Реферат по информатике на тему"РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАФИКИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В СИСТЕМАХ MAPLE И MAXIMA"

ФГБОУ ВО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Реферат

РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАФИКИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В СИСТЕМАХ
MAPLE  И  MAXIMA

Выполнила: студентка группы МДМ-112

Горелкина Анна

Саранск 2017

Необходимость построения графиков функций, чертежей геометрических фигур в тетради или на листах ватмана, возникает при решении задач по алгебре и геометрии в школе, при изучении различных разделов дисциплины «Математика» в вузе. Кроме того, потребность в таких построениях возникает при научных исследованиях и на производстве.

До появления компьютерной графики, построение графиков функций и чертежи фигур приходилось делать вручную, используя самые различные инструменты и приспособления, такие как линейки, циркули, кульманы и другие. При этом, нередко, для выполнения построений приходилось выполнять значительное количество предварительных расчетов и, если в этих расчетах появлялись ошибки, то всю работу приходилось переделывать заново.

Появление компьютеров и программ компьютерной графики избавило от многих рутинных расчетов и ручной работы, которую надо было выполнить, чтобы сделать графические построения. Теперь любой человек, владеющий навыками работы с компьютером и установленными на нем программами компьютерной графики, может построить самые сложные графики и фигуры на экране компьютера и затем, если нужно, распечатать их с помощью принтера или плоттера.

Среди программ компьютерной графики существуют как простые графические программы, позволяющие строить простые фигуры и графики, так и мощные профессиональные программы технической графики среди которых можно отметить, например, программу AutoCad. К одной из лучших графических программ относится также программа Visio, входящая в настоящее время, в расширенный пакет семейства офисных программ Microsoft Office.

Возможности графических построений имеют также и многие про- граммы, не являющиеся, по сути, графическими программами. Рисунки, например, можно выполнить прямо в текстовом редакторе Word, а строить различные графики можно в электронных таблицах Exel. Мощными графическими возможностями обладают также пакеты компьютерной математики Maple, Mathematica, MathCad, MatLab, Maxima. При этом эти возможности сочетаются с возможностями математических вычислений и расчетов, чтобы наглядно представить эти расчеты в виде фигур и графиков.

В данной работе рассматриваются возможности графических построений, которые можно выполнить в системе компьютерной математики Maple и Maxima. Рассмотрим определения.

Понятия Maxima и Maple

Maxima — система для работы с символьными и численными выражениями, включающая дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд, преобразование Лапласа, обыкновенные дифференциальные уравнения, системы линейных уравнений, многочлены, множества, списки, векторы, матрицы, позволяет строить графики функций и статистических данных в двух и трех измерениях.

Maple — программный пакет, система компьютерной алгебры, которая  предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль.

График на плоскости или в пространстве, выполненный в системе компьютерной математики, всегда привязан к определенной системе координат. В этом состоит отличие графика от рисунка, который мы изображаем на листе бумаги или на экране монитора без применения систем компьютерной математик. Хотя в последнем случае рисунки тоже можно считать графиками, так как они привязаны к системе координат экрана монитора, но в отличие от графиков для создания рисунков наличие системы координат не является существенным. В то же время для уже созданных рисунков, сохраненных в цифровом формате, система координат играет существенную роль, так как все изображения в цифровом формате связаны с системой координат экрана монитора.

Итак, для построения графиков на плоскости и в пространстве, с использованием системы компьютерной математик, необходимо иметь некоторую систему координат, а также зависимости между координатами на плоскости и в пространстве, которые позволяют получить на экране монитора объекты, являющиеся графиками.

Основной функцией построения графиков на плоскости является функция plot, что у одной программы, что и у другой.

Графики функций в программе Maple

В состав Maple входят несколько специальных пакетов для работы с графикой. Однако для построения графиков функций и простейших кривых и поверхностей нет необходимости подгружать эти пакеты. Достаточно использовать функцию plot, входящую в ядро Maple.

График явно заданной функции

График явно заданной функции строится с помощью конструкции:

plot (f(x), x=a..b, options);

·                   f(x) – явное задание функции y = f (x );

·                   x=a..b – промежуток [a;b]независимой переменной x , на котором нужно построить график;

·                   options – не обязательные дополнительные опции, изменяющие пара- метры построения графика для его более наглядного представления.

График параметрически заданной функции

Формат задания:

plot ([x(t), y(t), t=c..d], options);

·                   x(t), y(t) – выражения, задающие параметрически заданную функцию;

·                   t=c..d – промежуток изменения параметра t .

График, построенный по точкам, заданным декартовыми координатами

Формат графика:

plot (m, options) или plot (m1,m2 options);

·                   m – список координат точек плоскости m =[[x₁, y₁],…, [x_k , y_k ]];

·                   m1 – список координат x точек плоскости m₁ =[x₁, x₂,…, x_k ];

·                   10

·                   m2 – список координат y точек плоскости m₂ =[y₁, y₂,…,y_k ].

