Выбранный для просмотра документ метод половинного решения.ppt
Скачать материал "Разработка урока на тему "Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами.""
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Циклы
итерационного
типа.
Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами
МАОУ СОШ 45
Учитель информатики:
Пастушук Галина Григорьевна
г. Калининград
2014-2015
2 слайд
Объект - уравнение
среда программирования Qbasic
приложение MS Excel
Инструменты:
3 слайд
Аналитический метод решения.
Решение уравнений – выполнение равносильных преобразований выражений, которые позволяют выразить неизвестную величину с помощью формулы.
4 слайд
Графический метод решения.
х 0.75
корни определяются примерно, «на глаз»
5 слайд
Численный метод решения.
Нахождение корня идёт в два этапа:
отыскание приближённого значения корня;
уточнение приближённого значения до заданной точности.
6 слайд
Метод половинного деления
(метод дихотомии).
Метод половинного деления применим только в том случае, если функция принимает значения разных знаков на концах некоторого отрезка.
7 слайд
Числовая модель
«Половинное деление»
Найдём точки пересечения графика функции Y(x)=0 с осью ОХ.
С=(А+В)/2
В
y (В) > 0
y (C) > 0
y (A) < 0
А
С
С=В
y (B) > 0
y (C) > 0
8 слайд
Числовая модель
«Половинное деление»
С=(А+В)/2
В
y (В) > 0
y (C) < 0
y (A) < 0
А
С
С=А
y (C) < 0
y (A) < 0
Найдём точки пересечения графика функции Y(x)с осью OX.
9 слайд
Числовая модель
«Половинное деление»
С=(А+В)/2
В
y (В) > 0
y (C) > 0
y (A) < 0
А
С
С=В
y (B) > 0
y (C) > 0
Пока
Х
Найдём точки пересечения графика функции Y(x)=0 с осью OX.
корни определяются с заданной точностью Е
10 слайд
Постановка задачи.
Дано:
А,В – границы отрезка, на котором находится корень уравнения;
Е –заданная степень точности.
Треб: Х – корень уравнения.
Связь: |A-B|<E
При: А, В, Е определяются условиями задачи
11 слайд
Алгоритм решения
запросить А, В, Е
пока
нц
С=(А+В)/2
если у(A) * у(C) <= 0
то
B=C
иначе
A=C
всё
кц
X=(A+B)/2
А,В,Е
С=(А+В)/2
F(a)*F(c)<=0
A=C
B=C
+
-
|A-B|<=E
-
+
A
12 слайд
Приближённое решение уравнения методом половинного деления MS Excel.
13 слайд
Приближённое решение уравнения методом половинного деления MS Excel.
14 слайд
Алгоритм решения
запросить А, В, Е
пока
нц
С=(А+В)/2
если у(A) * у(C) <= 0
то
B=C
иначе
A=C
всё
кц
X=(A+B)/2
А,В,Е
С=(А+В)/2
F(a)*F(c)<=0
A=C
B=C
+
-
|A-B|<=E
-
+
A
15 слайд
Функция пользователя
DEF FN<буква лат.>(<аргумент>)
Имя оператора
(define – определять)
Имя функции
16 слайд
Составить программу для решения уравнения cos(x)-x=0 методом половинного деления для Х=[-1;+1] с точностью до 0,1 (0,01; 0,001).
REM решение уравнения методом половинного деления
DIM a, b , c, e as single
CLS
DEF FNF(X)=COS(X)-X
INPUT“Введите границы отрезка и заданную точность вычислений”;a, b, e
WHILE ABS(A-B) >=E
C=(A+B)/2
IF FNF(A)*FNF(C)<=0 THEN B=C ELSE A=C
WEND
PRINT “Корень уравнения =”(A+B)/2”+-”E
END
17 слайд
Составить программу распечатки таблицы аргументов и значений функции Y(X)=X COSX SINX – 0,2 на интервале (-3;3) с шагом 1.
