние hello_html_56af7ecb.png.





Вариант №3

Декабрь 2014

B 1 . Мо­биль­ный те­ле­фон стоил 6000 руб­лей. Через не­ко­то­рое время цену на эту мо­дель сни­зи­ли до 4800 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена?

B 2 . На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­ме­сяч­ны­ми тем­пе­ра­ту­ра­ми в 1973 году. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

hello_html_384fdc2d.png

B 3 . От дома до дачи можно до­е­хать на ав­то­бу­се, на элек­трич­ке или на марш­рут­ном такси. В таб­ли­це по­ка­за­но время, ко­то­рое нужно за­тра­тить на каж­дый уча­сток пути. Какое наи­мень­шее время по­тре­бу­ет­ся на до­ро­гу? Ответ дайте в часах.

 

1

2

3

Ав­то­бу­сом

От дома до ав­то­бус­ной 
стан­ции — 5 мин.

Ав­то­бус в пути: 
2 ч 5 мин.

От оста­нов­ки ав­то­бу­са 
до дачи пеш­ком 10 мин.

Элек­трич­кой

От дома до стан­ции же­лез­ной 
до­ро­ги — 30 мин.

Элек­трич­ка в пути: 
1 ч 40 мин.

От стан­ции до дачи 
пеш­ком 5 мин.

Марш­рут­ным такси

От дома до оста­нов­ки марш­рут­но­го 
такси — 20 мин.

Марш­рут­ное такси в до­ро­ге: 
1 ч 30 мин.

От оста­нов­ки марш­рут­но­го такси 
до дачи пеш­ком 35 мин.








B 4 .  В треугольнике hello_html_5347236a.png hello_html_65bcb7c5.png 6, высота hello_html_18b4d6e1.png равна 3. Найдите градусную меру угла hello_html_m195330e8.png. hello_html_m651de1d0.jpg

B 5 . На эк­за­ме­не 45 би­ле­тов, Федя не вы­учил 9 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный билет.

B 6 . Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_m2862b791.png. В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

B 7 .hello_html_2d9ff534.png

В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png угол hello_html_22d09072.png равен 90°, синус внеш­не­го угла при вер­ши­не hello_html_3e6a0328.pngравен hello_html_ma269705.pnghello_html_m399f223d.png. Най­ди­те hello_html_m2a068cda.png.

B 8 . hello_html_m54fdd0c9.pngНа ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Вариант №3

Декабрь 2014

B 9 . В кубе hello_html_m487ee1f1.png точка hello_html_m5a6cd016.png — середина ребра hello_html_2b9dfb64.png, точка hello_html_m5cafd800.png — середина ребраhello_html_m5cac094d.png, точка hello_html_m7eb3431e.png — середина ребра hello_html_683281d7.png. Найдите угол hello_html_m193273b5.png. Ответ дайте в градусах.

B 10 . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m7e1cb8e0.png.

B 11 . Кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на вы­стре­ли­ва­ет камни под не­ко­то­рым ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Тра­ек­то­рия полeта камня опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой hello_html_m534c8833.png, где hello_html_me2dda7c.png мhello_html_m4996378d.png, hello_html_m49ecafb.png – по­сто­ян­ные па­ра­мет­ры, hello_html_m286966cb.png – сме­ще­ние камня по го­ри­зон­та­ли, hello_html_398d5ab5.png – вы­со­та камня над землeй. На каком наи­боль­шем рас­сто­я­нии (в мет­рах) от кре­пост­ной стены вы­со­той 8 м нужно рас­по­ло­жить ма­ши­ну, чтобы камни про­ле­та­ли над сте­ной на вы­со­те не менее 1 метра?

B 12 . hello_html_m441ad5d8.pngОс­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 6, бо­ко­вое ребро равно 6. Най­ди­те объем приз­мы.


B 13 . Две бри­га­ды, со­сто­я­щие из ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции, од­но­вре­мен­но на­ча­ли стро­ить два оди­на­ко­вых дома. В пер­вой бри­га­де было 3 ра­бо­чих, а во вто­рой — 9 ра­бо­чих. Через 4 дня после на­ча­ла ра­бо­ты в первую бри­га­ду пе­ре­шли 7 ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, в ре­зуль­та­те чего оба дома были по­стро­е­ны од­но­вре­мен­но. Сколь­ко дней по­тре­бо­ва­лось бри­га­дам, чтобы за­кон­чить ра­бо­ту в новом со­ста­ве?

