Реферат на тему: Использование табличного процессора MS Excel и математического моделирования для решения математических задач

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

 

Использование табличного процессора MS Excel и математического моделирования для решения математических задач

 

 

 

 

                                                                                          Выполнила: Миняева Анна

студентка группы МДИ-114

 

 

 

 

                                                                             2012

                                                            Содержание:

1.      Введение   ……………………………………………………………………………….3

2.      Моделирование и решение математических задач……………………………………4

3.      Моделирование и решение задач оптимизации……………………………………….8

4.      Заключение……………………………………………………………………………...26

5.      Литература…....................................................................................................................27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Microsoft Excel (также иногда называется Microsoft Office Excel) — программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS.

Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и язык макропрограммирования VBA (Visual Basic for Application). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Office и на сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире.

 

                           Моделирование и решение математических задач

С середины XX века в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т.д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием.

Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания.

Например: Люди издавна интересуются, как устроена наша Вселенная. Этот интерес не только познавательный, но и сугубо практический, так как люди хотели научиться предсказывать периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как: затмение солнца и луны, наступление времен года.

Для решения этих задач, ученые строили свои представления о Вселенной в виде схемы картины мира, в которой объекты (планеты, Солнце, звезды, Земля и Луна) изображались точками, движущимся по каким-то кривым - траекториям их движения. Таковы, например, схемы, построенные Птолемеем, в которых центральное место занимала наша Земля, или схема Коперника, в которой центральное место занимало Солнце.

С помощью этих схем ученые решали задачи предсказания отдельных астрономических явлений. Эти схемы или картины мира - суть модели Вселенной, а метод исследования Вселенной, нахождение законов и решения задач, связанных с помощью этих моделей, является методом моделирования. В математике широко используется метод моделирования при решении задач.

В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

1. Формализация - перевод предложенной задачи (ситуации) на язык

математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

     3.Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была   

     сформулирована исходная задача (интерпретация решения).

 

Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. С помощью модели словесно заданный текст можно перевести на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для математических задач с разными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения.

Моделирование числовых рядов и их применение при решении математических задач

При решении некоторых задач часто возникает необходимость использования последовательности чисел.

Числовые ряды, их моделирование и применение в математических задачах

Рядом называется бесконечная последовательность чисел, элементы которой объединены попарно арифметическими операциями сложения или вычитания.

Ряд считается заданным, если известно выражение его общего элемента.

Сумма конечного числа бесконечной последовательности ряда называется частичной суммой ряда.

Для вычисления частичной суммы нужно вычислить определенное число членов ряда и затем найти их сумму. Для этого должны быть заданы: 1) количество суммируемых элементов; 2) формула для вычисления элементов ряда.

Создание числовых последовательностей в табличном процессоре

В общем случае для создания числовой последовательности в табличном процессоре нужно:

- задать номера элементов последовательности в виде массива натуральных чисел, расположенных либо в столбце, либо в строке таблицы в листе;

- ввести в ячейку, соответствующую первому номеру элемента, формулу (выражение) для его вычисления;

- скопировать с помощью маркера автозаполнения в следующие ячейки столбца или строки, где будет формироваться числовая последовательность.

Задание 1. Создать в листе табличного процессора числовую последовательность, которая задана формулой общего элемента {n/(n+1)}.

Порядок реализации задания 1 в табличном процессоре

1) Объединить ячейки А1:В1 и записать в них текст: Последовательность (n/(n+1));

2) Отформатировать ячейки А2:В2 (перенос по словам) и записать в ячейке А2 текст «Номер элемента», в ячейке В2 – «Значение элемента»;

3) задать номера элементов последовательности в виде массива натуральных чисел в ячейках столбца А, начиная с ячейки А3 (не менее 10);

4) В ячейку В3 ввести формулу для вычисления первого элемента последовательности: =А3/(А3+1);

5) С помощью маркера автозаполнения скопировать формулу в следующие ячейки столбца В, чтобы получить значения всех элементов последовательности.

