Вариант №1
|
Декабрь 2014
|
B 1 . Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется
в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское).
Сколько часов поезд находится в пути?
В 2.
Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила,
действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена
эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается
скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тоннах
силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах
силы) при скорости 200 км/ч?
B 3 . Для изготовления книжных полок требуется
заказать 48 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого
стекла 0,25 м2. В таблице приведены
цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько рублей
будет стоить самый дешевый заказ?
Фирма
|
Цена стекла (руб.
за 1 м2)
|
Резка и шлифовка
(руб. за одно стекло)
|
A
|
420
|
75
|
Б
|
440
|
65
|
В
|
470
|
55
|
B 4 . Площадь треугольника ABC равна 12. DE ― средняя линия этого треугольника,
параллельная стороне AB.
Найдите площадь трапеции ABDE.
B 5 . Перед началом первого тура чемпионата
по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом
с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов,
среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите
вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с
каким-либо бадминтонистом из России?
B 6 . Найдите корень уравнения .
|
В 7. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . НайдитеAH.
В 8. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
В 9. В правильной
треугольной пирамиде точка – середина ребра , – вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна
45. Найдите длину отрезка .
В 10. Найдите значение выражения , если .
В 11. Расстояние от наблюдателя, находящегося
на высоте м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой
им линии горизонта вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на
пляже, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно
подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось
до 48 километров?
|
Вариант №1
|
Декабрь 2014
|
В 12. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра
равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
середины боковых рёбер.
B 13 . Два мотоциклиста стартуют одновременно
в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой
трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости
другого?
B 14 . Найдите наименьшее значение функции на отрезке
|
15. а) Решите уравнение
б) Найдите
все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
16. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от
точки до плоскости .
17. Решите систему неравенств
18. Расстояние между параллельными прямыми
равно . На одной из них лежит вершина , на другой — основание равнобедренного треугольника Известно, что Найдите расстояние между центрами окружностей,
одна из которых вписана в треугольник а вторая касается данных параллельных
прямых и боковой стороны треугольника
19. В конце августа 2001 года администрация
Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось
направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение
конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила
эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада
в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению
к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой
нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального
объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы
края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с
процентами, и направив ее на закупку нефти?
20. Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение.
21. На доске написано более 40, но менее
48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее
арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое
всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных
или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных
чисел может быть среди них?
|
Вариант №2
|
Декабрь 2014
|
B1. На счету Машиного мобильного
телефона было 53 рубля, а после разговора с Леной осталось 8 рублей.
Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора
стоит 2 рубля 50 копеек?
В 2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового
автомобиля при температуре окружающего воздуха . На
оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на
оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Водитель может
начинать движение, когда температура двигателя достигнет . Какое
наименьшее количество минут потребуется, чтобы водитель мог начать движение?
В
3. Клиент хочет арендовать автомобиль на
трое суток для поездки протяженностью 600 км. В таблице приведены
характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо
аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку.
Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет
самый дешевый вариант?
Автомобиль
|
Топливо
|
Расход топлива (л на 100 км)
|
Арендная плата (руб. за 1 сутки)
|
А
|
Дизельное
|
7
|
3400
|
Б
|
Бензин
|
10
|
3500
|
В
|
Газ
|
12
|
3100
|
Цена дизельного топлива —
21 рубль за литр, бензина — 23 рубля за литр, газа —
16 рублей за литр.
В
4. В прямоугольном треугольнике угол между
высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла,
равен . Найдите
меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
В 5. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии,
3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.
Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из
России.
В 6. Решите уравнение .
|
В
7. В треугольнике , высота равна 4, . Найдите .
В
8. Прямая является касательной к графику функции . Найдите a.
В 9. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
В
10. Найдите , если , при .