B 14 .Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции hello_html_m1545e362.png.




15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_183162f4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png


16. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки hello_html_m1e35b117.png до плос­ко­сти hello_html_6efb9be6.png.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

hello_html_m7bd5defa.png


18. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно hello_html_m73512086.png. На одной из них лежит вер­ши­на hello_html_22d09072.png, на дру­гой — ос­но­ва­ние hello_html_m29a83e4b.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png Из­вест­но, что hello_html_6bd89558.png Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник hello_html_55a8f74c.png а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png

19. В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

20. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_71fa9894.png

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

21. На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?




Вариант №4

Декабрь 2014

B 1 . Пачка сли­воч­но­го масла стоит 60 руб­лей. Пен­си­о­не­рам ма­га­зин де­ла­ет скид­ку 5%. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит пен­си­о­нер за пачку масла?

B 2 . На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена зо­ло­та в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую цену зо­ло­та за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях за грамм.

hello_html_17394894.png

B 3 . Ке­ра­ми­че­ская плит­ка одной и той же тор­го­вой марки вы­пус­ка­ет­ся трёх раз­ных раз­ме­ров. Плит­ки упа­ко­ва­ны в пачки. Тре­бу­ет­ся ку­пить плит­ку, чтобы об­ли­це­вать пол квад­рат­ной ком­на­ты со сто­ро­ной 3 м. Раз­ме­ры плит­ки, ко­ли­че­ство пли­ток в пачке и сто­и­мость пачки при­ве­де­ны в таб­ли­це.

Раз­мер плит­ки 
(смhello_html_26550faf.pngсм)

Ко­ли­че­ство 
пли­ток в пачке 

Цена пачки 

20hello_html_26550faf.png20

25

604 р.

20hello_html_26550faf.png30

16

595 р. 20 к.

30hello_html_26550faf.png30

11

594 р.

Во сколь­ко руб­лей обойдётся наи­бо­лее дешёвый ва­ри­ант по­куп­ки?

B 4 .  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см hello_html_26550faf.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

hello_html_m37767fe0.png

B 5 . Вика вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. Те­ле­ви­зор вклю­ча­ет­ся на слу­чай­ном ка­на­ле. В это время по че­тыр­на­дца­ти ка­на­лам из трид­ца­ти пяти по­ка­зы­ва­ют ре­кла­му. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Вика по­па­дет на канал, где ре­кла­ма не идет.

B 6 . Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: hello_html_2318fb42.png

B 7 . В треугольнике hello_html_5347236a.png угол hello_html_m195330e8.png равен hello_html_4907666.png, угол hello_html_4a187959.png равен hello_html_7a34411c.png, hello_html_14a6b889.png hello_html_30facc04.png. Найдите высоту hello_html_m3558d12b.png. hello_html_3ece1905.jpg

B 8 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну hello_html_64cc9906.png (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 5 м/с?

B 9 . Найдите расстояние между вершинами hello_html_m195330e8.png и hello_html_253a3c0b.png многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

hello_html_20790bb5.png

B 10 . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m77852464.png.

B 11 . При тем­пе­ра­ту­ре hello_html_m6ea5bd04.png рельс имеет длину hello_html_3cd91bdc.png м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну hello_html_2247eaac.png, где hello_html_m4d50cda.png — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния, hello_html_m65750dc8.png — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 7,5 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

Вариант №4

Декабрь 2014

B 12. В правильной четырёхугольной призме hello_html_m487ee1f1.png ребро hello_html_6abeef1c.png равно 24, а диагональ hello_html_3f8d77e0.png равна 30. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки hello_html_4a187959.png, hello_html_180dd091.png и hello_html_m195330e8.png.

hello_html_6d6eb1a.png

B 13 . Баржа в 10:00 вышла из пунк­та hello_html_3e6a0328.png в пункт hello_html_m1e35b117.png, рас­по­ло­жен­ный в 15 км от hello_html_3e6a0328.png. Про­быв в пунк­те hello_html_m1e35b117.png 1 час 20 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт hello_html_3e6a0328.png в 16:00. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна hello_html_24bc25c2.png км/ч.

