Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации
версия для слабовидящих
Главная / Математика / Рекомендации для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ математика по теме " Решение неравенств"

Рекомендации для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ математика по теме " Решение неравенств"

hello_html_36616255.gifhello_html_m1516edac.gifhello_html_m1516edac.gifhello_html_m1516edac.gifhello_html_m1516edac.gifhello_html_m1ac571cf.gifhello_html_m46eb809d.gif

Свойства неравенств.

Теорема 1. Число, противоположное числу, есть число отрицательное и обратно, число, противоположное отрицательному числу, есть число положительное, то есть если a ˃ 0, то –a ˂ 0, если a ˂ 0, то –a ˃0.

Теорема 2. Произведение положительного числа на число отрицательное есть число отрицательное.

Теорема 3. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

Теорема 4. Квадрат любого числа. неравного нулю, есть число положительное.

Теорема 5. Если a1, a2, an- отрицательные числа, то их сумма a1 +a2, +…..+an, есть число отрицательное.

Теорема 6. Положительное число больше числа отрицательного.

Теорема 7. Если a-b ˂ 0, то a˂b и обратно.

Теорема 8. Еслиa ˃ b иb ˃ c, то a ˃ c.

Теорема 9. Если a ˃ b и c-любое число, то a + c˃b +c.

Теорема 10. Если a1 ˃ b1, a2 ˃ b2, ……., an ˃ bn , a1 + a2 +…..an ˃ b1 + b2 +……. bn.

Теорема 11. Если a ˃ b и c ˂ d, то ac ˃ b-d.

Теорема 12. Если a ˃ b, то ac˃bc при c˃0, ac˂ bc при c˂0 и ac=bc при c=0.

Теорема 13. Еслиa ˃ b,c ˃ d, то при a ˃0 и d ˃0 имеем ac˃ bd, а при a ˂0 и d ˂0 имеем

ac˂ bd.

Теорема 14. Еслиa ˃ b ˃0 и n –натуральное число, то an˃ bn

Теорема 15. Еслиa ˂ b ˂ 0 и n-натуральное число, то при четном nan˃ bn, a при нечетном nan˂ bn.

Теорема 16. Еслиa ˃ b ˃ 0 и n-натуральное число, то hello_html_m111ad5fd.gif ˃hello_html_ec4a63c.gif (при четном n берется только арифметическое значение корня).

Теорема 17.Еслиa ˃ b ˃ 0 и n=hello_html_2e8a7d5e.gif-произвольное рациональное положительное число, то an˃ bn.

Теорема 18.Еслиa ˃ b ˃ 0 и n=hello_html_2e8a7d5e.gif-любое положительное рациональное число, то a-n˂ b-n.

Теорема 19. Неравенства f (x1, x2,…xn) ˃g (x1, x2,…, xn) и f (x1, x2,… xn)+h (x1, x2,… xng (x1, x2,…, xn)+ h (x1, x2,… xn) эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения.

Теорема 20. Неравенства f (x1, x2,… xn) ˃g (x1, x2,…, xn) и f (x1, x2,… xn)*h (x1, x2,… xng (x1, x2,…, xn)*h (x1, x2,… xn) эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения и неравенство h (x1, x2,… xn)˃0 в этой области тождественно истинное.

Теорема 21. Неравенства f (x1, x2,… xn) ˃g (x1, x2,…, xn) и f (x1, x2,… xn)*h (x1, x2,… xng (x1, x2,…, xn)*h (x1, x2,… xn) эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения и неравенство h (x1, x2,… xn)˂0 в этой области тождественно истинное.

Теорема 22. Неравенства hello_html_m1ad5cdb2.gif˃0 и f (x1, x2,… xn)*g (x1, x2,…, xn)˃0 эквивалентны.

Теорема 39.



  1. 1. ax ˃сhello_html_m42ff2393.gif 2. ax ˂chello_html_15520e14.gif

  2. hello_html_m721463c7.gif









3. hello_html_5e9dde52.gif˃ hello_html_3e11f301.gif

hello_html_m2770ff02.gif



Теорема 40.

hello_html_m76ab1211.gif hello_html_m49bf58f3.gif

  1. hello_html_372b59e2.gif˃chello_html_4256c682.gif 2. hello_html_372b59e2.gif ˂chello_html_4256c682.gif

hello_html_2293eeb2.gif


hello_html_381fbebd.gif(x)˃0

3.logf(x) hello_html_381fbebd.gif(x)˃logf(x) Ψ(x)hello_html_4256c682.gifΨ(x)˃0

hello_html_21940fd7.gif

hello_html_m5946982d.gif





Решение неравенств с параметрами.

Задача. Найдите все значения параметра a, для которых при каждом X из промежутка [0;1) значение выражения 9x-3x не равно значению выражения a*3x+4.

Решение. Пусть t=3x. Так как 3˃1, то показательная функция t=3xвозрастает и непрерывна на всей числовой оси и, в частности, на промежутке [0;1), поэтому она при [0;1) принимает все значения от 30=1 включительно до 31=3, исключая само значение 3, т.е. [1;3).