Опции функции plot

Построенные выше графики использовали настройки графиков, установленные по умолчанию. Естественно, при построении графиков мы хотим улучшить их вид, установить нужные нам параметры. Все это можно сделать, применяя собственные настройки, или, как их называют опции (options).

Функция plot имеет большое количество опций. Рассмотрим некоторые, важные для нас, опции:

1)    опция настройки осей координат

·                   axes=normal – оси координат пересекаются в начале координат, ось Ox направлена горизонтально вправо, а ось Oy – вертикально вверх;

·                   axes=boxed – оси координат представлены в виде прямоугольной рамки, в которую вписан график, а деления на осях отмечены снизу и слева на сто- ронах этого прямоугольника;

·                   axes=frame – оси координат представлены в виде прямого угла, расположенного слева и справа от графика;

·                   axes=none – оси координат отсутствуют;

2) опция задания цвета кривой графика

·                   color=n или colour=n , где n – цвет кривой графика, например, black –черный, red – красный и т.д. Действие этой опции очевидно.

3) опция выбора системы координат

По умолчанию график строится в декартовой системе координат. Чтобы построить график на плоскости в полярной системе координат используется опция coords=polar.

4) опция, учитывающая разрывы кривой графика

·                   discont=true – график строится с разрывами. Эта опция используется для графиков, которые имеют разрывы.

·                   discont=false – график строится без учета разрывов. Эта опция установлена по умолчанию.

5) опция, заполнения цветом области между кривой и осью абсцисс

По умолчанию области, ограниченные графиками функций не закрашиваются. Чтобы закрасить область между графиком функции и осью Ox нужно добавить опцию такого действия. Выбор цвета заполнения можно указать опцией color=n. filled=true – опция заполнения цветом области между графиком функции и осью Ox .

6) опция, определяющая стиль построения линии графика

·                   linestyle=t – опция, задающая вид кривой графика. Всего возможны 7 видов линий построения графиков. Вместо t нужно подставить соответствующее значение опции:

1) solid – сплошная линия;

2) dot – точки;

3) dash – тире;

4) dashdot – точка-тире;

5) longdash –длинное тире;

6) spacedash – разряженные тире;

7) spacedot – разряженные точки.

По умолчанию используется опция solid.

7) опция, определяющая число точек, по которым строится график

·                   numpoints=n – опция, задающая число базовых точек графика. По умолчанию их количество равно 200. Для сглаживания кривой графика следует увеличить их число. Обычно это важно для графиков неявно заданных функций.

8) опция, определяющая соотношение равного масштаба на осях

·                   scaling=s – опция соотношения масштабов по осям координат. По умолчанию используется опция scaling=unconstrained, которая выбирает масштаб так, чтобы график заполнил все окно построения. Для одинакового масштаба следует задать опцию scaling = constrained, которая изображает фигуру в точных пропорциях.

9) опция, определяющая толщину линии

·                   thickness=n – опция задающая толщину линии графика. По умолчанию используется значение thickness=0. Действие этой опции очевидно.

10) опция, определяющая размеры окна построения графика

·                   view=[xmin..xmax, ymin..ymax] – опция задает размеры окна отображения построения графика по осям координат.

График функции двух переменных

В общем случае графиком функции двух переменных z = f (x,y ) является некоторая поверхность в декартовой системе координат Oxyz . Для построения графика функции двух переменных используется следующий формат записи команды plot3d:

plot3d (f(x,y), x=a..b,y=c..d, options);

или

plot3d (f(x,y), x=a..b,y=g(x)..h(x), options);

В первом случае областью задания независимых переменных является прямоугольник, а во втором случае – некоторая область, ограниченная прямыми x = a, x = b и графиками функций y = g (x ), y = h (x ).

График поверхности, заданной параметрически

Довольно часто поверхность в пространстве Oxyz определяется параметрически уравнениями x = x (u,v ), y = y (u,v ), z = z (u,v ), где (u,v ) – параметры, через которые определяют декартовы координаты точек поверхности. В этом случае формат команды plot3d имеет вид:

plot3d ([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=a..b, v=c..d, opts)

или

plot3d ([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=a..b, v=c(u)..d(u), opts)

В первом случае областью задания параметров является прямоугольник, а во втором случае – некоторая область в плоскости параметров, ограниченная прямыми u = a, u = b и графиками функций v = c (u ), v = d (u ).

Maxima

Программа Maxima распространяется под лицензией GPL и доступна как пользователям ОС Linux, так и пользователям MS Windows. К сожалению, русская версия программы не имеет даже простой справки на русском языке, а немногочисленные статьи, посвященные изучению этой программы, имеющиеся в некотором количестве в Интернете, – не всегда доступны и, зачастую, рассчитаны на уже компьютеризированного пользователя. Функций в Maxima разработчики постарались свести к минимуму, а широту размаха каждой конкретной функции, соответственно, к максимуму. Соблюдается эта тенденция и в функциях построения графиков: основных таких функций всего две, с очевидными, как всегда, названиями – plot2d и plot3d (одно из значений слова «plot» – «график», а аббревиатуры 2d и 3d переводятся как «двумерный» и «трехмерный»).