В 11. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у
самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать
из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется
по закону где – время в секундах, прошедшее с момента открытия
крана, – начальная высота столба воды, – отношение площадей поперечных сечений крана и
бака, а – ускорение свободного падения (считайте м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке
останется четверть первоначального объема воды?
|
Вариант №2
|
Декабрь 2014
|
В
12. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 34. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
В 13. Одиннадцать рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько
процентов тринадцать рубашек дороже куртки?
В 14. Найдите точку максимума функции
15. а) Решите
уравнение
б) Найдите
все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
|
16. В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 8, а боковые
рёбра 16. На ребре AC находится
точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 4.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
точки E, D и L.
17. Решите систему неравенств:
18. В треугольнике известны стороны: Окружность, проходящая через точки и пересекает прямые и соответственно в точках и отличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка
19. Банк планирует вложить
на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего
комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В
зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в
размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В
конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по
заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от
10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль
в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство
торгового комплекса может при этом получить банк.
20. Найдите
все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
21. Бесконечная десятичная дробь устроена
следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой
подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных
чисел В результате получилось рациональное
число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой
меньше Найдите наименьшее возможное значение .
|
Вариант №3
|
Декабрь 2014
|
B 1 . Мобильный
телефон стоил 6000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель
снизили до 4800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
B 2 . На диаграмме показана среднемесячная
температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый
месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность
между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в
1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
B 3 . От
дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном
такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый
участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ
дайте в часах.
|
1
|
2
|
3
|
Автобусом
|
От дома до автобусной
станции — 5 мин.
|
Автобус в пути:
2 ч 5 мин.
|
От остановки автобуса
до дачи пешком 10 мин.
|
Электричкой
|
От дома до станции
железной
дороги — 30 мин.
|
Электричка в пути:
1 ч 40 мин.
|
От станции до дачи
пешком 5 мин.
|
Маршрутным такси
|
От дома до остановки
маршрутного
такси — 20 мин.
|
Маршрутное такси в
дороге:
1 ч 30 мин.
|
От остановки маршрутного
такси
до дачи пешком 35 мин.
|
|
B 4 . В треугольнике 6, высота равна 3. Найдите градусную меру угла .
B 5 . На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9
из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный
билет.
B 6 . Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
B 7 .
В треугольнике угол равен
90°, синус внешнего угла при вершине равен , . Найдите .
B 8 . На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x0. Найдите
значение производной функции f(x) в точке x0.
|
Вариант №3
|
Декабрь 2014
|
B 9 .
В кубе точка — середина ребра , точка — середина ребра, точка — середина ребра . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
B 10 . Найдите значение выражения .
B 11 . Камнеметательная машина выстреливает
камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта
камня описывается формулой ,
где м, – постоянные
параметры, – смещение камня по горизонтали, – высота
камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной
стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали
над стеной на высоте не менее 1 метра?
B 12 . Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 3 и 6, боковое ребро равно 6. Найдите объем
призмы.
B 13 . Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации,
одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде
было 3 рабочих, а во второй — 9 рабочих. Через 4 дня
после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй
бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно.
Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в
новом составе?
B 14 .Найдите
точку максимума функции .
|
15. а) Решите уравнение
б) Найдите
все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
16. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от
точки до плоскости .
17. Решите систему неравенств
18. Расстояние между параллельными прямыми
равно . На одной из них лежит вершина , на другой — основание равнобедренного треугольника Известно, что Найдите расстояние между центрами окружностей,
одна из которых вписана в треугольник а вторая касается данных параллельных
прямых и боковой стороны треугольника
19. В конце августа 2001 года администрация
Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось
направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение
конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила
эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада
в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению
к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой
нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального
объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы
края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с
процентами, и направив ее на закупку нефти?
20. Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение.
21. На доске написано более 40, но менее
48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее
арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое
всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных
или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных
чисел может быть среди них?
|
Вариант №4
|
Декабрь 2014
|
B 1 . Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин
делает скидку 5%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?