CLS
DEF FNY(X)=X*COS(X)*SIN(X)-0.2
FOR X=-3 TO 3
PRINT “X=”X, “Y=“FNY(X)
NEXT X
18 слайд
Результат:
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
-0.619124
-0.956803
+0.254649
-0.2
+0.234649
-0.956803
-0.619123
(-2; -1)
(-1; 0)
(0; +1)
(+1;+2)
19 слайд
Дополнить программу строками, реализующими алгоритм поиска приближённого значения корня данного уравнения методом половинного деления с точностью до 0,01. Результаты вычислений записать в таблицу.
CLS
10 INPUT “Введите границы интервала”;A,B
INPUT “Введите требуемую точность”;E
DO
C=(A+B)/2
IF FNY(A)*FNY(C)<=0 THEN
B=C
ELSE
A=C
END IF
LOOP WHILE ABS(A-B)>E
PRINT “Корень уравнения =”(A+B)/2
GOTO 10
20 слайд
Решите уравнения
4x3 – 12,3x2-x+16,2=0 на отрезке (-2;0) с точностью до 0,1;
sin x – cos x=0 на отрезке (0;1,57) с точностью до 0,1;
x2 cos x+1=0 на отрезке (3;4) точностью до 0,1.
21 слайд
Итоги урока
программы «Метод половинного деления», написанной на языке QBasic
возможностей построения графиков при помощи «мастера диаграмм», встроенного в электронные таблицы MS Excel
Мы научились решать нестандартные уравнения с использованием:
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами.doc
Тема урока: Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами.
Тип урока: изучение и закрепление новых знаний.
Вид занятия: практическая работа с использованием компьютера.
Продолжительность занятия: 90 мин.
Цель: научиться решать уравнения с заданной точностью на заданном отрезке.
Задачи:
ü развитие исследовательской, познавательной деятельности учащихся;
ü развитие умений использовать различные программные средства при решении одной задачи;
ü формировать у учащихся потребность использования информационных технологий в решении задач математики;
ü развивать межпредметные связи;
ü развитие коммуникативных способностей учащихся.
Методы обучения: наглядный, исследовательский, практический.
Оборудование:
Программное обеспечение:
План урока:
3. объяснение нового материала:
ü использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах;
ü изучение метода половинного деления при решении уравнений;
ü моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления;
ü моделирование проекта “Приближенное решение уравнения” на языке программирования QBasic;
ü компьютерный эксперимент;
ü анализ полученных результатов.
Урок 1.
Ход урока
Приветствие учителя.
Слайд 1. Сегодня нам предстоит решить задачу нахождения приближенного корня уравнения cos(x)-x=0, используя различные программные средства. Запишите тему урока: “Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами”.
Слайд 2. Объектом нашего исследования будет уравнение, а решать его будем, используя приложение MS Excel и среду программирования QBasic.
Слайд 3. Для решения линейного и квадратного уравнения используются известные формулы вычисления корней. Программы их решений были нами рассмотрены, и были основаны на так называемых аналитических (точных) методах решения.
Не всегда, однако, для решения уравнения можно применить точный метод. Например, для уравнения cos(x)-x=0 уже не существует равносильных преобразований, приводящих к выражению переменной x. На практике часто встречаются такие уравнения. Иными словами, аналитический метод позволяет решать задачи с помощью формул, однако, большое количество уравнений не имеет для своих решений аналитических формул. Поэтому широко используются приближённые методы решения уравнений, позволяющие получать ответ с любой желаемой степенью точности. Особенно широкое применение эти методы получили в связи с применением компьютеров.
Слайд 4. Рассмотрим этот вопрос сначала в общем виде.
Пусть имеется уравнение с одной переменной f(x)=0, где f(x) – некоторая непрерывная функция. С геометрической точки зрения корень уравнения f(x)=0 – это точка пересечения графика функции f(x) с осью X. Корней может быть не один, а несколько, тогда на графике будет соответствующее количество точек пересечения. Графический метод позволяет приближённо, грубо найти значение искомой величины.
Слайд 5. Для решения таких уравнений пользуются так называемыми численными методами. Корни таких уравнений вычисляются приближённо, с заданной точностью (погрешностью) e. Это означает, что приближённым корнем уравнения в этом случае считается число, отличающееся от истинного значения корня на малую величину e.