Для создания наиболее известных в математике последовательностей (арифметической, геометрической и т.д.) в табличном процессоре имеет специальный инструмент Прогрессия, который находится в процессоре на вкладке Главная в группе Редактирование, где находится кнопка Заполнить. Данная кнопка открывает меню с выбором метода заполнения. В списке вариантов есть вариант Прогрессия. После его выбора откроется диалоговое окно, в котором требуется ввести тип и параметры создаваемой последовательности. ( В Microsoft Excel 2003 – Правка, Заполнить, Прогрессия)

При исследовании последовательностей чисел требуется вычислить ее предел или другие числовые характеристики.

Задание 2. Найти предел числовой  последовательности .

Математическое решение

Порядок реализации в табличном процессоре

1) В ячейку А1 внести текст: Предел последовательности n/(n+1);

2) Полагая, что в ячейке А2 будет находиться число n, в ячейку В2 введите формулу: =А2/(А2+1);

3) В ячейку А2 введите достаточно большое число, примерно равное 1*10¹²; если будет введено число, превышающее данную величину, то может наступить переполнение ячейки и результат вычисления будет неправильным;

4) После заполнения ячейки А2 в ячейке В2 появится приближенное значение предела исследуемой числовой последовательности.

Функция – это модель, устанавливающая зависимость какой-либо одной величины (переменной) от другой величины или нескольких величин (аргументов).

Одни из способов задания функции – табличный – имеет широкое распространение в различных областях исследований: экспериментальных измерениях, таблицах бухгалтерской отчетности, банковской деятельности, статистических исследованиях и измерениях и т.д.

При табличном задании функции один ряд данных представлен как значения функции, другой (или другие) – как значения аргумента.

Каждому значению аргумента соответствует значение функции, находящееся в той же строке таблицы, что и аргумент.

Формула функции даст также возможность найти значения функции, не отраженные в ее табличном представлении. При выборе функции должны быть рассмотрены следующие вопросы:

1) Выбор типа функции (линейная, показательная, логарифмическая и т.д.).

2) Оценка погрешности приближения.

Виды функций, из которых производится выбор зависимости, могут быть следующими:

 - линейная у=ах+в; применяется в случае постоянного изменения данных на определенную величину;

 - полиномиальная – для данных, которые попеременно возрастают и убывают;

 - логарифмическая y=a*lnx+b; применяется для описания данных, которые вначале быстро убывают и возрастают, а затем стабилизируются;

 - степенная у=в*х^а; используется для аппроксимации данных, скорость изменения которых быстро увеличивается или уменьшается;

 - экспоненциальная у=в*е^х; применяется для описания  данных, которые быстро убывают и возрастают, а затем стабилизируются.

Мощным средством анализа данных Excel является надстройка Solver (Поиск решения). С ее помощью можно определить, при каких значениях указанных влияющих ячеек формула в целевой ячейке принимает нужное значение (минимальное, максимальное или равное какой-либо величине). Для процедуры поиска решения можно задать ограничения, причем не обязательно, чтобы при этом использовались те же влияющие ячейки. Для расчета заданного значения применяются различные математические методы поиска по умолчанию в Excel надстройка Поиск решения отключена. Чтобы активизировать ее в Excel 2007, щелкните значок Кнопка Microsoft Office , щелкните Параметры Excel, а затем выберите категорию Надстройки. В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти. В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК. В Excel 2003 и ниже выберите команду Сервис/Надстройки, в появившемся диалоговом окне Надстройки установите флажок Поиск решения и щелкните на кнопке ОК.

 Моделирование и решение задач оптимизации

Оптимизацией называется процесс выбора наилучшего варианта решения из множества возможных решений.

При решении оптимизационных задач с помощью надстройки «Поиск решения» целесообразно различать линейные и нелинейные модели.

Под линейными понимаются модели, в которых связь между входными значениями переменных и результирующими значениями описывается линейными функциями.

