Урок на тему: «Исследование функции с помощью производной и построение её графика».
Ф.И.О. учителя: Банникова Дарья Дмитриевна
Дата проведения: 25.02.13
Класс: 10 «Б»
Цели урока:
· Усвоить алгоритм исследования функции с помощью производной
· Формировать навыки прикладного использования производной
· Развивать умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции
· Воспитывать познавательный интерес к математике
Тип урока: урок объяснения нового материала
Структура урока: 1. Организационный момент – 2 мин.
2. Актуализация знаний – 10 мин.
3. Ознакомление с новым материалом – 10 мин.
4. Первичное осмысление изученного на практике – 16 мин.
5. Постановка задания на дом – 2 мин.
6. Подведение итогов. – 5 мин.
Ход урока.
|
Деятельность учителя |
Деятельность учащихся |
|||||||||
|
1. Организационный момент. |
||||||||||
|
Проверка готовности класса к уроку. Сообщение темы и цели урока. |
|
|||||||||
|
2. Актуализация знаний. |
||||||||||
|
Самостоятельная работа одного учащегося у доски. Задание написать все формулы производной сложной функции.
Устная работа с классом. 1.Назовите промежутки убывания функции
2.Назовите точку максимума функции
3.Найти производную функции у=3х2 – cosx + 2
4.Найти область определения функции
5.Найти область определения функции
6.Найти область определения функции
Четность и нечетность функции. Как определить четность функции?
График чётной функции симметричен относительно оси ординат. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Какие еще функции есть помимо четных и нечетных?
Как найти точки пересечения с осями координат? |
[-3;2]
6
y'= 6x+sinx
[0;2) & (2;∞)
х ≠ 5
(-∞;2) & (2;∞)
f(-х)=f (х) f (-х)= - f (х)
Функции общего вида и периодические. С осью ОУ: х=0 С осью ОХ: у=0 |
|||||||||
|
3. Ознакомление с новым материалом. |
||||||||||
|
Запишем алгоритм исследования функции с помощью производной в тетрадь. 1. Найти область определения функции. 2. Определить четность, нечетность и периодичность функции. 3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат. 4. Найти промежутки знакопостоянства функции. 5. Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции. 6. Занесите все полученные данные в таблицу. 7. Построить график функции. 8. Найти дополнительные точки. 9. Найти множество значений функции. Разбор устно у доски. Ответить на вопросы появившиеся у класса.
|
|
|||||||||
|
4. Первичное осмысление изученного на практике. |
||||||||||
|
Решение задач с объяснением у доски. f(x)=
Исследовать функцию y=x3+6x2+9x и построить график.
Исследовать функцию y=x2/(x-2) и построить график.
Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x2+3) и построить график.
|
y=x3+6x2+9x
1) D(y)=R
2) Определим вид функции:
y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+6x2-9x функция общего вида.
3) Найдем точки пересечения с осями:
Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0,
x3+6x2+9x=0
x(x2+6x+9)=0
x=0 или x2+6x+9=0
D=b2-4ac
D=36-36=0
D=0, уравнение имеет один корень.
x=(-b+D)/2a
x=-6+0/2
x=-3
(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.
4) Найдем производную функции:
y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9
5) Определим критические точки:
y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0 сократим на 3
x2+4x+3=0
D=b2-4ac
D=16-12=4
D>0, уравнение имеет 2 корня.
x1,2=(-b±√D)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2
x1=-1 x2=-3
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:
+ - +
-3 -1 x=-4, y’=3*16-48+9=9>0
x=-2, y’=12-24+9=-3<0
x=0, y’=0+0+9=9>0
7) Найдем xmin и xmax:
xmin=-1
xmax=-3
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(-1)=-1+6-9=-4
ymax=y(-3)=-27+54-27=0
9) Построим график функции:
10)Дополнительные точки:
y(-4)=-64+96-36=-4
y=x2/(x-2) Найдем область определения.
1) D(y)=R \ {2}
2)Определим вид функции.
y(-x)=(-x)2/(-x-2)=x2/(-x-2), функция общего вида.
3)Найдем точки пересечения с осями.
Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0,
x2/(x-2)=0
x3-2x2=0
x2(x-2)=0
x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-4x-x2)/(x-2)2=(x(x-4))/(x-2)2=(x2-4x)/(x-2)2
5) Определим критические точки:
x2-4x=0 x(x-4)=0
y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 <=> <=> (x-2)2≠ 0 x≠ 2 x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2
x(x-4)=0
x=0 или x=4
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.
+ - - + 0 2 4
x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0
x=1, y’=(1-4)/1=-3<0
x=3, y’=(9-12)/1=-3<0
x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0
7) Найдем точки минимума и максимума функции:
xmin=4
xmax=0
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(4)=16/2=8
ymax=y(0)=0
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9
y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9
1) Найдем область определения функции:
D(y)=R
2) Определим вид функции:
y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+1))/(x2-3) – функция общего вида.
3) Найдем точки пересечения с осями:
Oy: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.
(6(x-1))/(x2+3)=0
Ox: y=0, <=>
x2+3≠ 0
6x-6=0
6x=6
x=-1
(1;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(6(x-1)/(x2+3))’=6(x2+3-2x2+2x)/(x2+2)2=-6(x+1)(x-3)/(x2+3)2
5) Определим критические точки:
y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2=0
-6(x+1)(x-3)=0
y’=0, если х1=-1 или х2=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:
-1 3
x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)2=-30/49<0
x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)2=2>0
x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)2=-30/361<0 7) Найдем точки минимума и максимума:
xmin=-1
xmax=3
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3
ymax=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2
y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77 |
|||||||||
|
5. Постановка задания на дом. |
||||||||||
|
Задания а) – среднего уровня, б)- уровня выше среднего, в) – высокого уровня 1 вариант а) у=(х+1)3 (х-2) б) у= в) у= 2 вариант а) у=(х+2)2 (х-2) б) у= в)у=
|
|
|||||||||
|
6. Подведение итогов. |
||||||||||
|
Повторение этапов алгоритма. Выставление оценок. |
|
|||||||||
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Цели урока:
· Усвоить алгоритм исследования функции с помощью производной
· Формировать навыки прикладного использования производной
· Развивать умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции
· Воспитывать познавательный интерес к математике
Тип урока: урок объяснения нового материала
Структура урока: 1. Организационный момент – 2 мин.
2. Актуализация знаний – 10 мин.
3. Ознакомление с новым материалом – 10 мин.
4. Первичное осмысление изученного на практике – 16 мин.
5. Постановка задания на дом – 2 мин.
6. Подведение итогов. – 5 мин.
6 651 357 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Роздольская Дарья Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.