ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра математики и методики обучения математике

 

 

 

РЕФЕРАТ

ПО ИЗБРАННЫМ ВОПРОСАМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

 

               Тригонометрические функции в школьном курсе математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат выполнила

Студентка 2 курса группы МДМ-214 ______________________________М.В. Краснова

 

Саранск 2016

 

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………………...2

Основная часть…………………………………………………………………….4

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале……………………………………………………….4

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов……7

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры……...11

4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению………………………………………………………………………….16

Заключение……………………………………………………………………….24

Список использованной литературы…………………………………………...25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается  математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности, а особенно при решении тригонометрических задач.

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес. В настоящее время изучению тригонометрических задач уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность.   Тригонометрические задачи  из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ, а именно  базовый уровень: найти значение одной тригонометрической функции через другую; профильный уровень: решить тригонометрическое уравнение. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной итоговой аттестационной  работы.  

Тригонометрические задачи  одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения  возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях.

Все выше сказанное является актуальностью реферата

Цель реферата – тригонометрические функции в школьном курсе математики

Задачи реферата:

- Дать понятие  тригонометрических функций

- Провести анализ тригонометрических функций в школьном курсе математики

Предмет реферата: математика

Объект реферата: тригонометрические функции

Реферат написан из введения, основных глав, заключения и списка использованной литературы

 

 

Основная часть

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале

 

Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия ,  и  острых углов треугольника вводится для углов от  до , как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.

Назовите катеты в ABC, APN. Назовите гипотенузы в LKM и EFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?

Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.

Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.

С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin , tg

Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.

Для синуса это доказывается так:

=,

так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.

Из определений ,  и  получаем следующие правила:

·                   Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;

·                   Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;

·                   Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .

По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.

Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=, LM=, гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).

Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.

После введения понятий ,  и  рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти A, B, c.

Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти A, B, b.

Задача №3. Дано: a, A. Требуется найти A, b, c.

Задача №4. Дано: a, B. Требуется найти A, b, c.

Задача №5. Дано: a, A. Требуется найти B, a, b.

По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Вводятся основные тригонометрические тождества:

, , , .

В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:

, .

Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла  и  возрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:

, , тогда , .

,

тогда из равенства правых частей получаем:

.

, тогда .

Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:

Пусть  и - острые углы,  и , и она пересекает стороны углов и  в точках  и  соответственно.

Так как , то точка  лежит между точками  и , тогда . А значит, по свойству наклонных, (через сравнение их проекций). Так как , , то косинус убывает. А так как , то синус возрастает.

 

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от  до

 

Расширение области определения тригонометрических функций от  до  происходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости".

Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость  угол . Пусть точка  имеет координаты  и . , , то из треугольника : , .

 Определяются значения  и  этими формулами для любого угла α (для ⁰-исключается).

Можно найти значения этих функций для углов 90⁰, 0⁰, 180⁰. Доказывается, что для любого угла α , 0⁰<α<180⁰,  .

повернем подвижный радиус на угол 180⁰-α=

 по гипотенузе и острому углу: => OB₁=OB; A₁B₁=AB => x = -x₁,y = y₁=>

Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 0⁰ до 180⁰; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".

Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:

1)                построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;

2)                обозначить величину острого угла А буквой α;

3)                измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;

4)                вычислить отношение

5)                записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);

6)                измерить транспортиром угол α, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37⁰. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37⁰, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37⁰, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37⁰. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37⁰ при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg α связывается еще две формулы:

  

  

  

Определение cos, sin, tg углов от 0⁰ до 180⁰ являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.

В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 0⁰ до 180⁰. Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"

Сравним доказательства основного тригонометрического тождества:  для острых углов и для углов от 0⁰ до 180⁰:

В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.

Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.

 

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры

 

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:

·                   в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;

·        затем введенные понятия обобщаются для углов от  до ;

·        тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:

a)                 Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

b)                Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);

c)                 Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;

d)                Утверждение функциональной точки зрения на , , и  (трактовка , , и  как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);

e)                 Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;

f)                  Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:

1.                 область значения  и - , для  и - множество всех действительных чисел

2.                 промежутки знакопостоянства: , то значит  зависит от знака  и т.д.

3.                 ,  и  являются нечетными функциями, а  является четной функцией

4.                 при изменении угла на целое число оборотов значение , , ,  не изменится (под обратным понимаем поворот на ).

Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если  положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. .

Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.

Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где .

Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:

1 четверть: , ;

2 четверть: , ;  и т.д.

Определение тригонометрической функции  выглядит так:

Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной

Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:

; .

Построим график функции на .

Делим единичную окружность и отрезок  на 16 равных частей.

Через точку  проводим прямую, параллельную . Проводим прямую  до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции , называемого синусоидой.

Отрезок оси  , с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.

Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида , где , значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси .

Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке  равно значению синуса в точке . Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние  в отрицательном направлении оси . Поэтому график функции  также является синусоидой.

Для функций  и  определяется аналогично. Область определения - множество всех чисел, где .

Построение графика: проведем касательную  к единичной окружности в точке .