Для использования линейных методов следует установить параметр «Линейная модель» в окне «Параметры поиска решения». Если этот параметр не установить, то даже для линейной задачи будут использоваться общие более медленные методы.

Чтобы использовать надстройку «Поиск решения» не обязательно знать методы программирования и исследования операций, но необходимо определять, какие задачи можно решать этими методами.

Задание 3: Решите систему уравнений.

Математическое решение

Выразим в каждом уравнении х относительно у, получим:

Можно заметить, что все эти функции имеют общую точку (0;2). Это и есть их общее решение.

Порядок реализации в табличном процессоре.

Для реализации решения в табличном процессоре следует преобразовать систему уравнений, выразив в каждом уравнении х относительно y.

 Получить таблицу значений х в указанном диапазоне с  определенным шагом (инструмент Прогрессия) в столбце А.

 Получить таблицу значений функции у₁ для каждого значения х в столбце В.

 Получить таблицу значений функции у₂ для кадого значения х в столбце С.

 Получить таблицу значений функции у₃ для кадого значения х в столбце D.

 Построить графики всех функций в одной области построения диаграммы (тип – ТОЧЕЧНАЯ, вид – точки, соединенные линией).

 Задать подписи рядов и заголовок диаграммы (в соответствии с темой задания).

Построение графиков и нахождение пары приближенных значений

При построении графиков функций  и нахождении их общей точки – точки пересечения, наводим указатель мыши на точку пересечения, при этом всплывает подсказка, что точка пересечения  с координатой (0; 2).

Уточним найденное решение, для этого ниже, например в ячейку А25 внесем текст – уточнение решения, и ниже запишем неизвестные – х и у, в ячейки А26, В26, С26. далее в ячейки А27-С27 внесем соответственно решение и наши полученные ответы 0 и 2.

Еще ниже, например в ячейку А29  запишем текст- Формулы уравнений, в ячейки А30-А32- тексты первое уравнение, второе уравнение, третье уравнение. В ячейки В30-В32 внесем формулы наших функций с ссылками на ячейки где у нас стоят наши ответы, это адреса ячеек В27 и С27. Следовательно, в ячейке В30 будет стоять формула =-1,6*В27+2-С27, аналогично в ячейке  В31 будет стоять формула =-2,5*В27+2-С27, и в ячейке В32 формула =-1,75*В27+2-С27.

Выбираем для уточнения Сервис, Поиск решения, в диалоговом окне указываем целевую ячейку $B$30, равной значению 0. Так как это разница левой и правой части функции. Указать, какие изменять ячейки, мы проверяем ответы ячеек В27:С27, и указываем ограничения, что ячейки с адресами В31=0 и В32=0. Выполняем поиск решения, сохраняем, получившиеся значения.

                     Вычисление корней функции одной переменной.

Как известно из математики, корнями функции Y=f(x) называют такие значения х, при которых функция принимает значение 0.

Процесс нахождения корней функции осуществляется в два этапа.

Этап 1. Требуется определить, есть ли у функции корни. Для этого нужно построить график функции для какого-то интервала значений аргумента и визуально определить, имеет ли функция точки пересечения с осью ОХ (осью абсцисс).

Этап 2. Требуется уточнить значения корней, т.е. найти значения корней с заданной точностью.

При решении практических задач аргументом функции обычно является значение какого-то ресурса, величина которого ограничена и лежит в области допустимого диапазона значений. Поэтому при решении задачи интерес представляют только те корни, которые находятся в области возможных значений х.

Задача 4: Найти корни функции в диапазоне значений аргумента [-1;1] с точностью 0,1.

Математическое решение

1. Заданная функция представлена уравнением третьей степени, следовательно, она может иметь не более трех корней.

