Работа на научной конференции учащихся по теме: "Исследование геометрических задач на вычисление" (11 класс)

Содержание:

стр.

Введение                                                                                                        2

ГЛАВА 1. Принципы, помогающие установить требования к решению геометрических задач на вычисление                                                                   3

ГЛАВА 2. Некоторые виды геометрических задач на вычисление         5

ГЛАВА 3. Приемы определения множества допустимых значений параметров                                                                                                              12

ГЛАВА 4. Исследование геометрических задач в три этапа                  25

Заключение                                                                                                 32

Список используемой литературы                                                        34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Многие вопросы о способах решения геометрических задач на вычисление еще не получили своего окончательного решения. К их числу относится вопрос о требованиях к решению геометрических задач на вычисление. Поэтому я поставила перед собой цель: установить требования к решению геометрических задач на вычисление. Для достижения поставленной мною цели необходимо выявить общие принципы и положения, на основе которых я должна объективно выработать эти требования. Это и есть моя задача.

При решении геометрических задач на вычисление мы, как правило, не производим исследование существования фигуры, заданной в условии задачи. Мне показалось интересным узнать, возможно, ли решить такого рода задачу без ее предварительного исследования. К тому же, в ходе этого анализа можно понять необходимость его проведения и получить соответствующие навыки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. Принципы, помогающие установить требования к решению геометрических задач на вычисление

 

Любое решение геометрических задач на вычисление должно придерживаться общих требований, которые были сформулированы В.М.Брадисом еще в 1946 году в следующем виде: решение должно быть: 1) безошибочным, 2) обоснованным, 3) исчерпывающим, 4) по возможности простым, 5)запись решения должна быть надлежащим образом оформлена.

А при установлении конкретных требований к решению того или иного вида математических задач на основании этого общего положения следует руководствоваться следующими принципами:

1.Принцип объективности.

Все конкретные требования, предъявляемые к решению того или иного вида задач, должны вытекать из указанных общих требований, и никакое требование, непосредственно из них вытекающее, не может быть предъявлено в качестве обязательного (т.е. такого, невыполнение которого влечет за собой снижение оценки за решение задачи).

2.Принцип доступности.

Всякое конкретное требование, предъявляемое к решению задач данного вида, должно быть доступным для понимания.

3.Принцип методической целесообразности.

Если к решению задач данного вида на основании предыдущих двух принципов могут быть предъявлены два равносильные требования или же выполнение одного какого-либо требования может быть осуществлено двумя различными способами, то из этих двух возможностей выбирается то требование или тот способ, который методически более целесообразен.

Если примем эти три принципа, то при их помощи можно установить объективные обязательные требования к решению геометрических задач на вычисление и об определении сущности их решения.

В каждой задаче на вычисление указан вид некоторой геометрической фигуры (например, призма, шар, пирамида и т.д.) и даны численные величины некоторых ее элементов.

Рассмотрим, например, следующую задачу:

Задача 1. В равнобедренной трапеции определить длину диагоналей, если основания равны 4м и 6м, а боковая сторона равно 5м.

В этой задаче, во-первых, указано название геометрической фигуры (равнобедренная трапеция), а во-вторых, указаны размеры некоторых определенных элементов этой фигуры (основания 4м и 6м и боковая сторона 5м).

В некоторых других задачах дана не одна геометрическая фигура, а совокупность нескольких фигур, но тогда указано или их соотношение (например, что они подобны), или их взаимное положение (например, что одна из них вписана в другую).

Геометрическая задача на вычисление – это требование найти размер (числовую характеристику) одного или нескольких элементов указанной в условии задачи фигуры (например, длину отрезка, величину угла, площадь, поверхность или объем тела и т.п.) по численным значениям ее элементов, заданных в условии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 2. Некоторые виды геометрических задач на вычисление

 

Рассматривая геометрические задачи на вычисление, я установила, что виды этих задач чрезвычайно многочисленны, но остановимся лишь на некоторых из них.

По способу указания в условии размеров известных элементов фигуры, геометрические задачи можно классифицировать следующим образом:

1) Числовые задачи – в которых размеры известных элементов это определенные, конкретные числа.

2) Задачи с параметрами – в которых размеры известных элементов выражены при помощи букв-параметров.

3) Комбинированные задачи, являющиеся задачами с параметрами, в которых дополнительно требуется вычислить значение искомого элемента при определенных значениях параметров.

