Возможности пакета geometry системы Maple для решения геометрических задач на
плоскости.
Задание 1. Определите окружность, проходящую через три заданные точки А(1,3);
В(4,0); С(4,6), найдите координаты центра, радиус этой окружности, а также
уравнение окружности, заданное в аналитическом виде. Получить детальное
описание окружности, а также её графическое изображение.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
·
Определяем оси координат с
помощью команды: _EnvHorizontalName := m: _EnvVerticalName
:= n:
·
Задаем окружность,
проходящую через три заданные точки с помощью команды: circle(c1,[point(A,1,3),
point(B,4,0), point(C,4,6)],'centername'=O1):
·
Находим координаты центра
этой окружности с помощью команды: center(c1), coordinates(center(c1));
·
Находим радиус окружности
с помощью команды radius(c1);
·
Получаем уравнение
окружности в аналитическом виде с помощью команды Equation(c1);
·
Получаем детальное
описание окружности, используя команду detail(c1);
·
Получаем графическое
изображение окружности с помощью команды draw(c1);
Ответ: центр
окружности имеет координаты (4,3); радиус окружности равен 3; уравнение в
аналитическом виде:
Задание 2. В каждом из следующих случаев определить взаимное расположение
прямых и .
1. : 3х-у-2=0; :
6х-2у-2=0;
2. : 2х+3у+1=0; : х=1+3t,
у=-2+2t.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Задаем (определяем)
прямые и с помощью команды line(l1,3*x-y-2=0,[x,y]):
line(l2,6*x-2*y-2=0,[x,y]):
- Проверяем условие
параллельности для прямых и с помощью команды AreParallel(l1,l2); Если результат: true,
то прямые параллельны, если false, то прямые не параллельны;
- В случае, когда
прямые не параллельны, проверяем условие перпендикулярности, используя
команду ArePerpendicular(l1,l2); Если результат: true, то прямые
перпендикулярны, если false, то прямые не перпендикулярны;
Ответ: 1. прямые
параллельны; 2. прямые пересекаются.
Задание 3. Даны уравнения двух сторон треугольника 2х-у=0, 5х-у=0
и уравнение 3х-у=0 одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны
треугольника, зная, что на ней лежит точка с координатами (3,9).
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Определяем прямые,
задающие стороны треугольника с помощью команды line(a,2*x-y=0,[x,y]):
line(b,5*x-y=0,[x,y]):
- Определяем прямую,
задающую медиану треугольника с помощью команды line(m,3*x-y=0,[x,y]):
- Задаем точку Т(3,9)
с помощью команды point(T,[3,9]):
- Строим изображение
определенных выше прямых и точки с помощью команды draw([T,a,b,m(color=blue)]);
- По графику видно,
что медиана опущена из точки пересечения заданных сторон треугольника
(вершина А). Определим координаты вершин В(х1,у1), принадлежащей прямой а,
и вершины С(х2,у2), принадлежащей прямой b. Точка Т(3,9)
принадлежит прямой m (медиане), и точка Т принадлежит третьей
стороне треугольника с, следовательно, Т – середина ВС.
- С помощью команды solve({x1+x2=2*3,y1+y2=2*9,2*x1-y1=0,5*x2-y2=0},{x1,x2,y1,y2});
определяем х1, х2, у1,
у2.
- Задаем уравнение третьей стороны по двум точкам: line(l3,[point(B,4,8),point(C,2,10)]):
- Получаем уравнение
в аналитическом виде с помощью команды Equation(l3,[x,y]);
Ответ: х+у-12=0.
Задание 4. Дана прямая x-2y+1=0, содержащая основание ВС треугольника
АВС, и вершина А(3,-4), противолежащая этому основанию. Найти уравнение и длину
высоты, опущенной из А на сторону ВС.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Задаем точку
А(3,-4) и прямую, содержащую основание ВС треугольника АВС с помощью
соответствующих команд point(A,3,-4): line(bc,x-2*y+1=0,[x,y]):
- Вектор (1,-2) – нормальный вектор для (ВС), вектор (2,1)
– направляющий для высоты (АН) и А(АН):
line(AH,2*(x-3)+(y+4)=0,[x,y]):
- Находим уравнение в
аналитическом виде АН: Equation(AH,[x,y]);
- Находим координаты
точки пересечения высоты с основанием (ВС), используя команду intersection(H,AH,bc):
coordinates(H);
- Затем расстояние от
точки А до точки Н: distance(A,H);
Ответ: уравнение
высоты 2х-2+у=0, длина высоты .