Процесс вычисления корня состоит из двух операций:
1. отделения корней, т.е. нахождения как можно меньших промежутков [a;b], в каждом из которых содержится один и только один корень уравнения f(x)=0;
2. уточнения приближённых корней, т.е. доведения их до заданной степени точности e.
Слайды 6, 7, 8, 9. Метод деления пополам (метод дихотомии).
c
Для непрерывных
функций находится малый [a,b], на котором f(x) меняет знак. В
этом случае между точками a и b есть по крайней мере одна точка c, в которой f(x)=0.
В качестве нулевого приближения принимается середина отрезка (a;b), т.е. 
. Далее исследуют значение f(x) на концах
отрезков (a;c) и (c;b). Тот из отрезков, на концах которого функция принимает
значения разных знаков, содержит искомый корень. И этот отрезок принимают в качестве
нового отрезка. Процесс будем продолжать до тех пор, пока длина отрезка,
содержащего корень, не станет меньше заданной точности.
Слайд 10. Постановка задачи.
Дано: a, b
– интервал, на котором находится корень уравнения;
e – заданная степень точности.
Треб: c – корень уравнения.
Связь: |a-b|<e
При: a, b, e – определяются условиями задачи.
a b
Слайд 8. Пока вы не знаете никаких математических приемов решения этого уравнения, но знаете программу, в которой можно приближенно решить его графическим способом. Какая это программа? (MS Excel.)
Чтобы перейти к решению данной проблемы вначале немного «освежим» память, вспомним основные понятия, которые связаны с электронными таблицами и нам пригодятся в работе, и проведём небольшую устную разминку с помощью системы открытого голосования Verdict. Вы постараетесь ответить на 10 вопросов.
Система оценивания:
«5» - 9 – 10 заданий;
«4» - 7 – 8 заданий;
«3» - 6 – 5 заданий.
3. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах.
Ø В чем смысл метода? (Нужно построить график функции cos(x)-x=0 на некотором отрезке, абсцисса точки пересечения графика с осью OX является корнем уравнения cos(x)-x=0)
Ø Что нужно определить для построения графика? (Отрезок, на котором существует корень)
Ø Сделайте это математическим методом. (Множеством значений левой части уравнения, функции y = cos(x), является отрезок [-1; 1]. Поэтому уравнение может иметь корень только на этом отрезке)
Итак, найдите приближенный корень уравнения cos(x)=x на отрезке [-1; 1] с шагом, например, 0,1 в программе Microsoft Excel.
Приближенный корень уравнения х=0,75. Однако это приближение не обладает высокой точностью. Для нахождения приближенного корня уравнения с указанной заранее точностью используются математические методы, в частности, метод половинного деления.
4. Изучение метода половинного деления при решении уравнений.
Слайд 9. Рассмотрим непрерывную функцию f(х), такую, что корень данного уравнения является точкой пересечения графика этой функции с осью ОХ.
Идея метода половинного деления состоит в сведении первоначального отрезка (а; b), на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности е.
Процесс сводится к последовательному делению отрезка пополам точкой с=(а+b)/2 и отбрасыванию половины отрезка ([a; c] или [c; b]), на которой корня нет. Выбирается тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, т.е. произведение этих значений отрицательно. Функция на этом отрезке пересекает ось абсцисс. Концам этого отрезка вновь присваивают обозначения a, b.
Это деление продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности, т.е. пока не выполнится неравенство (b-a)/2<е. Деление такого отрезка пополам даст значение корня х=(а+b)/2 с заданной точностью.
Слайд 11. Составим блок-схему для приближенного решения уравнения методом половинного деления.
5. Моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления.