Числовые задачи, в зависимости от того, сколько фигур определяют заданные известные элементы, можно разделить на четыре вида:

1. Заданные известные элементы определяют единственную фигуру.

Пример задачи:

Задача 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см; угол при вершине равен 120^о. Найти площадь треугольника.

Известные элементы (боковая сторона и угол при вершине) определяют единственные равнобедренный треугольник (конечно, с точностью положения на плоскости).

2. Заданные известные элементы определяют несколько (конечное множество) фигур.

Пример задачи:

Задача 3. В окружность радиуса 8 см вписан равнобедренный треугольник АВС. Радиус ОА образует с основанием АВ треугольник АВС угол 30^о. Найти боковую сторону треугольника.

Известные элементы (радиус окружности и угол, образуемый радиусом ОА с основанием АВ вписанного равнобедренного треугольника), заданные в условии этой задачи, определяют две сложные фигуры: окружность центра О радиуса 8 см с вписанным в нее остроугольным равнобедренным треугольником АВС и та же окружность с вписанным в нее тупоугольным равнобедренным треугольником АВС (рис. 1).

Заметим, что если задачи первого вида имеют одно решение, то задачи второго вида могут иметь или одно, или несколько решений.

3. Заданные элементы определяют бесконечное множество (семейство) фигур.

Пример задачи:

Задача 4. Периметр параллелограмма равен 48 см, а его высоты относятся друг к другу, как 5:7. Определить соответствующие им стороны.

Заданные в условии задачи элементы параллелограмма (периметр и отношение высот) определяют бесконечное множество (семейство) параллелограммов, у которых стороны равны 14 см и 10 см, а угол между ними изменяется от 0^о до 180^о.

В этой задаче искомые элементы у всех фигур заданного семейства имеют одни и те же размеры (14 и 10 см). Может случиться, что искомые элементы заданного множества фигур имеют несколько различных размеров. Это является следствием того, что заданное множество фигур представляет собой не одно семейство, а несколько, и у каждого искомые элементы имеют одни и те же размеры.

Наконец, заданные элементы могут определять такое бесконечное множество фигур, у которых размеры искомых элементов все различны. В последнем случае мы имеем неопределенную задачу.

4. Заданные элементы не определяют никакой геометрической фигуры.

Пример задачи:

Задача 5. В прямоугольном равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности равен 8 см, а периметр треугольника равен 64 см. Определить гипотенузу.

В задачнике приведен такой пример: АВ=24 см. Между тем нетрудно заметить, что указанный в условии равнобедренный прямоугольный треугольник не существует. В самом деле, известно, что равнобедренный прямоугольный треугольник определяется одним элементом, например, периметром, а в условии задачи, кроме периметра, дан еще и радиус вписанной окружности. Следовательно, задача 5 содержит противоречивые данные.

Таким образом, заданные в условии задачи 5 элементы не определяют никакой геометрической фигуры.

Рассмотрим другую задачу.

Задача 6. Периметр параллелограмма равен 24 см, а его высоты равны 6,4 см и 9,6 см. Найти стороны параллелограмма (рис. 2).

Решая эту задачу, можно получить такой ответ: АD=4,8 см и DC=7,2 см.

Нелепость этого ответа становится очевидной, если сравнить его  с условиями задачи, ибо получается, что, например, в прямоугольном треугольнике ADE гипотенуза AD=4,8 см меньше катета DE=6,4 см.

Причина получившийся нелепости, как и в предыдущей задаче, состоит в том, что не существует заданного в условии задачи параллелограмма. Но, в отличие от предыдущей задачи, здесь нет лишних данных, так как параллелограмм определяется тремя элементами и столько же элементов дано в условии задачи.

Здесь мы встречаемся со случаем, когда размеры данных элементов взяты не из множества допустимых для них значений. В этом случае, введя параметры, я получила соотношение между высотами и сторонами параллелограмма. Пусть периметр параллелограмма со сторонами a и b равен p, а высоты его h₁  и h₂. Тогда очевидно, что h₁ < a и h₂ < b. Значит , что h₁+h₂<a+b=0,5p или 2(6,4+9,6)<p. (1)

В условии задачи соотношение (1) не выполнено, так как 2(6,4+9,6)>24.

Задача 7. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 16 см, гипотенуза равна 10 см. Найти произведение синусов острых углов треугольника.

В данной задаче сразу не видно, что размеры заданных элементов взяты не из множества допустимых для них значений.

Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза, α – один из острых углов и m – сумма катетов (рис. 3).

sin α= ; а=с × sin α   и    cos α= ;  b=c×cos α

Тогда m=a+b=c×sin α+c×cos α=c(sin α+cos α)=

=c(sin α+cos α)=ccos(α – 45^o)=

=2c×sin45^o cos(α – 45^o).

Очевидно, что наибольшее значение m будет иметь при cos(α – 45^o)=1, т.е.при α=45^о.

Тогда m=с и значит, всегда c<m≤c.

В приведенной же задаче 8 это соотношение не выполняется, так как 16>10, значит, задача не имеет решения.

Очевидно, что сущность решения задач различного вида различна.

Решение задачи первого или второго вида сводится к нахождению размера искомого элемента для каждой из указанных в условии фигур. Если же мы имеем задачу третьего вида, и размер искомого элемента является одним и тем же для всех фигур заданного семейства, то решение такой задачи сведется к нахождению размера искомого элемента, причем сам процесс решения такой задачи есть доказательство того, что размер искомого элемента у всех фигур заданного семейства действительно один и тот же.  Если размер искомого элемента у всех фигур заданного семейства различен, то задача неопределенная  и ее решение сведется к выявлению этой неопределенности. Наконец, если мы имеем задачу четвертого вида, то решение состоит в доказательстве того, что ее условие не определяет никакой фигуры.

Приступая к решению какой-либо числовой задачи на вычисление, мы не знаем, какого она вида, поэтому первым шагом решения всякой числовой задачи является выяснение, определяет ли ее условие какую-либо геометрическую фигуру или нет. Сделать это можно или на основании известных теорем, в которых указываются необходимые и достаточные условия существования тех или иных фигур, или при помощи построения заданной фигуры.

Наиболее значимым я считаю задачи с параметрическими данными.

Если мы дадим параметрам определенные числовые значения, то получим геометрическую задачу с числовыми данными. Я рассматривала искомый элемент задачи с параметрами как функцию от параметров, решить такую задачу – значит найти формулу, показывающую, какие операции и в каком порядке надо произвести над значениями параметров, чтобы найти размер искомого элемента. Но для задания какой-либо функции недостаточно указать закон соответствия (например, формулу), а необходимо еще указать область ее определения. Отсюда понятно, что решение геометрической задачи на вычисление с параметрами не сводится лишь к нахождению формулы, выражающей функцию зависимость искомого элемента от данных параметров: необходимо еще указать область определения найденной функции, т.е. множество допустимых значений для параметров, являющихся аргументами этой функции.

Решить геометрическую задачу на вычисление с параметрами – это значит найти аналитическое выражение искомого элемента от заданных параметров, указов при этом множество допустимых значений для параметров.

Допустимыми значениями параметров геометрической задачи на вычисление следует считать те значения параметров, при которых указанная в условии задачи геометрическая фигура существует.

Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача 9. Найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а угол, образованный боковыми ребрами со стороной основания, равен α.

Если указанная в условии пирамида существует, то а, как длина произвольного отрезка, являющегося стороной основания пирамиды, может быть лишь положительным числом (а>0). Угол же α, с одной стороны является углом при основании равнобедренного треугольника – боковой грани пирамиды, и поэтому 0<α<90^o, а с другой стороны, угол α есть плоский угол трехгранного угла, у которого остальные два угла равны α и 90^о. Поэтому 2α>90^o, и значит, α>45^o.

Итак, если пирамида существует, то α>0 и 45^o<α<90^o.   (1)

Очевидно, что справедливо и обратное положение: если условия (1) выполнены, то рассматриваемая пирамида существует. Значит, условия (1) могут быть приняты за определение множества значений для параметров а и α задачи.

Наконец, заметим, что область определения аналитического выражения функции искомого элемента от данных параметров, как правило, шире множества допустимых значений для параметров найденной геометрической фигуры.

Например, в рассмотренной выше задаче для полной поверхности пирамиды мы получим такое выражение: S_полн.=S_осн.+S_бок.

S_осн.= а²; S_бок.=Р×SM,

где Р – периметр основания Р=4а

=tg a      и     SM= tg a

S=a²+×4a××tg a= a² +a²×tg a= a²(1+tg a)

Если S рассматривать просто как функцию от а и α (вне связи с задачей), то легко видно, что область определения ее будет следующая:

-∞<a<+∞,   a≠(2k+1).