B 14 . Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_93e599b.pngна

от­рез­ке hello_html_m57e6ad66.png.




15. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_3b8ea9b4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_498b1500.png


16. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: hello_html_4d99b560.png

18. В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png из­вест­ны сто­ро­ны: hello_html_376b810d.png hello_html_m58b19588.png hello_html_368971f5.png Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки hello_html_3e6a0328.png и hello_html_4d32fac2.png пе­ре­се­ка­ет пря­мые hello_html_m29a83e4b.png и hello_html_4fca4ab3.png со­от­вет­ствен­но в точ­ках hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_332b1349.png от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок hello_html_m67067672.png ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_m17d3da6.png

19. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_m454d67a3.png

имеет един­ствен­ный ко­рень.

21. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m708099c1.png В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше hello_html_m4a47b91d.png Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние hello_html_56af7ecb.png.





Ответы: профиль декабрь 2014.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

ВАР 1

13

1

8280

9

0,36

39

9,6

-2

10

-28

178,75

16

30

 25

ВАР 2

18

3

10452

24

0,3

-2

0,5

24

14

1

50

60

17

1

ВАР 3

20

38

2,25

30

0,8

-2

2

0,25

60

5

90

54

3

6

ВАР 4

57

1010

5436

3

0,6

-5

2

8

30

10

62,5

4

2

9



Вариант 1,3

С1. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_183162f4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png



Решение.

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде:

hello_html_m6157b99.png

В ре­зуль­та­те по­лу­чим:

hello_html_m3b5b0679.png

Зна­чит

hello_html_5e693be9.png

.

hello_html_6ffea299.pngб) От­ме­тим ре­ше­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти.

 

От­рез­ку hello_html_m1c0f1a24.png при­над­ле­жат корни hello_html_309529f7.pnghello_html_4cbc2599.png и hello_html_2efd5bf8.png

 

 

Ответ:

А) hello_html_5e693be9.png

Б) hello_html_309529f7.pnghello_html_4cbc2599.png и hello_html_2efd5bf8.png

С2. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме hello_html_m672dab41.png все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки hello_html_m1e35b117.png до плос­ко­сти hello_html_6efb9be6.png.



Решение.

hello_html_mcb33baf.pngПря­мые hello_html_4eeac8c9.png и hello_html_m1c4f0dfb.png пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой hello_html_1fc2ec47.png. Плос­кость hello_html_6efb9be6.png, со­дер­жа­щая пря­мую hello_html_1fc2ec47.png, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти hello_html_m5f920f2a.png. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно вы­со­те hello_html_64b10124.png пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_m5f920f2a.png, в ко­то­ром hello_html_m641181fd.pnghello_html_7ccde3f.pnghello_html_m3bf9d580.png:

 

 

hello_html_m190a7566.png

Ответ: hello_html_m191e1ae3.png.

С3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств hello_html_m7bd5defa.png

Ре­ше­ние.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

 

hello_html_1faf652a.png

 

hello_html_m52560fed.png

 

hello_html_m60d9c5f5.pngпри всех hello_html_m592c56e7.pngпо­сколь­ку hello_html_4bf9f191.png

 

Сле­до­ва­тель­но,

hello_html_m7ee71353.png

 

Итак, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство hello_html_2df99f7b.png

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы: hello_html_m43ab8d67.png

Оче­вид­но, кор­ня­ми урав­не­ния hello_html_59cce21f.pngбудут числа: −4 и −3. (Ко­рень квад­рат­но­го трех­чле­на hello_html_7bfe31fa.pngрав­ный −5 не может слу­жить ис­ко­мым кор­нем из-за не­от­ри­ца­тель­но­сти вы­ра­же­ния hello_html_7af65171.png).

Те­перь решим не­ра­вен­ство hello_html_m6953948a.png

hello_html_m1835b595.png

 

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство hello_html_m2e9388d6.pngПе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство hello_html_526b2a0b.png


С4. Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно hello_html_m73512086.png. На одной из них лежит вер­ши­на hello_html_22d09072.png, на дру­гой — ос­но­ва­ние hello_html_m29a83e4b.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png Из­вест­но, что hello_html_6bd89558.png Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник hello_html_55a8f74c.png а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка hello_html_5e5695b8.png

Решение.