Задание 5. Дано уравнение стороны ромба :
х+3у-8=0 и уравнение его диагонали : 2х+у+4=0. Написать
уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка К(-9,-1) лежит на стороне,
параллельной данной.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Определяем оси
координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
- Задаем уравнения
стороны и диагонали ромба с помощью соответствующих команд: line(l1,x+3*y-8=0):
line(d1,2*x+y+4=0):
- Определяем точку
К(-9,-1) командой point(K,-9,-1):
- Пусть - сторона ромба, параллельная
данной , тогда К
- Составляем
уравнение прямой с помощью
команды line(l2,(x+9)+3*(y+1)=0):
- Находим вершину
ромба А, как точку пересечения диагонали и
стороны . Для этого используем
команду intersection(A,l1,d1):
- Координаты точки А
можно узнать и с помощью следующей команды: detail(A);
- Находим вершину
ромба С, как точку пересечения диагонали и
стороны с помощью команды intersection(C,l2,d1):
- Находим точку
пересечения диагоналей, как середину отрезка АС: midpoint(O,A,C):
- detail(O);
- так как вторая
диагональ и ,
то можно составить уравнение прямой с
помощью команды line(d2,-1*(x+2)+2*(y+0)=0):
- Находим вершину
ромба, как точку пересечения диагонали и
стороны , intersection(B,l1,d2):
- получаем уравнение
стороны : line(l3,[B,C]):
- Находим вершину ромба D,
как точку пересечения диагонали и стороны :
intersection(D,l2,d2):
- Получаем уравнение
стороны : line(l4,[D,A]): Equation(l4);
- Получаем уравнения прямых и
в аналитическом виде: Equation(l3);
- Equation(l2);
Ответ: х+12+3у=0;
-8+6х-2у=0; -32-6х+2у=0.
Задание 6. Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми : х+у-1=0, :
х+2у-1=0, : 2х-5у+2=0.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Определяем заданные прямые с помощью команд
- line(l1,x-1+y=0,[x,y]):
- line(l2,x-1+2*y=0,[x,y]):
- line(l3,2*x-5*y+2=0,[x,y]):
- Определяем угол
между прямыми и командой
FindAngle(l1,l2);
- Определяем угол
между прямыми и командой
FindAngle(l3,l1);
- Определяем угол
между прямыми и командой
FindAngle(l3,l2);
Ответ: .
Задание 7. На прямой : 2х-3у+6=0 найти точки,
находящиеся на расстоянии 2/5 от прямой :
3х-4у+11=0.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Искомая точка
Р(х1,у1).
Определяем эту точку с помощью команды point(P,x1,y1):
- Определяем оси
координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
- Задаем одну из
прямых с помощью команды: line(l1,3*x-4*y+11=0):
- Находим расстояние
между этой прямой и точкой Р: d:=distance(P,l1);
- Находим координаты
точек на второй прямой, удовлетворяющих заданным условиям: solve({2*x1-3*y1+6=0,d=2/5},{x1,y1});
Ответ: .
Задание 8. Пусть прямая задана уравнением x=2,
и даны две окружности, также заданные соответствующими уравнениями: . Выяснить к какой окружности прямая линия
является касательной.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Определяем оси
координат с помощью команды: _EnvHorizontalName:=x: _EnvVerticalName:=y:
- Задаем окружности с1 и с2 с помощью команды: circle(c1,(x+1)^2 + (y-2)^2 =4),
circle(c2,x^2 + y^2 =4):
- Прямую задаем с
помощью команды: line(l, x =2):
- Проверяем является
ли прямая касательной к окружности с2: AreTangent(l, c2);
- Проверяем является
ли прямая касательной к окружности с1: AreTangent(l, c1);
Ответ:
Задание 9. Пусть вершины треугольника заданны своими координатами
А(7,7); В(11,2); С(7,2). Проверить, является ли треугольник равносторонним или
прямоугольным. В случае если треугольник прямоугольный, найти его площадь.
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Задаем треугольник
координатами его вершин с помощью команды: triangle(ABC, [point(A,7,7),
point(B,11,2), point(C,7,2)]);
- Проверяем условие,
является ли треугольник равносторонним с помощью команды: IsEquilateral(ABC);
- Проверяем условие,
является ли треугольник прямоугольным с помощью команды: IsRightTriangle(ABC);
- Находим площадь
треугольника: area(ABC);
Ответ: треугольник
прямоугольный, площадь треугольника равна 10.
Задание 10. Вычислить и изобразить графически вписанную и описанную окружности
треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: А(0,0); В(5,1); С(3,6).
Последовательность выполнения задания:
·
Подключаем пакет geometry
с помощью команды: with(geometry):
- Задаем треугольник
координатами своих вершин: triangle(T, [point(A,0,0), point(B,5,1),
point(C,3,6)]):
- Вычисляем описанную
окружность и получаем ее детальное описание:
Ø
circumcircle(Elc,
T, 'centername' = OO);
Ø
detail(Elc);
- Получаем
графическое изображение окружности, описанной около треугольника: draw({Elc,T},printtext=true);
·
Вычисляем вписанную
окружность и получаем ее детальное описание:
> incircle(inc,T,'centername'=o);
> detail(inc);
Получаем графическое
изображение окружности, вписанной в треугольник: draw({inc,T},printtext=true);
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.