Между тем, выше мы установили, что заданная пирамида существует лишь при a>0 и 45^o<α <90^o. Отсюда понятно, что множество допустимых значений для параметров геометрической задачи на вычисление может быть найдено лишь в результате исследования условий существования указанной в условии задачи геометрической фигуры.

Рассмотрим теперь, как может быть найдено множество допустимых значений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 3. Приемы определения множества допустимых значений параметров

 

Предварительно отметим, что все встречающиеся в задачах геометрические величины (длины отрезков, площади плоских фигур, объемы тела, углы) могут иметь лишь положительные значения, а углы обычно меньше 180^о.

Приемов определения множества допустимых значений для параметров геометрических задач на вычисление можно указать довольно много; рассмотрим лишь основные.

1-й основной прием. Использование известных соотношений между элементами заданной фигуры.

Задача 10. Боковые ребра треугольной пирамиды равны между собой, и каждое из них равно а; плоские углы при вершине пирамиды равны α, β и γ. Вычислить объем пирамиды.(рис. 4)

Чтобы определить множество допустимых значений для параметров, воспользуемся известными соотношениями между плоскими углами многогранного и, в частности, трехгранного угла. Тогда получим:

Α+β+γ=360^о   и    |β-γ|<α<β+γ

Учитывая, что параметры могут принимать лишь положительные значения, получим следующие необходимые условия существования данной треугольной пирамиды:

α>0,  β>0, γ>0;  α+β+γ=360^o;  |β-γ|<α<β+γ

Чтобы эти условия можно было принять за определение множества допустимых значений для параметров рассматриваемой задачи, нужно еще убедиться, что и эти условия не только необходимые, но и достаточные для существования данной треугольной пирамиды.

Сделать это можно, например, так: если плоские углы α, β и γ удовлетворяют указанным выше условиям, то как мы знаем, всегда существует трехгранный угол с такими плоскими углами; отложив на ребрах этого трехгранного угла отрезки равные а, и , соединив концы этих отрезком между собой, мы получим данную треугольную пирамиду. А это и значит, что указанные выше условия являются не только необходимыми, но и достаточными для существования треугольной пирамиды. Эти условия можно принять за определение множества допустимых значений для параметров.

Исходя из всего сказанного, в дальнейшем под множеством допустимых значений для параметров геометрической задачи на вычисление мы будем понимать то множество, которое определяется лишь необходимыми условиями существования заданной в условии задачи фигуры, т.е. теми условиями, которые вытекают из факта существования фигуры.

2-й основной прием. Сравнение параметра с однородным ему постоянным элементом.

Задача 11. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно а, а двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен α (рис.5).

Для определения множества допустимых значений для параметров данной задачи применим такой прием: сравним линейный угол двугранного угла α с каким либо постоянным известным углом. Так, если угол BKD есть линейный угол заданного двугранного угла α (BK ⊥ CM и DK ⊥ CM), то сравним угол ВКD с прямым углом ВСD. Для этого будем вращать треугольник ВКD вокруг стороны ВD до совмещения с плоскостью треугольника ВСD. Так как ВК < ВС и DK < DC (т.к. ВК и DК – катеты, а ВС и DC – гипотенузы треугольников ВКС и DKC), то точка К при этом упадет внутрь треугольника ВСD. Поэтому ясно, что угол ВКD > угла ВСD, т.е. α > 90^o.

Кроме того, α < 180^о и α >0, значит, окончательно получаем: α>0, 90^o<α<180^o.

Заметим, что и этот прием дает нам необходимые условия существования заданной фигуры, которые мы принимаем за определение множества допустимых значений параметров.

3-й основной прием. Исследование условий возможности построения заданной фигуры.

Рассмотрим такую задачу.

Задача 12. Две боковые грани треугольной пирамиды – равные прямоугольные треугольники, общий катет которых равен а, а гипотенузы равны с и образуют между собой угол φ. Найти объем пирамиды.

Построим указанную в условии задачи треугольную пирамиду.

Анализ. Пусть пирамида АВСМ – искомая (рис.6). Тогда АВМ и АСМ – равные прямоугольные треугольники, у которых АМ=а, ВМ=СМ=с и ∠ВАМ=∠САМ=90^о. Значит, АМ ⊥ АВ и АМ ⊥ АС, и поэтому АМ ⊥ _пл.АВС, т.е. АМ – высота пирамиды.

Построение. Вспомогательные построения.

1.Строим прямоугольный треугольник KLN по катету а и гипотенузе с (рис.7).

2.Строим равнобедренный треугольник EHF по боковой стороне с и углу φ при вершине (рис.8).

