I Ашинский районный конкурс
реферативно-исследовательских работ
для учащихся 5-8 классов
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
(Математика. Информатика.)
Автор: Бобылькова
Ксения,
8А кл, МОУ СОШ№2, г. Сим
Научный руководитель:
Козлова Юлия Евгеньевна,
учитель математики
первой категории
Аша 2011
Содержание
Введение
стр. 3
Различные способы решения квадратных
уравнений:
1) Разложение левой части уравнения на множители
стр. 4
2) Метод выделения полного квадрата
стр. 4
3) Решение квадратных уравнений по формуле
стр. 4
4)Решение уравнений с использованием теоремы
Виета стр. 5
5) Решение уравнений способом переброски
стр. 6 6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения
стр. 7
7) Графическое решение квадратного уравнения
стр. 8
8) Решение квадратных уравнений с помощью
номограммы стр. 10
Заключение стр.
11
Литература
стр. 12
В этом учебном
году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Сначала я
узнала, что некоторые квадратные уравнения можно решить способом разложения
левой части на множители, потом оказалось, что выделение полного квадрата
двучлена тоже поможет решить квадратное уравнение. Затем я научилась решать
любое квадратное уравнение с помощью специальных формул. И здесь я задумалась:
наверняка, существуют еще и другие способы решения квадратных уравнений. И я
поставила перед собой цель: повысить уровень знаний в области решения квадратных
уравнений. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:
·
найти и
изучить различные способы решения квадратных уравнений;
·
научиться
выбирать рациональный способ;
·
научиться
самостоятельно приобретать и применять знания, использовать различные источники
информации и современные информационные технологии.
Актуальность этой
темы для меня состоит в том, что квадратные уравнения - это фундамент, на
котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят
широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и
в области физики и химии. Овладев многими способами решения квадратного
уравнения, я научусь выбирать наиболее рациональный метод для каждого уравнения
и не буду тратить лишнее время, например, на экзамене в 9 классе, на ЕГЭ, в
различных других жизненных ситуациях.
Гипотеза: при изучении различных способов решения квадратного уравнения
смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по
формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.
В своей работе способы буду излагать
в той последовательности, в которой я с ними знакомилась.
1. Разложение левой части
уравнения на множители.
Решим уравнение
х2
+ 10х - 24 = 0.
Разложим левую
часть на множители:
х2
+ 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х
- 2).
Следовательно,
уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х -
2) = 0
Так как
произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен
нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также
при х = - 12. Это означает, что числа 2 и - 12 являются
корнями уравнения
х2
+ 10х - 24 = 0.
2. Метод выделения полного
квадрата.
Решим уравнение х2
+ 6х - 7 = 0.
Выделим в левой
части полный квадрат.
Для этого запишем
выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2
+ 6х = х2 + 2• х • 3.
В полученном
выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение
х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32,
так как
х2 + 2•
х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Преобразуем
теперь левую часть уравнения
х2
+ 6х - 7 = 0,
прибавляя к ней и
вычитая 32. Имеем:
х2
+ 6х - 7 = х2
+ 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7
= (х + 3)2 - 16.
Таким образом,
данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2
- 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х
+ 3 - 4 =, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.
3. Решение квадратных уравнений
по формуле.
Умножим обе части
уравнения
ах2 +
bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а и
последовательно имеем:
4а2х2
+ 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2
+ 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2
= b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2
- 4ac,
2ax = - b ± √ b2
- 4ac,
(1)
Если второй
коэффициент в = 2k – четное число, то формулу корней можно
записать
4.Решение уравнений с
использованием теоремы Виета.
А. Как известно, приведенное квадратное уравнение
имеет вид
х2 + px + q = 0. (1)
Его корни
удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать
следующие выводы (по коэффициентам p и qможно
предсказать знаки корней).
а) Если свободный
член qприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то
уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго
коэффициента p.
Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.
Например,
х2 – 3х +
2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q
= 2 > 0 и p =
– 3 <0;
х2 +8х + 7
= 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q
= 7 > 0 и p =
8 >0.
б) Если свободный
член qприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то
уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень
будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.
Например,
х2 + 4х –
5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q
= – 5<0 и p =
4 > 0;
х2 – 8х
– 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q
= – 9<0 и p =
– 8 >0.
Б. Теорема Виета для квадратного
уравнения ах2 +вх +с = 0
имеет вид
Справедлива теорема,
обратная теореме Виета:
Если числа х1
и х2 таковы, что х1+х2 = -р, х1х2
= q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения
х2 +рх + q = 0.
Эта теорема позволяет
в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы
корней.
Примеры
1. Решить уравнение
х2 – 9х + 14 =0
Попробуем найти
два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = 9
х1х2 = 14
Такими числами
являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями
заданного квадратного уравнения.
2. Решить
уравнение
х2 +3х – 28 = 0
Попробуем найти
два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = - 3
х1х2 = - 28
Нетрудно заметить,
что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.
5.
Решение
уравнений способом «переброски».
Рассмотрим
квадратное уравнение
ах2 +
bх + с = 0, где а ≠ 0.
Умножая обе его
части на а, получаем уравнение
а2х2
+ аbх + ас = 0.
Пусть ах = у,
откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению
у2
+ by + ас = 0,
равносильно
данному. Его корни у1 и у2
найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно
получаем
х1
= у1/а и х2 = у2/а.
При этом способе
коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к
нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют,
когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое
важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Пример.
Решим уравнение 2х2
– 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к
свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30
= 0.
Согласно теореме
Виета
у1 = 5 х1
= 5/2 x1 = 2,5
у2
= 6 x2 = 6/2 x2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
6.