Тогда 9x-3xhello_html_m77647a0c.gifa*3x+4 при всех [0;1) тогда и только тогда, когда t2-thello_html_m77647a0c.gifat+4 для всех t ϵ [1;3) (1).

Имеются разные способы исследования неравенства (1).

1 способ (решение относительно параметра и использование множества значений функции).

Из неравенства (1) при [1;3) находим ahello_html_m77647a0c.gift-1-hello_html_m30e41393.gif.

На промежутке [1;3) линейная функция y=t-1 с положительным коэффициентом 1 и функция обратной пропорциональности y=-hello_html_m30e41393.gifс отрицательным коэффициентом -4 возрастают и непрерывны, поэтому функция y=t-1-hello_html_m30e41393.gif, как сумма двух возрастающих непрерывных функций, также возрастает и непрерывна. Следовательно, множество значений этой функции на промежутке [1;3) есть промежуток [y (1); y (3)) = [-4;hello_html_10edc033.gif ).

Тогда ahello_html_m77647a0c.gift-1-hello_html_m30e41393.gif для всех [1;3) тогда и только тогда, когда ahello_html_m601a8c6a.gif[-4;hello_html_10edc033.gif) hello_html_4256c682.gif(-hello_html_m3825d344.gif)hello_html_m30bc2de4.gif[hello_html_10edc033.gif; +hello_html_6b5da623.gif).

2 способ (графический).

C:\Users\Admin\Downloads\WhatsApp Image 2017-07-11 at 09.56.44.jpegВ системе координат Oty при 1hello_html_m3ad26559.gifthello_html_m7c48e444.gif3 построим график квадратичной функции y=t2-t=hello_html_m27dc25fb.gif2-hello_html_m20a5c4d4.gif-параболу с вершиной в точке hello_html_23ddc449.gif и с ветвями, направленными вверх, и семейство прямых y=at+4 в зависимости от значений параметра a, причем прямые, пересекающие часть параболы y=t2-t на промежутке [1;3), изобразим пунктирными линиями, а не пересекающие ее на этом промежутке- сплошными (рис.1).

Найдем значения параметра a, для которых прямая y=at+ 4 проходит через точки (1;0) и (3;6)-концы указанной части параболы. Имеем:

0=a+4hello_html_4256c682.gifa=-4; 6=3a+4hello_html_4256c682.gifa=hello_html_10edc033.gif.

Тогда, как видно из рис.1, если ahello_html_m7c48e444.gif-4 или ahello_html_3b0918ee.gif, то прямая y=at+4 не пересекает часть параболы на промежутке [1;3), поэтому справедливо неравенство (1).При остальных значениях a прямая y=at+4 пересекает указанную часть параболы, поэтому условие (1) не выполняется. Следовательно, ahello_html_30a1e1d1.gif(-hello_html_m3825d344.gif)hello_html_m3cb88825.gif; +hello_html_m3692f6ee.gif.

3 способ (сведение к исследованию расположения корней квадратного трехчлена).

Условие (1) равносильно тому, что квадратное уравнение

t2 -t=at+4hello_html_4256c682.gift2-(a+1)t-4=0 (2) не имеет корней на промежутке [1;3). Так как дискриминант D=(a+1)2+16 этого уравнения всегда положителен, то оно имеет два различных корня t1,t2. По теореме Виета t1*t2=-4hello_html_m7c48e444.gif0, поэтому один из корней положительный, а другой отрицательный. Следовательно, уравнение (2) не имеет корней на промежутке [1;3) тогда и только тогда, когда график функции y=t2-(a+1) t-4- парабола с ветвями, направленными вверх, имеет схематически одно из следующих расположений (рис.2).

Рис.2

C:\Users\Admin\Downloads\WhatsApp Image 2017-07-11 at 10.03.01.jpeg





С учетом того, что один из корней уравнения (2) отрицателен, эти параболы однозначно описываются аналитически совокупностью неравенств:

hello_html_569b5e34.gif.

4 способ (непосредственное нахождение корней квадратного уравнения).

Решая уравнение (2) найдем его корни

t1=hello_html_26967b8.gif, t2=hello_html_42ec0b72.gif.

Так как hello_html_m29fb65c3.gif=(a+1)2+16hello_html_m7c48e444.gif(a+1)2, то первый корень t1 всегда отрицателен, поэтому уравнение (2) не имеет корней на промежутке [1;3) тогда и только тогда, когда второй корень t2 ˂1 или t2hello_html_m325cebd4.gif. Решим полученные неравенства:

t1hello_html_ee7d500.gifahello_html_7b9cb88f.gif;



t2hello_html_7639cc36.gifahello_html_3b0918ee.gif.

Объединяя решения двух последних неравенств, найдем ahello_html_30a1e1d1.gif(-hello_html_m3825d344.gif)hello_html_m5d5b2560.gif).

Ответ: (-hello_html_m3825d344.gif)hello_html_m5d5b2560.gif).



