Различные способы решения квадратных уравнений

I Ашинский районный конкурс реферативно-исследовательских работ

для учащихся 5-8 классов

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

 КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

(Математика. Информатика.)

                                               Автор: Бобылькова Ксения,

  8А кл, МОУ СОШ№2, г. Сим

Научный руководитель:

Козлова Юлия Евгеньевна,

учитель математики

первой категории

Аша 2011
Содержание

Введение                                                                                                 стр. 3          

Различные способы решения квадратных уравнений:

1) Разложение левой части уравнения на множители                                  стр. 4

2) Метод выделения полного квадрата                                                          стр. 4

3) Решение квадратных уравнений по формуле                                           стр. 4

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета                            стр. 5

5) Решение уравнений способом переброски                                               стр. 6 6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения                                   стр. 7

7) Графическое решение квадратного уравнения                                        стр. 8

8)  Решение квадратных уравнений с помощью  номограммы                   стр. 10

      Заключение                                                                                                 стр. 11

      Литература                                                                                                  стр. 12

В этом учебном году на уроках алгебры мы  познакомилась с квадратными уравнениями. Сначала я узнала, что некоторые квадратные уравнения можно решить способом разложения левой части на множители, потом оказалось, что выделение полного квадрата двучлена тоже поможет решить квадратное уравнение. Затем я научилась решать любое квадратное уравнение с помощью специальных формул. И здесь я задумалась: наверняка, существуют еще и другие способы решения квадратных уравнений. И я поставила перед собой цель: повысить уровень знаний в области решения квадратных уравнений. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

·                  найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений;

·                  научиться выбирать рациональный способ;

·                  научиться самостоятельно приобретать и применять знания, использовать различные источники информации и современные информационные технологии.

Актуальность этой темы для меня состоит в том, что квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области  физики и химии. Овладев многими способами решения квадратного уравнения, я научусь выбирать наиболее рациональный метод для каждого уравнения и не буду тратить лишнее время, например, на экзамене в 9 классе, на ЕГЭ, в различных других жизненных ситуациях.

   Гипотеза: при изучении различных способов решения квадратного уравнения смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.

В своей работе способы буду излагать в той последовательности, в которой я с ними знакомилась.

1. Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х² + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что числа 2 и - 12 являются корнями уравнения

 х² + 10х - 24 = 0.         

2. Метод выделения полного квадрата.

        Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде:

х² + 6х = х² + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

х² + 2• х • 3 + 3² = (х + 3)².

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х² + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х² + 6х - 7 = х² + 2• х • 3 + 3² - 3² - 7 = (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² - 16 =0, (х + 3)² = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 =, х₁ = 1, или  х + 3 = -4, х₂ = -7.

                  3. Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)² + 2ах • b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,

2ax = - b ± √ b² - 4ac,

   (1)

Если второй коэффициент  в = 2k – четное число, то формулу корней можно записать   

4.Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

А. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

                                              х² + px + q = 0.                               (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при  а = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qможно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член  qприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.

Например,

х² – 3х + 2 = 0;  х₁ = 2  и  х₂ = 1, так как  q = 2 > 0  и   p =  – 3 <0;

х² +8х + 7 = 0;  х₁ =  –  7   и  х₂ =  – 1, так как  q = 7 > 0 и  p = 8 >0.

б) Если свободный член  qприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х² + 4х – 5 = 0;  х₁ =  –  5   и  х₂ = 1, так как  q = –  5<0 и  p = 4 > 0;

х²  –   8х – 9 = 0;  х₁ = 9   и  х₂ =  –  1, так как  q = –  9<0 и  p = –  8 >0.

Б.   Теорема Виета для квадратного уравнения    ах² +вх +с = 0

  имеет вид

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р,  х₁х₂ = q, то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения 

                                   х² +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

  Примеры

       1. Решить уравнение

                         х² – 9х + 14 =0

     Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

                                       х₁ +х₂ = 9

                                       х₁х₂ = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

   2. Решить уравнение

                             х² +3х – 28 = 0

     Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

                                       х₁ +х₂ = - 3

                                       х₁х₂ =  - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х₁ = у₁/а и х₂ = у₂/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение    у² – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5       х₁ = 5/2       x₁ = 2,5

 у₂ = 6    x₂ = 6/2         x₂ = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

   Пусть дано квадратное уравнение    

   1. Если а + в + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то

      Доказательство: Разделим обе части уравнения на  а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение   

Согласно теореме Виета 

По условию  а + в + с = 0, откуда  в = - а – с. Значит,

Получаем  что и требовалось доказать.