B 2 . На
рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком
РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются
числа месяца, по вертикали — цена золота в рублях за грамм. Для
наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите
по рисунку наибольшую цену золота за указанный период. Ответ дайте
в рублях за грамм.
B 3 . Керамическая плитка одной и той же торговой марки выпускается
трёх разных размеров. Плитки упакованы в пачки. Требуется купить
плитку, чтобы облицевать пол квадратной комнаты со стороной 3 м.
Размеры плитки, количество плиток в пачке и стоимость пачки приведены
в таблице.
Размер плитки
(смсм)
|
Количество
плиток в пачке
|
Цена пачки
|
2020
|
25
|
604 р.
|
2030
|
16
|
595 р. 20 к.
|
3030
|
11
|
594 р.
|
Во сколько рублей обойдётся наиболее
дешёвый вариант покупки?
B 4 . Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
|
B 5 . Вика включает телевизор. Телевизор включается
на случайном канале. В это время по четырнадцати каналам из тридцати
пяти показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Вика попадет
на канал, где реклама не идет.
B 6 . Найдите корень уравнения:
B 7 . В треугольнике угол равен , угол равен , . Найдите высоту .
B 8 . Материальная точка движется прямолинейно
по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах,
измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах)
ее скорость была равна 5 м/с?
B 9 . Найдите расстояние между вершинами и многогранника, изображенного на
рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
B 10 . Найдите значение выражения .
B 11 . При температуре рельс имеет длину м.
При возрастании температуры происходит тепловое расширение
рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где — коэффициент
теплового расширения, — температура
(в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на
7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
|
Вариант №4
|
Декабрь 2014
|
B 12. В правильной четырёхугольной призме ребро равно 24, а диагональ равна 30. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через
точки , и .
B 13 . Баржа в 10:00 вышла из пункта в пункт , расположенный
в 15 км от . Пробыв в
пункте 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в
пункт в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки,
если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.
B 14 . Найдите наименьшее значение функции на
отрезке .
15. а) Решите
уравнение
б) Найдите
все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
|
16. В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 8, а боковые
рёбра 16. На ребре AC находится
точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 4.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
точки E, D и L.
17. Решите систему неравенств:
18. В треугольнике известны стороны: Окружность, проходящая через точки и пересекает прямые и соответственно в точках и отличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка
19.
Банк
планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции
золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового
комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку
прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27%
годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им
проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в
пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую
чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и
строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
20. Найдите
все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
21. Бесконечная десятичная дробь устроена
следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой
подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных
чисел В результате получилось рациональное
число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой
меньше Найдите наименьшее возможное значение .
|
Ответы: профиль декабрь 2014.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
ВАР 1
|
13
|
1
|
8280
|
9
|
0,36
|
39
|
9,6
|
-2
|
10
|
-28
|
178,75
|
16
|
30
|
−25
|
ВАР 2
|
18
|
3
|
10452
|
24
|
0,3
|
-2
|
0,5
|
24
|
14
|
1
|
50
|
60
|
17
|
1
|
ВАР 3
|
20
|
38
|
2,25
|
30
|
0,8
|
-2
|
2
|
0,25
|
60
|
5
|
90
|
54
|
3
|
6
|
ВАР 4
|
57
|
1010
|
5436
|
3
|
0,6
|
-5
|
2
|
8
|
30
|
10
|
62,5
|
4
|
2
|
9
|
Вариант
1,3
С1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде:
В результате получим:
Значит
.
б) Отметим решения
на тригонометрической окружности.
Отрезку принадлежат
корни , и
Ответ:
А)
Б) , и
С2. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние
от точки до плоскости .
Решение.
Прямые и перпендикулярны
прямой . Плоскость , содержащая
прямую , перпендикулярна
плоскости . Значит,
искомое расстояние равно высоте прямоугольного
треугольника , в котором , , :
Ответ: .
С3. Решите систему неравенств
Решение.