(Построение макета листа ведется совместно с учениками)
Слайды 12,13. Исходные значения границ отрезка a и b запишем в ячейки А5 и В5, в ячейке С5 получим середину заданного отрезка, в ячейках D5 и Е5 – значения функции f(х) на концах отрезка [a; c], в ячейке F5 будем определять длину отрезка [а; b], необходимую точность укажем в ячейке H5. В ячейку G5 запишем формулу нахождения корня по правилу: если длина текущего отрезка соответствует требуемой точности, то в качестве корня уравнения примем значение середины этого отрезка. Мы уже знаем, что корень в нашем случае не найдется за один шаг, поэтому, чтобы при копировании формулы из ячейки G5 адрес ячейки Н5 не менялся, используем абсолютную адресацию.
В пятой строке запишем значения, полученные после первого шага деления исходного отрезка пополам. В ячейки А6 и В6 нужно вписать формулы определения границ нового отрезка. В ячейки С6, D6, E6, F6, G6 формулы копируются из ячеек С5, D5, E5, F5, G5 соответственно.
В режиме формул лист электронной таблицы имеет следующий вид:
Далее нужно будет копировать формулы в очередную строку до тех пор, пока в столбце G не появится искомое значение корня.
Урок 2.
6. Моделирование решения уравнения методом половинного деления в среде программирования QBasic.
Слайд 14. Ещё раз обратимся к блок-схеме для приближенного решения уравнения методом половинного деления, составим программу для решения этой задачи.
Слайд 15. Прежде чем составлять программу, вспомним функции, которые может определить пользователь.
Имена функций, определяемых пользователем, должны состоять из трёх букв латинского алфавита и аргумента, заключённого в круглые скобки. Первые две буквы имени FN (от англ. слова function – функция), третья – может быть любой буквой латинского алфавита. Для описания функции, определяемой пользователем, служит оператор DEF (от англ. слова define – определять).
Слайд 16. Составим программу для решения уравнения cos(x)-x=0 методом половинного деления для Х=[-1;+1] с точностью до 0,1 (0,01; 0,001).
(Учащимся предлагается самостоятельно составить программу и исполнить её, результат записывают в тетрадь).
Варианты:
I
10 Rem решение уравнения методом половинного деления
20 DIM a, b , c, e as single
30 CLS
40 DEF FNF(X)=COS(X)-X
50 INPUT “Введите границы отрезка и заданную точность вычислений”;a, b, e
60 c=(a+b)/2
70 IF FNF(A)*FNF(C)<=0 THEN B=C ELSE A=C
80 IF ABS(a-b)<e THEN PRINT “Корень уравнения равен - ”a”+-”e:END
90 GOTO 60
II
Rem решение уравнения методом половинного деления
DIM a, b , c, e as single
CLS
DEF FNF(X)=COS(X)-X
INPUT “Введите границы отрезка и заданную точность вычислений”;a, b, e
WHILE ABS(A-B) >=E
C=(A+B)/2
IF FNF(A)*FNF(C)<=0 THEN
B=C
ELSE
A=C
END IF
WEND
PRINT “Корень уравнения =”(A+B)/2”+-”E
END
III
Rem решение уравнения методом половинного деления
DIM a, b, c, e as single
CLS
DEF FNF(X)=COS(X)-X
INPUT “Введите границы отрезка и заданную точность вычислений”;a, b, e
DO
C=(A+B)/2
IF FNF(A)*FNF(C)<=0 THEN B=C ELSE A=C
LOOP WHILE ABS(A-B)>E
PRINT “Корень уравнения =”(A+B)/2
END
7. Анализ полученных результатов.
(Учащиеся делают вывод, что результаты решения уравнения cos(x)=x, полученные с использованием разных инструментальных средств, одинаковые.)
8. Закрепление.
Слайд 17. Составить программу распечатки таблицы аргументов и значений функции Y(X)=X COSX SINX – 0,2 на интервале (-3;3) с шагом 1. Функцию Y(x) определить как функцию пользователя.