Решение трансцендентных неравенств.

1. Решите неравенство: hello_html_3f2dfb4.gif+hello_html_m7a2e9d50.gif.



Решение. hello_html_52b961d8.gif+hello_html_4b601139.gif+hello_html_m476449bc.gif-hello_html_m5051c03a.gif

Ответ: (1; +hello_html_6b5da623.gif).



3. Решите неравенство:hello_html_m3267f980.gif.



Решение.

hello_html_66cbd4ad.gif



Ответ: (-hello_html_6b5da623.gif; -2) hello_html_m30bc2de4.gif (0;1)



4. Решите неравенство: hello_html_675b73c.gif

Решение.

hello_html_m2684c476.gif

Ответ: (1; 2)



5. Решите неравенство: hello_html_m11fafef7.gif



Решение.

hello_html_1a498226.gif



hello_html_54892722.gif

Ответ: (1; 2)hello_html_m30bc2de4.gif (2;3)



6. Решите неравенство: hello_html_m5492780f.gif.

Решение.

hello_html_474e8b38.gif

Ответ: (-hello_html_4429ff50.gif] hello_html_m30bc2de4.gif(1; +hello_html_6b5da623.gif].

Решение текстовой задачи, приводящей к решению неравенства с модулем.

Задача. Согласно расписанию, катер проходит по реке, скорость течения которого 5 км/час, путь из А в D длиной15 км за 1 час. При этом, выходя из пункта А в 12 ч, он прибывает в пункты B и C, отстоящие от А на расстоянии 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и 12 ч 40 мин. Известно, что, если бы катер двигался из А в D без остановок с постоянной скоростью V(относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты B, C, D не превысила бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью Vв стоячей воде. Какой из пунктов –А или D-находится выше по течению?

Решение. Обозначим через X время, за которое катер проходит 1 км при движении из А в D:

x=hello_html_mb8a7f26.gif или x=hello_html_76bdc389.gif, в зависимости от того, выше A по течению или нет. Таким образом, имеем неравенство:

hello_html_767e1550.gif+hello_html_5ac15a92.gif+hello_html_m742029e3.gif, где v=hello_html_m52bf1a1.gif, или v=hello_html_m7e181492.gif

Рассмотрим графики трех функций:C:\Users\Admin\Downloads\WhatsApp Image 2017-07-11 at 09.56.44 (1).jpeg



hello_html_275337c.gif=hello_html_767e1550.gif+hello_html_5ac15a92.gif+hello_html_7a6ed34d.gif, hello_html_1600c740.gif=hello_html_m15172ab7.gif, y3=hello_html_m3cd769b5.gif. График функции y1 есть ломаная линия, минимум y1 равен hello_html_m6ae4a043.gif (достигается при x=hello_html_4880221b.gif), y2 имеет вертикальную асимптоту x=hello_html_m7b130c72.gif и пересекается с y1 , т.е. неравенство y1hello_html_m3ad26559.gify2 имеет решение. Легко видеть , что y3=hello_html_m4490fd9.gifпри всех xhello_html_m22caa22.gif,так как y3=hello_html_65f06eef.gif-hello_html_21b4cd07.gif=hello_html_10450c9a.gif-hello_html_21b4cd07.gif=1-hello_html_m1bd25006.gif-hello_html_21b4cd07.gif=hello_html_21b4cd07.gif-hello_html_m3bb0e182.gif.

Значит, y3hello_html_m7c48e444.gify1. Таким образом, задача имеет решение если v=hello_html_5f8388c4.gifт.е. A выше по течению, чем D.

Ответ: пункт A выше по течению, чем пункт D.

Используемая литература:

  1. А.Ш.Блох, Т.Л. Трухан «Неравенства».

  2. И.Ф.Шарыгин «Факультативный курс по математике. Решение задач. 10 класс».

  3. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» № 8 2002 г.

  4. Научно-практический журнал «Математика для школьников» №2 2008 г.

  5. Дж.Стил, К. Мередис, Ч.Темпл «Чтение, письмо и дискуссия в каждом учебном предмете» №3. Проект-Чтение и письмо для развития критического мышления.





9


  • Математика
Описание:

Введение

Подготовка учащихся к успешной сдаче ОГЭ и ЕГЭ должна носить системный характер, позволяющий в итоге создать у учащихся целостную картину знаний по элементарной математике. К такому выводу приходят учителя математики, которые сталкиваются с этой проблемой.

Данная разработка представляет собой рекомендации по решению неравенств, что поможет подготовиться учащимся к сдаче ЕГЭ как базового уровня, так и для профильного уровня. В методических рекомендациях помещены решения неравенств с параметром, показаны графическое решение неравенств. Материал соответствует требованиям государственного общеобразовательного стандарта и может использоваться учениками и учителями, работающим по любым учебным программам.

Скачать материал
Автор Ким Марина Филипповна
Дата добавления 22.10.2017
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 404
Номер материала MA-071904
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

Популярные курсы

Курс повышения квалификации
«Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации
«Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации
«Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»