Решим второе неравенство системы:
при всех поскольку
Следовательно,
Итак, решениями первого неравенства
системы является множество
Решим второе неравенство системы:
Очевидно, корнями уравнения будут
числа: −4 и −3. (Корень квадратного трехчлена равный
−5 не может служить искомым корнем из-за неотрицательности выражения
).
Теперь решим неравенство
Таким образом, решениями второго
неравенства системы является множество Пересечением
решений обоих неравенств будет множество
С4. Расстояние между параллельными
прямыми равно .
На одной из них лежит вершина ,
на другой — основание равнобедренного
треугольника Известно,
что Найдите
расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник а вторая
касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника
Решение.
Пусть —
высота треугольника и —
радиус и центр вписанной окружности, поэтому Найдем
площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности треугольника
Тогда Кроме
того, по теореме Пифагора
Пусть окружность с центром в точке касается
боковой стороны равнобедренного
треугольника и
данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен поскольку
он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с
прямой обозначим
Пусть точки и лежат
по разные стороны от точки (рис.
1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому и —
биссектрисы смежных углов и соответственно.
Значит, и поскольку
эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых.
Следовательно, прямоугольные треугольники и подобны
с коэффициентом Поэтому
Пусть точки и лежат
по одну сторону от точки (рис.
2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
лучи и совпадают
и являются биссектрисой угла Значит,
прямоугольные треугольники и подобны
с коэффициентом Тогда
Ответ:
С5.
В конце августа 2001 года администрация
Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось
направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение
конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила
эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в
банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению
к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти
убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального
объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы
края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами,
и направив ее на закупку нефти?
Решение.
Пусть сумма, которой первоначально
располагала администрация края, составляла у.е.,
а цена барреля сырой нефти у.е.
Тогда первоначально возможный объем закупок составлял баррелей.
Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная
сумм выросла до у.е.,
а цена барреля сырой нефти за это же время убыла до у.е.
Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла закупить баррелей
сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному
объему закупок составит:
% то есть %
= %.
Значит, руководство края смогло пополнить
1 ноября 2001 г. нефтяные запасы края на 96% больше, чем 1 сентября
того же года.
Ответ: 96.
С6. Найдите
все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение.
С7.
На доске написано более 40, но менее 48
целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое
всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных
из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных
или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных
чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных
и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в
этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k − 8l + 0 · m = −3(k + l + m).
а) Заметим, что в левой части приведённого
выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m —
количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48,
поэтому k + l + m = 44.
Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство 4k −
8l = −3(k + l + m) к
виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥
0, получаем, что 5l ≥ 7k, откуда l > k.
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) Подставим k + l + m = 44
в правую часть равенства 4k − 8l = −3(k + l + m),
откуда k = 2l − 33 . Так как k + l ≤
44, получаем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤
25; k = 2l − 33 ≤ 17, то есть положительных
чисел не более 17.
в) Приведём пример, когда положительных чисел ровно
17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и
два раза написан 0. Тогда указанный
набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Вариант 2,4.
C 1 № 504240. а) Решите
уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
Решение.
а) Левая часть уравнения определена
при то
есть при Числитель
дроби должен быть равен нулю:
Серию нужно
отбросить. Получаем ответ:
б) При
помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке
Ответ: а) б)
С2.
В правильной треугольной пирамиде MABC с
основанием ABC стороны основания равны 8, а боковые
рёбра 16. На ребре ACнаходится точка D, на
ребре AB находится точка E, а на ребре AM —
точка L. Известно, что CD = BE = LM = 4.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
точки E, D и L.
Решение.
Заметим,
что поэтому
по теореме косинусов для треугольника имеем: Тогда
площадь равнобедренного треугольника равна:
Ответ:
С3.
Решите систему
неравенств
Решение.