Пусть  произвольное число, для которого . Тогда точка  не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая  пересекает  в некоторой точке  с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая  проходит через точки  и . Поэтому она имеет уравнение .

Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой находим, что ордината точки равна . Итак, ордината точки пересечения прямых и  равна . Поэтому прямую  называют линией тангенсов.

Нетрудно доказать, что абсцисса точки  пересечения прямой с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку , равна  при .

Поэтому прямую m называют линией котангенсов.

Область значений  - вся числовая прямая. Докажем это для функции . Пусть  - произвольное действительное число. Рассмотрим точку . Как только что было показано,  равен . Следовательно, функция  принимает любое действительное значение , ч.т.д.

Построение графика аналогично построению .

Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:

1)                Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).

2)                Для функции выбираем отрезок , для функции - и делим их на то же равное число частей.

3)                По окружности находим соответствующее число значений этих функций.

4)                Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.

 

4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению

 

Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.

1)                Функции тригонометрических функций для углов от до

(прямоугольный треугольник, планиметрия);

2)                Тригонометрические функции для углов от до  (тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");

3)                Тригонометрические функции для любого действительного числа.

Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.

К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.

Например:

1)                В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .

2)                В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.

3)                В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см, . Определите .

4)                В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.

Найдите угол B.

Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.

Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:

1.                 ;

2.                 ;

3.                 ;

4.                 ;

5.                 .

6.                 ;

, ч.т.д.

;  è.

С другой стороны:

 

 è

 è  è

 - теорема сложения.

и по доказанной формуле.

Для доказательства  суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:

, , , .

Проведём радиус , длина которого равна , на угол : и получили радиус , где  и на угол  и получим радиус , где .

, : , .

 - прямоугольник. Повернём его на угол  вокруг точки :

; ; , т.е.

; , т.е:

; , по  

Аналогично:

 

Тогда:

и т.д.

К функциям от углов  можно прийти и из геометрических соображений.

Формулы приведения для и выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:

{определяем четность, в которой оканчивается угол  - II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти – " - ". Изменяется ли название функции – нет, поэтому:}  = - cos .

Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.

,

а затем применяется уже известная формула.

Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив .

Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:

={ , }=

=,

но:

Таким образом:

Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.

Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):

1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;

2) основные тригонометрические тождества:

Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;

3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;

4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:

Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:

Задача №1.

Доказать тождество:

Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:

8cos4+sin8=2sin8cos4+2sin4cos4=2cos4(sin8+sin4)=4cos4sin6cos2, и т.д.

Задачи №2.

Упростить выражение

а)

Можно применить формулы понижения степени:

=

{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: } =

б)

Задача №3

Преобразовать в произведение:

 

а) cos5+sin8+cos9+cos12=(cos5+cos12)+(cos8+cos9)=

=2cos17/2cos7/2+2cos17/2cos/2=2cos17/2(cos7/2+cos/2)=

=4cos17/2cos2cos3/2=4cos3/2cos2cos17/2

б) 3+4cos4+cos8=3(1+cos4)+(cos4+cos8)=6cos²2+

+2cos6cos2=2 cos2(3cos2+cos6)=2cos2((cos2+|cos6)+

+2cos2)=2cos2(2cos4cos2+2cos2)=4cos²2(cos4+cos2)=

=4cos²2cos²2=8cos⁴2

Задача №4

Найти sin⁴+cos⁴, если известно, что:

 

sin-cos=1/2

sin⁴+cos⁴=(sin² +cos²)²-2sin²cos²=1-2sin²cos²=

=1-1/2sin²2={sin4-cos=1/2(sin-cos)²=

=1-2sincos=1/4sin2=3/4}=

Задача №5

Вычислить:

sin=-cos(2arctg4/3)={обозначим arctg4/3 через y, тогда получим cos2y, который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу  и получим}=

 

Заключение

 

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37⁰. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37⁰, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37⁰, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37⁰. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37⁰ при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

 

Список использованной литературы

 

1.  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15 изд. –  М.: Инфа, 2013

2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов,     Ю. П. Дудницын  и др.; под редакцией А. Н. Колмогорова. – 17-е изд. – М.: Инфа, 2014

3.   Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин–М.: Инфа, 2014

4. ЕГЭ  2015  Математика .Материалы для подготовки ЕГЭ.  alexlarin.net

5. Единый государственный экзамен: математика  М.: Инфа, 2014

6. Единый государственный экзамен: математика: Контрольные измерительные материалы: 2015. – М.:Просвещение, 2015.

7. Математика: реальные варианты: ЕГЭ 2014 /В.В.Кочагин и др. – М.:АСТ: Астрель, 2014

8. В.Б.Некрасов Школьная математика. Пособие для базового и профильного обучения «Авалон» М.: Инфа, 2014

9. А.Л.Семёнов, И.В.Ященко Математика. Типовые тестовые задания. М.: Олган 2013

10. А.Г.Сухарев Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников. Москва Педагогический университет «Первое сентября»  2014

11. Э.Н.Шамсудинова Практикум по решению задач. Тригонометрические уравнения, неравенства и  системы. М.: Инфа, 2014