CLS
DIM X, Y AS SINGLE
DEF FNY(X)=X*COS(X)*SIN(X)-0.2
FOR X=-3 TO 3
PRINT “X=”X, “Y=“FNY(X)
NEXT X
Слайд 18. Результат:
|
X |
Y(x) |
Интервал, на котором Y(x) меняет знак |
|
-3 |
-0.619124 |
|
|
-2 |
-0.956803 |
|
|
-1 |
+0.254649 |
(-2; -1) |
|
0 |
-0.2 |
(-1; 0) |
|
1 |
+0.234649 |
(0; +1) |
|
2 |
-0.956803 |
(+1;+2) |
|
3 |
-0.619123 |
|
Внутри данных интервалов находятся корни уравнения x*cos(x)*sin(x)-0.2=0.
Слайд 19. Дополнить программу строками, реализующими алгоритм поиска приближённого значения корня данного уравнения методом половинного деления с точностью до 0,01. Результаты вычислений записать в таблицу.
CLS
DIM a, b, c, e as single
10 INPUT “Введите границы интервала”;A,B
INPUT “Введите требуемую точность”;E
DO
C=(A+B)/2
IF FNY(A)*FNY(C)<=0 THEN
B=C
ELSE
A=C
END IF
LOOP WHILE ABS(A-B)>E
PRINT “Корень уравнения =”(A+B)/2
GOTO 10
9. Домашнее задание.
Слайд 20 . Решите уравнения:
Источники информации:
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема урока: Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами.Тип урока: изучение и закрепление новых знаний.Вид занятия: практическая работа с использованием компьютера.Продолжительность занятия: 90 мин.Цель: научиться решать уравнения с заданной точностью на заданном отрезке.Задачи: развитие исследовательской, познавательной деятельности учащихся; развитие умений использовать различные программные средства при решении одной задачи;формировать у учащихся потребность использования информационных технологий в решении задач математики;развивать межпредметные связи;развитие коммуникативных способностей учащихся. Методы обучения: наглядный, исследовательский, практический.Оборудование: компьютер; локальная сеть; проектор;система открытого голосования Verdict.Программное обеспечение: операционная система Windows XP; приложение MS Excel из пакета Microsoft Office;система программирования QBasic.План урока: организационный момент;создание проблемной ситуации;объяснение нового материала: использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах; изучение метода половинного деления при решении уравнений; моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления; моделирование проекта “Приближенное решение уравнения” на языке программирования QBasic; компьютерный эксперимент; анализ полученных результатов.подведение итогов урока. Для решения линейного и квадратного уравнения используются известные формулы вычисления корней. Программы их решений были нами рассмотрены, и были основаны на так называемых аналитических (точных) методах решения. Не всегда, однако, для решения уравнения можно применить точный метод. Например, для уравнения cos(x)-x=0 уже не существует равносильных преобразований, приводящих к выражению переменной x. На практике часто встречаются такие уравнения. Иными словами, аналитический метод позволяет решать задачи с помощью формул, однако, большое количество уравнений не имеет для своих решений аналитических формул. Поэтому широко используются приближённые методы решения уравнений, позволяющие получать ответ с любой желаемой степенью точности. Особенно широкое применение эти методы получили в связи с применением компьютеров. Для решения таких уравнений пользуются так называемыми численными методами. Корни таких уравнений вычисляются приближённо, с заданной точностью (погрешностью) e. Это означает, что приближённым корнем уравнения в этом случае считается число, отличающееся от истинного значения корня на малую величину e. Процесс вычисления корня состоит из двух операций: 1. отделения корней, т.е. нахождения как можно меньших промежутков [a;b], в каждом из которых содержится один и только один корень уравнения f(x)=0; 2. уточнения приближённых корней, т.е. доведения их до заданной степени точности. Метод деления пополам (метод дихотомии). Для непрерывных функций находится малый [a,b], на котором f(x) меняет знак. В этом случае между точками a и b есть по крайней мере одна точка c, в которой f(x)=0. В качестве нулевого приближения принимается середина отрезка (a;b), т.е. . Далее исследуют значение f(x) на концах отрезков (a;c) и (c;b). Тот из отрезков, на концах которого функция принимает значения разных знаков, содержит искомый корень. И этот отрезок принимают в качестве нового отрезка. Процесс будем продолжать до тех пор, пока длина отрезка, содержащего корень, не станет меньше заданной точности.
6 656 258 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Веселицкая Ольга Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.