Свойства
коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение
1. Если а + в +
с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
Доказательство:
Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное
уравнение
Согласно теореме
Виета
По условию а + в
+ с = 0, откуда в = - а – с. Значит,
Получаем что и требовалось доказать.
2. Если а – в + с
= 0, или в = а + с, то
Доказательство: По теореме
Виета
По условию а – в +
с = 0, откуда в = а + с. Таким образом,
т.е. что и требовалось доказать.
3. Если в уравнении
Доказательство:
Действительно, приведем это уравнение к приведенному
Запишем
уравнение в виде
Уравнение,
записанное в таком виде, позволяет сразу получить корни
4. Если а = - с =
m·n, в = m2 – n2 , то корни имеют разные знаки, а именно:
Знаки перед
дробями определяются знаком второго коэффициента.
Часто эти свойства
используются, если коэффициентами являются большие числа.
Примеры:
1. 2008х2 -
2009х+1=0
Решение: т. к. а +
в + с = 0 (2008 – 2009 +15 =0), то Ответ: 1; .
2.
Решение: так как 7
– 5 – 2 = 0, то Ответ:
3. 132х2+247х+115=0
Решение: т. к. а –
в + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то Ответ:
4.
Решение: так как 5
– (-2) + 7 = 0, то Ответ:
5.
Решение: здесь 6 =
3·2, 13 = 32 + 22. Корни этого уравнения
Ответ:
-
6.
Решение: здесь 6 =
3·2, но 5 = 32 – 22 и Ответ:
7.Графическое решение квадратного уравнения.
Если в
уравнении перенести второй и третий члены в правую
часть, то получим
Построим графики
зависимостей и
График первой
зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй
зависимости – прямая (рис.1).
Возможны
следующие случаи:
- прямая и парабола
могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями
квадратного уравнения;
- прямая и парабола
могут касаться (только одна общая точка ), т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола
не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
|
|
Примеры:
1.Решить графически
уравнение
Решение: см.
рис.2.
Запишем уравнение в
виде
Построим параболу и прямую Прямую
можно построить по двум точкам М(0;4) и
N(3;13). Прямая и парабола
пересекаются в двух
точках А и В
с абсциссами х1
= - 1 и х2 = 4.
Ответ:
-1; 4.
|
|
2. Решить
графически уравнение
Решение: см.
рис. 3. Запишем уравнение в виде
Построим параболу и прямую Прямую
построим по двум точкам М(0;-1) и N.
Прямая и парабола
пересекаются в точке А с абсциссой х =1. Ответ: 1.
3.Решить графически
уравнение Решение: см. рис. 4.
Запишем уравнение в
виде
Построим параболу и прямую.
Прямую построим по двум точкам М(0;-5)и N(2,5;0).
Прямая и парабола не имеют общих точек пересечения,
т.е. данное
уравнение не имеет корней Ответ: нет решений.
|
|
8. Решение квадратных уравнений
с помощью номограммы
Это старый и
незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83
(см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение,
1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая
квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Рис.5
|
Криволинейная шкала номограммы
построена по формулам (рис.5):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия
треугольников САН и CDF получим пропорцию
|
откуда после подстановок и
упрощений вытекает уравнение z2 + pz
+ q = 0, причем буква z означает метку любой точки
криволинейной шкалы.
Примеры.
1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0
|
2) Решим с помощью номограммы
уравнение
2z2 - 9z + 2 = 0.
Разделим
коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 - 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает
корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3) Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством
номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда
z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0
|
Изучая
дополнительную литературу, я узнала, что можно решить квадратное уравнение еще
и с помощью циркуля и линейки, а также геометрическим способом. Но в своей
работе я их не осветила, т. к. они не приводят к более рациональному решению.
Я изучила десять способов решения квадратных уравнений: от всеми известного с
помощью вычисления дискриминанта и корней по формулам до очень интересного с
помощью номограммы. Я пришла к выводу, что приступая к решению любого
квадратного уравнения, не следует спешить прибегать к традиционному способу
решения. Используя теорему Виета и свойства коэффициентов, можно гораздо
быстрее найти корни уравнения и не тратить лишнее время. Я очень рада, что их
изучила и буду использовать. Гипотеза, поставленная в начале работы,
подтвердилась.
В то время, когда
я углублялась в эту тему, я провела исследование: узнала, сколько
старшеклассников нашей школы используют те или иные способы решения квадратных
уравнений (результаты см. в приложении 1).
Кроме того, меня
посетила идея: воспользоваться электронной таблицей EXCEL. Я сумела привлечь информационные
технологии для решения квадратных уравнений. Достаточно только ввести
коэффициенты и программа выдает корни уравнения.
На этом моя
работа не закончится, я продолжу искать другие способы решения квадратных
уравнений. А далее меня ждут еще уравнения с модулем и уравнения с параметрами.
Я думаю, погружаясь в различные способы решения этих уравнений, я найду для
себя тоже много нового и познавательного. Но это уже темы других работ.
Литература:
1. Брадис В.М. Четырехзначные математические
таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990.
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные
материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.
3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.:
просвещение, 1982.
4. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный
курс алгебры и начал анализа. «Просвещение» 1990 .
5. М., Математика (приложение к газете «Первое
сентября»), №№ 21/1996, 10/1997, 24/1997, 40/2000.
6. Окунев А.К. Квадратичные функции,
уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.
7. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник
вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.
8. Энциклопедический словарь юного
математика. - М., Педагогика, 1985.
Приложение.
Проанализировав исследования, я сделала вывод, что из
120 учащихся 9-11 классов 100% используют формулы для решения квадратных
уравнений, от 38% до 73% учащихся используют другие способы, изучаемые в
школьном курсе алгебры, а свойства коэффициентов и способ «переброски», которые
могут ускорить решение уравнения используют всего 9% и 1% учащихся соответственно.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.