2. Функция непрерывна, поэтому достаточно найти отрезок длиной 0,2 на концах которого функция имеет значения разных знаков. Имеем f(-1)=-0,1665 <0; f(-0,9)=0,035964 значит один корень уравнения существует и он принадлежит отрезку [-1;-0,9], х ≈ -0,9 f(0)=0,139104>0; f(0,2)=0,005824>0; f(0.3)=-0,04612<0; f(0,7)=-0,01588<0; f(0,8)=0,081184>0, значит два других корня будут принадлежать отрезкам [0,2;0,3] и [0,7;0.8], х ≈ 0,2 и х ≈ 0,7

2. Для определения локализации корней функции требуется построить ее график на указанном диапазоне значений аргумента. Для этого следует получить таблицу значений переменной х в диапазоне [-1;1]. Для этого следует выбрать шаг изменения аргумента на заданном отрезке, например, 0,1. Затем нужно вычислить все значения аргумента на указанном отрезке с выбранным шагом изменения.

3. Вычислить значения заданной функции для всех значений таблицы значений аргумента. Таким образом, получится таблица значений функции.

4. По таблице значений аргумента и функции построить график и найти точки пересечения графика с осью абсцисс. Так определяется количество и приближенное значение корней (интервалы, содержащие корни функции).

5. Интервалы, содержащие корни функции, дают возможность выбрать приближенное значение каждого корня, далее требуется уточнить значение с заданной точностью.

Порядок реализации в табличном процессоре

1. Объединить ячейки А1:С1 и внести в них текст:

2. В ячейку А2 внести имя аргумента х, в ячейку В2 внести имя функции у.

3. В ячейку А3 внести первое значение аргумента: -1.

4. Выделить ячейку А3, затем вызвать команду Заполнить "Прогрессия…(вкладка Главная, группа Редактирование). В диалоговом окне задать параметры прогрессии.

 

В результате заполнения у вас должен появиться столбец значений аргумента.

5. В ячейку В3 ввести выражение для вычисления значения функции для первого значения аргумента:

6. Выделив ячейку В3, за маркер автозаполнения скопировать формулу функции для всех следующих значений аргумента. Получится столбец значений функции.

7. По таблице значений аргумента и функции строим график функции. Для этого выделяем два столбца значений (аргумент и функция), строим диаграмму (тип – ТОЧЕЧНАЯ, вид – точки, соединенные линией). Подпись ряда – у=х^3-0,01*x^2-0,7044*x+0,139104, заголовок диаграммы – График функции.

Из графика видно, что функция пересекает ось абсцисс на указанном отрезке три раза. Следовательно, она имеет три корня.

8. Чтобы определиться со значениями начальных приближений корней функции, проанализируйте таблицу значений функции (столбец В). В ней нужно найти ячейки, которые содержат значения, меняющие знак (например, с – на +, или наоборот).

            а) функция меняет знак на отрезке [-1;-0,9];

            б) функция меняет знак на отрезке [0,2;0,3];

            в) функция меняет знак на отрезке [0,7;0,8].

Следовательно, точные значения корней функции находятся внутри этих интервалов.

9. В качестве начальных приближений корней функции нужно выбрать значения аргумента в ячейках А4 (-0,9), А15 (0,2), А20 (0,7).

На свободном участке листа, в ячейках А25:С25 (объединив их) разместить текст: .

10. В ячейки А26:А28 ввести значения выбранных приближений Для каждого значения ячеек А26:А28 в ячейки В26:В28 нужно ввести формулу функции из пункта 5.

11. Нажмите на копку Файл.  В меню выберите пункт Параметры, в диалоговом окне выберите пункт Формулы и в разделе Параметры вычислений установите переключатель рядом с параметром Включить итеративные вычисления, и укажите предельное число итераций 1000, а значение относительной погрешности установите равным 0,000001.

(Или  для версии 2003, Сервис Параметры, Вычисления, указать число итераций 1000, относительная погрешность 0,000001.

12. После установки параметров вычислений выделите ячейку В26, нужно перейти на вкладку Данные, в группе Работа с данными выбрать кнопку Анализ «что если».