Пусть hello_html_3940000a.png — вы­со­та тре­уголь­ни­ка hello_html_6aa090dc.png и hello_html_m29eed033.png — ра­ди­ус и центр впи­сан­ной окруж­но­сти, hello_html_2ce74331.png по­это­му hello_html_m303f2ef9.png Най­дем пло­щадь, по­лу­пе­ри­метр и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка hello_html_m32a04f41.png

 

hello_html_6a8fa4f8.png

Тогда hello_html_m3b9ad33d.png Кроме того, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

hello_html_m71e9d329.png

Пусть окруж­ность с цен­тром в точке hello_html_7e65799d.png ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны hello_html_m2a068cda.png рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_m16dc49fa.png и дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых. Ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен hello_html_m77ee09f6.png по­сколь­ку он вдвое мень­ше рас­сто­я­ния между пря­мы­ми. Точку ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мой hello_html_m29a83e4b.png обо­зна­чим hello_html_m542b372c.png

 

hello_html_5f5865db.png

Пусть точки hello_html_m1e35b117.png и hello_html_302e26ad.png лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки hello_html_3e6a0328.png (рис. 1). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му hello_html_m3193a2bb.png и hello_html_m655ac96a.png — бис­сек­три­сы смеж­ных углов hello_html_15aa7104.png и hello_html_3253c773.png со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, hello_html_m17db4f9d.png и hello_html_3e245469.png по­сколь­ку эти углы об­ра­зо­ва­ны па­ра­ми со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки hello_html_m2a2e03ec.png и hello_html_4894c8d.png по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том hello_html_m3cbdd84d.png По­это­му

 

hello_html_6e84831c.png

 

hello_html_m7740e820.png

Пусть точки hello_html_m1e35b117.png и hello_html_302e26ad.png лежат по одну сто­ро­ну от точки hello_html_3e6a0328.png (рис. 2). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му лучи hello_html_m3193a2bb.png и hello_html_m655ac96a.png сов­па­да­ют и яв­ля­ют­ся бис­сек­три­сой угла hello_html_m40be3510.png Зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки hello_html_d72191b.png и hello_html_m17a4a91d.pngпо­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том hello_html_m2e7fae2a.png Тогда

 

 

hello_html_m6714e5ff.png

 

Ответ: hello_html_69de0e3d.png



С5.

В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция края, со­став­ля­ла hello_html_5728922d.png у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти hello_html_302e26ad.png у.е. Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял hello_html_m7a7cb53c.png бар­ре­лей. Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная сумм вы­рос­ла до hello_html_606069e7.png у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до hello_html_157d7a5.png у.е. Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить hello_html_m10ed7ec2.png бар­ре­лей сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:

 

hello_html_3ab85d0f.png % то есть hello_html_61b06463.png % = hello_html_48679917.png %.

 

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001 г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.

 

Ответ: 96.



С6. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_71fa9894.png

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

hello_html_m1fae6e0b.png


С7.

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?



Решение.

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му 4k − 8l + 0 · m = −3(k + l + m).

 

а) За­ме­тим, что в левой части при­ведённого выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му k + l + m — ко­ли­че­ство целых чисел — де­лит­ся на 4. По усло­вию 40 < k + l + m < 48, по­это­му k + l + m = 44. Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

 

б) При­ведём ра­вен­ство 4k − 8l = −3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥ 0, по­лу­ча­ем, что 5l ≥ 7k, от­ку­да l > k. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

 

в) Под­ста­вим k + l + m = 44 в пра­вую часть ра­вен­ства 4k − 8l = −3(k + l + m), от­ку­да k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44, по­лу­ча­ем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤ 17, то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

 в) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда hello_html_611a47e6.png ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

 

Ответ: а) 44; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 17.

Вариант 2,4.

C 1 № 504240. а) Ре­ши­те урав­не­ние hello_html_3b8ea9b4.png

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку hello_html_498b1500.png

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при hello_html_m4652922e.png то есть при hello_html_m598dd24d.png Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен нулю:

 

hello_html_6f5c424d.png

 

Серию hello_html_1ae0d6a2.png нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ: hello_html_3393a925.png

б) hello_html_m2ab21cf2.pngПри по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке hello_html_m1c7b575d.png

 

Ответ: а) hello_html_5609ed84.png б) hello_html_2eeca1e8.png



С2.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, а бо­ко­вые рёбра 16. На ребре ACна­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что CD = BE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки ED и L.