2. Если  а – в + с = 0, или в = а + с, то 

      Доказательство: По теореме Виета 

По условию а – в + с = 0, откуда  в = а + с. Таким образом,

т.е.  что и требовалось доказать.

3. Если в уравнении   

      Доказательство: Действительно, приведем это уравнение к приведенному                                     

      Запишем уравнение в виде 

      Уравнение, записанное в таком виде, позволяет сразу получить  корни

4. Если  а = - с = m·n,  в = m² – n² , то корни имеют разные знаки, а именно:  

   Знаки перед дробями определяются знаком второго коэффициента.

Часто эти свойства используются, если коэффициентами являются большие числа.

Примеры:

1. 2008х²  - 2009х+1=0

  Решение: т. к. а + в + с = 0 (2008 – 2009 +15 =0), то       Ответ: 1; .

2.

  Решение: так как 7 – 5 – 2 = 0, то                                Ответ:

3. 132х²+247х+115=0

  Решение: т. к.  а – в + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то   Ответ:

4.

  Решение: так как 5 – (-2) + 7 = 0, то                           Ответ:

5.

  Решение: здесь  6 = 3·2, 13 = 3² + 2². Корни этого уравнения 

                                 Ответ: -

6.

  Решение: здесь  6 = 3·2, но 5 = 3² – 2²  и      Ответ:   

7.Графическое решение квадратного уравнения.

             Если в уравнении  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим 

    Построим графики зависимостей   и 

    График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая (рис.1).

    Возможны следующие случаи:                 

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка ), т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

y=-рх-q                                                    у=х2

    Примеры:         

1.Решить графически уравнение        Решение: см. рис.2. Запишем уравнение в виде  Построим параболу   и прямую  Прямую    можно построить по двум точкам М(0;4) и N(3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В  с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4.             Ответ: -1; 4.

2. Решить графически уравнение          Решение: см. рис. 3.  Запишем уравнение в виде  Построим параболу   и прямую  Прямую построим по двум точкам  М(0;-1) и N. Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой  х =1.     Ответ: 1. 3.Решить графически уравнение   Решение: см. рис. 4. Запишем уравнение в виде    Построим параболу  и прямую. Прямую  построим по двум точкам М(0;-5)и N(2,5;0). Прямая и парабола не имеют общих точек пересечения, т.е. данное уравнение не имеет корней Ответ: нет решений.

8. Решение квадратных уравнений с помощью  номограммы

 Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

 Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

       откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z² - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни  z₁ = 8,0 и z₂ = 1,0

Изучая дополнительную литературу, я узнала, что можно решить квадратное уравнение еще и с помощью циркуля и линейки, а также  геометрическим способом.  Но в своей работе я их не осветила, т. к. они не приводят к более рациональному  решению. Я изучила десять способов решения квадратных уравнений: от всеми известного с помощью вычисления дискриминанта и корней по формулам до очень интересного с помощью номограммы. Я пришла к выводу, что приступая к решению любого квадратного уравнения, не следует спешить прибегать к традиционному   способу решения. Используя теорему Виета и свойства коэффициентов, можно гораздо быстрее найти корни уравнения и не тратить лишнее время. Я очень рада, что их изучила и буду использовать. Гипотеза, поставленная в начале работы, подтвердилась.

В то время,  когда я углублялась в эту тему, я провела исследование: узнала, сколько старшеклассников нашей школы используют те или иные способы решения квадратных уравнений (результаты см. в приложении 1).

Кроме того, меня посетила идея: воспользоваться электронной таблицей EXCEL. Я сумела привлечь информационные  технологии для решения квадратных уравнений. Достаточно только ввести коэффициенты и программа выдает корни уравнения.

 На этом моя работа не закончится, я продолжу искать другие способы решения квадратных уравнений. А далее меня ждут еще уравнения с модулем и уравнения с параметрами. Я думаю, погружаясь в различные способы решения этих уравнений, я найду для себя тоже много нового и познавательного. Но это уже темы других работ.

Литература:

1.  Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990.

2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982.

4. Крамор В. С.  Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.  «Просвещение»  1990 .

 5. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/1996, 10/1997, 24/1997, 40/2000.

6. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

7. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

8. Энциклопедический словарь юного математика. - М., Педагогика, 1985.

Приложение.

Проанализировав исследования, я сделала вывод, что из 120 учащихся 9-11 классов 100% используют формулы для решения квадратных уравнений, от 38% до 73% учащихся используют другие способы, изучаемые в школьном курсе алгебры, а свойства коэффициентов и способ «переброски», которые могут  ускорить решение уравнения используют всего 9% и 1% учащихся соответственно.