В открывшемся списке вариантов выбрать Подбор параметра… Откроется диалоговое окно, в котором требуется заполнить три поля. (Или Сервис, Подбор параметра, в версии 2003)

В поле Установить в ячейке нужно указать адрес ячейки, в которой будет получено точное значение первого корня уравнения: В26.

В поле Значение указывается значение функции для данного корня, т.е. 0.

В поле Изменяя значений ячейки указывается адрес ячейки, содержащей приближенное значение корня функции (ссылка на ячейку указывается в абсолютном формате): $A$26.

После нажатия на кнопку ОК в ячейке А26 появится точное значение корня функции.

Нажмите ОК в окне результата подбора параметра.

13. Повторяя действия из п. 12 для каждого приближенного значения корня, нужно получить точные значения второго и третьего корней функции.

 

Для решения практических задач часто требуется найти  экстремум. Экстремумом является минимальное или максимальное значение функции.

Задача 3: Задана неразрывная функция . Требуется найти ее экстремум (минимальное значение) на отрезке [-2;2].

Порядок реализации в табличном процессоре

1. Объедините ячейки А1:С1 и введите текст задания: .

2. В ячейку А2 введите имя аргумента х. В ячейку В2 введите имя функции у.

3. В ячейку А3 введите любое значение аргумента, принадлежащее отрезку, указанному в условии, например: -0,8.

4. В ячейку В3 введите формулу для нахождения значения функции для значения аргумента, заданного в ячейке А3: .

5. Перейдите на вкладку Данные, в группе Анализ выберите кнопку Поиск решения.

(Или в в версии 2003- Сервис, Поиск решения)

6. В открывшемся диалоговом окне требуется задать все нужные параметры.

            а) в поле Оптимизировать целевую функцию указана ссылка на ячейку В3 (в абсолютном формате);

            б) в строке До переключатель должент быть установлен рядом с параметром Минимум;

            в) в поле Изменяя ячейки переменных должна быть указана ссылка на ячеку А3 (в абсолютном формате);

            г) в области с названием В соответствии с ограничениями должны быть указаны огранияения на значения переменной. Для этого нажмите справа на кнопку Добавить и запишите первое условие:

Нажмите кнопку Добавить в окне, указанном выше, и запишите второе условие:

После чего нажмите кнопку ОК.

Окно  Параметры поиска решения примет вид:

Нажмите на кнопку Найти решение, после чего в ячейке А3 появится значение аргумента, при котором функция (формула в ячейке В3) принимает минимальное значение. Так же будет выведено диалоговое окно с дополнительными сведениями о полученном результате.

Нажмите в окне Результаты поиска решения кнопку ОК, чтобы сохранить найденное решение.

7. Проверим правильно ли найдено решение задания.

8. Построим график функции.

С помощью  Правка, Заполнить, Прогрессия , указать шаг, например 0,2, предельное значение 2 (так как отрезок от -2 до 2) зададим значения х., в ячейке А7,

В ячейку В7 внесем формулу =степень(А7;2)+А7+2 и скопировать формулу в ячейки В8:В27

Построим с помощью мастера диаграмм график функции

9. Определите с помощью функции МИН минимум в столбце значений функции, и определите значение аргумента для этого значения функции.

 

10. В частном случае при нахождении экстремума на указанном отрезке, найденное значение может быть не минимумом (максимумом) функции, а просто минимальным (максимальным) значением на указанном отрезке, т.е. экстремумом являться не будет. Чтобы проверить, является ли найденное решение экстремумом функции, необходима дополнительная проверка с помощью вычисления производной функции. Если производная функции для найденного решения равна нулю, то точка является экстремумом, а не точкой перегиба функции.

Производная – это отношение малого приращения функции к малому приращению аргумента. Для вычисления производной нашей функции , выполните следующие шаги:

1)      В ячейку Е2 (лист с поиском экстремума, где находится значение -0,5) введите значение переменной, отличающееся от найденного на очень малую величину. Для этого введите в ячейку Е2 формулу: . В ячейку Е3 введите формулу: . Задайте формат ячеек Е2:Е3 – числовой, число разрядов после запятой: 9.