Рассмотрим второе неравенство
системы. Заметим, что числитель дроби (левая часть неравенства), положителен
при всех значениятак как
дискриминант подкоренного выражения отрицателен: А для
того чтобы левая часть неравенства была не меньше 1, необходимо и достаточно
выполнение двух условий: иРешим
систему:
Однако, при знаменатель
левой части первого неравенства обращается в нуль. Поэтому дальнейшие
наши исследования будем вести на множестве
Решим первое неравенство на указанном
множестве. Поскольку нато
Поскольку на то на
этом множествеА также
на Значит,
на этом множестве
Таким образом, решения исходной
системы есть множество (2; 3).
Ответ: (2; 3).
С4.
В треугольнике известны
стороны: Окружность,
проходящая через точки и пересекает
прямые и соответственно
в точках и отличных
от вершин треугольника. Отрезок касается
окружности, вписанной в треугольник . Найдите
длину отрезка
Решение.
Обе точки и не
могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок не
может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из
этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки и лежат
на сторонах треугольника. Четырехугольник —
вписанный, следовательно,
Значит, треугольник подобен
треугольнику так
как угол —
общий. Пусть коэффициент подобия равен тогда Суммы
противоположных сторон описанного четырехугольника равны:
Подставляя известные
значения сторон, находим
Следовательно,
Пусть точка лежит
на продолжении стороны .
Углы и равны,
поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник подобен
треугольнику , так
как угол —
общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно,
коэффициент подобия равен то
есть, треугольники и равны,
поэтому Заметим,
что и
точка действительно
лежит на продолжении стороны
Если точка лежит
на продолжении стороны то но,
аналогично предыдущему случаю, получаем Значит,
этот случай не достигается.
Ответ:
С5.
Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции
золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового
комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку
прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27%
годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты
по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах
от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль
в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство
торгового комплекса может при этом получить банк.
Решение:
Тогда банк вложит средств в комбинат, а – в торговый комплекс.
а) Ясно, что минимальная выручка будет тогда,
когда проекты принесут минимальный доход, а банк будет вынужден отдать клиентам
проценты по максимальной ставке. Минимальную прибыль можно найти так: . Минимальная прибыль равна 5%.
б) Максимальным доход будет, если все проекты
принесут максимально возможную сумму, и банк выдаст клиенты проценты по
минимальной ставке. Максимальная прибыль: . Максимальная прибыль равна 20%.
Ответ: 5%, 20%.
С6.
Найдите все значения а, при каждом из
которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Если x0 является
корнем исходного уравнения, то и −x0 является
его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только
если x0 = −x0, то есть x0 = 0.
Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
откуда либо |a − 3| = 0 ⇔ a = 3,
либо |a − 3| = 2 ⇔ a = 1, или a = 5.
При a = 3 исходное
уравнение принимает вид: x2 = 2|x|.
Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное
уравнение имеет более одного корня.
При a = 1 и
при a = 5 уравнение принимает вид: x2 + 4 = |x −
2| + |x + 2|.
При x < − 2 это уравнение
сводится к уравнению x2 + 2x + 4 =
0, которое не имеет корней.
При −2 ≤ x ≤ 2 получаем
уравнение x2 = 0, которое имеет единственный
корень.
При x > 2 получаем
уравнение x2 − 2x +
4 = 0, которое не имеет корней. При a = 1 и
при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1; 5.
С 7.
Бесконечная десятичная дробь устроена
следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой
подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных
чисел В
результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой
дробью, знаменатель которой меньше Найдите
наименьшее возможное значение .
Решение.
Наименьшее возможное значение третьего
члена возрастающей последовательности натуральных чисел , причем
только если и . То
есть если десятичная дробь начинается так:
(четвертая
цифра не ).
Заметим, что таким образом начинается,
например, число
Найдем число и
проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем
сумму подробнее.
В каждой строчке — сумма геометрической
прогрессии со знаменателем
По формуле для суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, получаем:
Получается, что —
рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем
81, что меньше ста. Число удовлетворяет
условию задачи и для этого числа
Ответ: 3.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.