Для построения двумерного графика можно использовать либо диалоговое окно пункта «Plot 2d…» из вкладки «Графики», либо команду: «plot2d(f(x),[x,a,b]);»,

 где f(x) – функция, график которой необходимо построить, x – переменная, а – левая граница, b – правая граница.

Например, построить график функции sin x   на отрезке [-2π,2π]:

Рис. 1

Иногда нужно на одной координатной плоскости построить несколько графиков. Для этого вместо f(x) нужно написать массив функций, заключенный в квадратные скобки:

«plot2d([f(x),g(x),h(x),…],[x,a,b]);»

Например, построить на одной координатной плоскости графики функций sin (x)   и cos (2x) на отрезке [-2π,2π].

Рис. 2

Может plot2d строить и графики параметрически заданных функций. Для этого используется список с ключевым словом parametric:

 plot2d([parametric, x-выражение, y-выражение, [переменная, начало, конец], [nticks, количество]]).

Здесь «x-выражение» и «y-выражение» задают зависимость координат от параметра, то есть, по сути, это две функции вида x(t), y(t), где t – переменная параметризации. Эта же переменная должна фигурировать в следующем аргументе-списке, а параметры «начало», «конец», как и в двух других рассмотренных случаях, задают отрезок, в пределах которого этот параметр будет изменяться. Последний аргумент-список, с ключевым словом nticks, задает количество кусочков, на которые будет разбит интервал изменения параметра при построении графика. Этот аргумент опционален, но на практике он нужен почти всегда: по умолчанию значение nticks равно 10; согласитесь, редко бывает нужно в качестве графика получить ломаную из 10 отрезков. Вот пример построения графика параметрической функции:

Рис. 3

Кроме parametric, функция plot2d понимает еще одно ключевое слово: discrete. Предназначено оно, как нетрудно догадаться, для отображения на плоскости дискретных множеств; точнее говоря, конечных наборов точек. По записи аргументов такой вариант распадается еще на два:

plot2d([discrete, x-список, y-список])

и

plot2d([discrete, [x, y]- список]).

В первом варианте координаты задаются как два отдельных списка [x1, x2, ..., xn], [y1, y2, ..., yn], а во втором – как список пар координат отдельных точек [[x1, y1], [x2, y2], ..., [xn, yn]]. Если мы, к примеру, имеем набор статистических значений, зависящих от номера, мы можем отобразить его, задав в качестве x-координат сами эти номера, то есть натуральные числа:

Рис. 4

По умолчанию множество отображается в виде ломаной с вершинами в заданных точках; такое поведение можно изменить и получить вывод, к примеру, в виде отдельных точек. Это достигается использованием специальных опций, применимых как к plot2d, так и к plot3d, поэтому давайте перейдем к рассмотрению.

Для построения трехмерных графиков также можно использовать диалоговое окно «Plot 3d…» или ручной ввод с клавиатуры. В общем виде команда построения графика выглядит так:

«plot3d ([f1(x,y), f2(x,y), f3(x,y)], [x,a,b], [y,c,d], [grid,n,k]);», где f1(x,y), f2(x,y), f3(x,y) – функции, a,b – отрезок по оси X, c,d – отрезок по Y, [grid,n,k] – сетка разбиения поверхности на n отрезков по вертикальной и на k – по горизонтальной плоскостям. Например, для построения графика листа Мёбиуса команда выглядит следующим образом:

Рис. 5

Функция plot3d имеет два варианта вызова: один для явного задания функции и один для параметрического. В обоих случаях функция принимает три аргумента. Для явно заданной функции:

plot3d(выражение,[переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]);

аргументы аналогичны plot2d, с той разницей, что здесь независимых переменных две. Построение нескольких поверхностей на одном графике не поддерживается – потому, вероятно, что на таком рисунке проблематично было бы что-либо разглядеть. Посему для параметрически заданной функции ключевое слово parametric не требуется: вызов с первым аргументом-списком уже не с чем перепутать. График параметрически заданной функции строится так:

 plot3d([выражение1, выражение2, выражение3], [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]),

 где «выражения» отвечают, по порядку, x(u, v), y(u, v), z(u, v). С помощью параметрической формы можно строить и пространственные кривые. Для этого просто нужно задать второй, фиктивный, параметр, чтобы Maxima не ругалась на неправильный синтаксис вызова функции:

Рис.6

Рис. 7

Отметим, что в Maxima графики в полярной системе координат рисует функция draw2d(); но, прежде чем пользоваться этой функцией, нужно попросить Maxima дополнительно загрузить этот модуль оператором load(draw). Функция draw2d(); использует функцию polar.

Многие трехмерные графики могут быть построены естественным образом в привычной прямоугольной декартовой системе координат, как поверхность вида z = f(x,y).

Maxima среди прочих аналогичных программ обладает наиболее широкими возможностями по части символьных вычислений; и вполне способна поспорить в этой области с коммерческими Mathematica и Maple. Система аналитических вычислений Maxima идеально подходит в качестве объекта для изучения как при обучении школьников старших классов, так и студентов вузов, ее могут использовать и профессиональные математики для проведения сложных расчетов и исследований.