2)      В ячейку F2 введите формулу . Скопируйте формулу в ячейку F3. Отформатируйте ячейки F2:F3 аналогично тому, как отоформатированы ячейки Е2:Е3.

3) В ячейку G2 записываем формулу для вычисления производной:

Отформатируйте ячейку аналогично формату предыдущих: с количеством знаков после запятой 9.

Вывод: производная в указанной точке равна 0, следовательно, найденное значение является экстремальным.

Задача 4: Требуется найти значения аргумента в диапазоне [-1;1], при которых функция имеет экстремумы.

Математическое решение

-                                         +

 

                     -0,5

Уَ(-0,6)=2*(-0,6)+1=-0,2

Уَ(0,5)=2*0,5+1=2

Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно х=-0,5 у=1,75 – точка минимума

Порядок реализации в табличном процессоре.

.1.Получить таблицу значений аргумента с шагом 0,1 с помощью Прогрессии .

В ячейки А1 и В1 внести х и у. В ячейки А2:А22 с помощью Правка, Заполнить, Прогрессия, с шагом 0,1 заполнить значения х.

2. Получить таблицу значений функции для всех значений аргумента .

В ячейку В2 внести формулу =СТЕПЕНЬ(A2;2)+A2+2. С помощью копирования формул заполнить ячейки В3:В22

3. Получить таблицу значений функции для всех значений (аргумент+dx) (dx = 0,00000001 – малое приращение аргумента функции). Для этого в формуле функции вместо значения аргумента записать аргумент+малое приращение.

В ячейку С1 внесем обозначение у(х+∆х). В ячейку С2 внесем формулу нахождения значения функции с приращением 0,00000001. Формула- =степень(А2+1Е-8;2)+(А2+1Е-8)+2. Ячейки С3:С22 заполним  с помощью копирования формул.

4. Вычислить значения производной функции как отношение малого приращения функции к малому приращению аргумента: =(второе значение функции – первое значение функции)/приращение аргумента.

В ячейку D1 введем обозначение уَ. В ячейку D2 введем формулу  =(C2-B2)/0,00000001- отношение малого приращения функции к малому приращению аргумента.

5.Анализируя полученные значения производной функции в точках сетки аргумента, определить, на каком интервале функция меняет знак. В этом интервале может находиться точка экстремума. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то точка экстремума является минимумом функции (и наоборот).

При х=-0,5 и у=1,75 производная равна нулю, следовательно это критическая точка, а производная меняет знак с “-“ на “+” , следовательно это минимум.

6. Уточните значение аргумента, при котором производная равна 0, используя интсрументы MS Excel  Подбор параметра или Поиск решения  В указанной точке функция принимает минимальное значение (экстремальное значение).

Уточним наш ответ с помощью Сервис, Поиск решения, для этого в ячейку А25 внесем любое значение из отрезка [-1;1], например 0,2, а в ячейку В25 формулу нашей функции

 = степень(А25;2)+А25+2. Выделим ячейку В25 и через Поиск решения установить целевую ячейку В25, равной минимальному значению, изменяя ячейку А25, с ограничениями ячека А25<=1 и А25>=1  и выполнить.

сохранить полученный результат

Построим график функции и график ее производной

 

                                                 

                                                         Заключение
            В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений.                                       

            Программа Microsoft Excel – одна из наиболее практически значимых, востребованных.  Электронные таблицы не только позволяют автоматизировать расчеты, но и являются эффективным средством моделирования различных вариантов и ситуаций. Меняя значения исходных данных, можно проследить за изменением получаемых результатов и из множества вариантов решения задачи выбрать наиболее подходящий.

 

                                    Литература:
1. Мордкович А.Г . Алгебра и начала анализа 10-11. М.: Просвещение, 2005

2.Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978

3. Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.

4. Информатика и информационные технологии, 10-11 класс. – Бином Лаборатория знаний, 2005.