Решение.

hello_html_m30607e6e.pngЗа­ме­тим, что hello_html_m502210fc.png по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка hello_html_79918cba.png имеем: hello_html_m3e49fac8.png Тогда пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка hello_html_397b87f5.png равна:

 

hello_html_m73753c71.png

 

 

Ответ: hello_html_m65724459.png


С3.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств hello_html_4d99b560.png

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. За­ме­тим, что чис­ли­тель дроби (левая часть не­ра­вен­ства), по­ло­жи­те­лен при всех зна­че­ни­яhello_html_m592c56e7.pngтак как дис­кри­ми­нант под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния от­ри­ца­те­лен: hello_html_79f55978.pngА для того чтобы левая часть не­ра­вен­ства была не мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ние двух усло­вий: hello_html_maf2fa5d.pngиhello_html_m7acc1b74.pngРешим си­сте­му:

 

hello_html_1bf0c44e.png

 

Од­на­ко, при hello_html_m46d813bb.pngзна­ме­на­тель левой части пер­во­го не­ра­вен­ства об­ра­ща­ет­ся в нуль. По­это­му даль­ней­шие наши ис­сле­до­ва­ния будем вести на мно­же­стве hello_html_5c400ad6.png

Решим пер­вое не­ра­вен­ство на ука­зан­ном мно­же­стве. По­сколь­ку наhello_html_a8754d4.pnghello_html_mf0581ae.pngто

 

hello_html_m9e9610e.png

 

hello_html_63b52918.png

 

По­сколь­ку на hello_html_a8754d4.pnghello_html_mf0581ae.pngто на этом мно­же­ствеhello_html_586e01b4.pngА также на hello_html_536515ec.pngЗна­чит, на этом мно­же­стве

hello_html_m9a972e6.png

 

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы есть мно­же­ство (2; 3).

 

Ответ: (2; 3).



С4.

В тре­уголь­ни­ке hello_html_m16dc49fa.png из­вест­ны сто­ро­ны: hello_html_376b810d.png hello_html_m58b19588.png hello_html_368971f5.png Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки hello_html_3e6a0328.png и hello_html_4d32fac2.png пе­ре­се­ка­ет пря­мые hello_html_m29a83e4b.png и hello_html_4fca4ab3.png со­от­вет­ствен­но в точ­ках hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_332b1349.png от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок hello_html_m67067672.png ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png. Най­ди­те длину от­рез­ка hello_html_m17d3da6.png



Решение.

hello_html_63a1bf92.pngОбе точки hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_4253a143.png не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок hello_html_m67067672.png не может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

Пусть обе точки hello_html_m57c89ec4.png и hello_html_4253a143.png лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Че­ты­рех­уголь­ник hello_html_7ad31c89.png — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

 

hello_html_4b768295.png

 

Зна­чит, тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png по­до­бен тре­уголь­ни­ку hello_html_m39a564a8.png так как угол hello_html_m16dc49fa.png — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен hello_html_m4d63985e.png тогда hello_html_m3ca7c4af.png hello_html_26d7e99d.png Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка hello_html_7ad31c89.png равны:

 

hello_html_2f372382.png

 

hello_html_741fb611.pngПод­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим

 

hello_html_m36ab6666.png

hello_html_77554595.png Сле­до­ва­тель­но, hello_html_m56f5fb76.png

Пусть точка hello_html_m57c89ec4.png лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны hello_html_m29a83e4b.png. Углы hello_html_1f7da1a2.png и hello_html_m5a0a28b.png равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник hello_html_m16dc49fa.png по­до­бен тре­уголь­ни­ку hello_html_1a6199b9.png, так как уголhello_html_m16dc49fa.png — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен hello_html_m5e8e5fd7.png то есть, тре­уголь­ни­ки hello_html_1a6199b9.png и hello_html_m16dc49fa.png равны, по­это­му hello_html_m44b05846.png За­ме­тим, что hello_html_m964ca0d.png и точка hello_html_m57c89ec4.png дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны hello_html_506b5d75.png

Если точка hello_html_4253a143.png лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны hello_html_m33370b28.png то hello_html_m447da854.png но, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем hello_html_m42ce3364.png Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ: hello_html_2cc3377e.png

С5. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение:

Тогда банк вложит hello_html_407261f.png средств в комбинат, а hello_html_m26e58ab3.png – в торговый комплекс.
а) Ясно, что минимальная выручка будет тогда, когда проекты принесут минимальный доход, а банк будет вынужден отдать клиентам проценты по максимальной ставке. Минимальную прибыль можно найти так: hello_html_m2899fc99.png. Минимальная прибыль равна 5%.
б) Максимальным доход будет, если все проекты принесут максимально возможную сумму, и банк выдаст клиенты проценты по минимальной ставке. Максимальная прибыль: hello_html_m5d1bdddf.png. Максимальная прибыль равна 20%.

Ответ: 5%, 20%.


С6.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

 

hello_html_m454d67a3.png

 

имеет един­ствен­ный ко­рень.



Решение.

Если x0 яв­ля­ет­ся кор­нем ис­ход­но­го урав­не­ния, то и −x0 яв­ля­ет­ся его кор­нем. Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, толь­ко если x0 = −x0, то есть x0 = 0. Под­ста­вим зна­че­ние x = 0 в ис­ход­ное урав­не­ние:

 

hello_html_f648af.png

 

от­ку­да либо |a − 3| = 0  a = 3, либо |a − 3| = 2 a = 1, или a = 5.

При a = 3 ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x2 = 2|x|. Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа −2; 0 и 2, то есть ис­ход­ное урав­не­ние имеет более од­но­го корня.

При a = 1 и при a = 5 урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: x2 + 4 = |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию x2 + 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней.

При −2 ≤ x ≤ 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x2 = 0, ко­то­рое имеет един­ствен­ный ко­рень.

При x > 2 по­лу­ча­ем урав­не­ние x2 − 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет кор­ней. При a = 1 и при a = 5 ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

 

Ответ: 1; 5.


С 7.

Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m708099c1.png В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше hello_html_m4a47b91d.png Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние hello_html_56af7ecb.png.



Решение.

Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние тре­тье­го члена воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел hello_html_m29423fcd.png, при­чем толь­ко если hello_html_m5268f4c3.png и hello_html_44d6645b.png. То есть если де­ся­тич­ная дробь на­чи­на­ет­ся так:

 

hello_html_48c2dce2.png (чет­вер­тая цифра не hello_html_c952b9e.png).

За­ме­тим, что таким об­ра­зом на­чи­на­ет­ся, на­при­мер, число

 

hello_html_10e04a35.png

Най­дем число hello_html_m4ef86722.png и про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ет ли оно усло­ви­ям за­да­чи. Для этого за­пи­шем сумму по­дроб­нее.

 

hello_html_4d876ab4.png

В каж­дой строч­ке — сумма гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем hello_html_73df8f2d.png

По фор­му­ле для суммы бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем:

 

hello_html_m6fff8531.png

hello_html_595af587.png

По­лу­ча­ет­ся, что hello_html_m4ef86722.png — ра­ци­о­наль­ное число, и оно пред­став­ля­ет­ся дро­бью со зна­ме­на­те­лем 81, что мень­ше ста. Число hello_html_m4ef86722.png удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и для этого числа hello_html_m6ec6d902.png

Ответ: 3.



Репетиционное ЕГЭ по математике (профиль)
Скачать материал
  • Математика
Описание:

Данная работа представляет репетиционный тест в формате ЕГЭ-2015 для 11 класса по математике профильный уровень. Здесь 4 варианта работы. Так как работа проводилась в декабре 2014 года, то в работе отсутствуют задания, содержащие логарифмы, в виду того, что логарифмы по УМК Мордковича изучаются во втором полугодии 11 класса.

Задания собирались с различных сайтов, таких как: решу ЕГЭ, сайт Алекса Ларина и mathege.

В конце работы есть ответы и решения для части С (задания 15-21). В части С задания у первого-третьего и второго-четвертого вариантов дублируются. Тест составлялся для текущего среза готовности учеников, выбравших сдачу ЕГЭ по математике на профильном уровне.



Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 11 октября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Скачать материал
Автор Васильева Рита Леонидовна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1951
Номер материала 25206
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