Основное построение.

1.На произвольной плоскости P строим равнобедренный треугольник АВС по боковой стороне АВ=АС=KL и основанию ВС=EF.

2.В вершине А восстановляем перпендикуляр АМ | Р.

3.Откладываем АМ=а.

4.Точку М соединяем с точкой В и С. Полученная пирамида АВСМ - искомая. Доказательство очевидно, и мы его упускаем.

Исследование. Вспомогательные построения:

1.Возможно при условии с>а.  (1)

2.Возможно при 0<φ<180^o.

Основное построение.

Возможно при условии ВС<2АВ или EF<2KL. Выразим EF и KL через заданные параметры:

EF=2c sin     и     KL=   , значит,    2c sin   <  2  .

Так как обе части равенства положительны, то можно возвести их в квадрат, предварительно разделив обе части на 2. Тогда получим:

sin²  < c² – a²  или а² < с² cos² , откуда а < c cos , т.е. сos >   (2)

Остальные пункты построения всегда выполнимы. Так условие (1) выполняется при выполнении условия (2), то пирамида существует, если

a>0,   c>0,   0<φ<180^o,   cos >     и    c>a.

Этим неравенством и определяется множество допустимых систем значений параметров.

При применении этого приема надо исследовать, можно ли данным геометрическим построением получить любую фигуру заданного в условии задачи вида. Без такого исследования можно утверждать лишь достаточность (но необходимость) полученных условий.

4-й основной прием. Исследование формул таких элементов заданной фигуры, которые определяют ее единственным образом.

Задача 13. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью угол β. Высота параллелепипеда равна Н. Определить объем параллелепипеда.

Если АВСDA₁B₁C₁D₁ (рис. 9) есть заданный параллелепипед, то АА₁ = Н, ∠АСА₁ = α, ∠DА₁С = β. Очевидно, что Н>0, 0<α<90^o (1). Чтобы уточнить множество допустимых значений для параметров α и β, найдем формулы для таких элементов, которые определяют заданный прямоугольный параллелепипед единственным образом. Очевидно, что такими элементами являются стороны основания параллелепипеда АВ и АD, которые вместе с заданной высотой параллелепипеда определяют его единственным образом. После этого мы исследуем, при каких значениях α и β по найденным формулам можно вычислить стороны АВ и АD. Этим самым и найдем множество допустимых значений для α и β.

Из треугольника АСА₁ найдем: АС = Н ctgα, A₁C = . Из треугольника CDA₁ найдем: CD = A₁C×sinβ = . Теперь, зная АС и СD = АВ, можно найти по теореме Пифагора и ВС. Но для этого необходимо, чтобы АС>CD, или    Н ctgα > .

Приняв во внимание (1), из последнего неравенства получим: cos α > sinβ, или sin(90^o-α) > sinβ. Но так как 90^о-α и β – острые углы, то последнее неравенство равносильно: 90^о-α < β, откуда α+β < 90^o. (2)

Вычислим сторону основания AD:

По теореме Пифагора: AD =.

AD=  =   .

сos²α – sin²β = cos²α – sin²β cos²α – sin²β + sin²β cos²α = cos²α(1 – sin²β) – sin²β(1 – cos²α) = cos²α cos²β – sin²α sin²β = (cosα cosβ – sinα sinβ) ( cosα cosβ + sinα sinβ) = cos(α + β) cos(α – β).

AD =

Итак, при выполнении условий (1) и (2) можно вычислить стороны основания АВ и AD по формулам:

АВ=CD=     и     BC=AD= ,

а значит и построить параллелепипед. Значит, окончательно множество допустимых значений для параметров таково: H>0, α>0, β>0, α+β<90^o.

V = CD×AD×DD₁

V = .

Заметим, что в этой задаче применение такого приема определения множества допустимых значений для параметров весьма выгодно, т.к. все равно для нахождения объема параллелепипеда нам надо находить стороны АВ и АD, и, следовательно, определение множества допустимых значений для параметров ведется этим приемом попутно с общим решением задачи.

Наконец, остановимся на еще одном приеме определения множества допустимых значений для параметров.

Если рассматривать формулу искомого элемента не во множестве всех действительных чисел, а лишь при предварительно найденных возможных значениях параметров, то во многих случаях можно найти тем самым и множество всех допустимых систем значений для параметров.

Например, в предыдущей задаче искомый объем V параллелепипеда должен быть числом положительным.

V =

Предварительно мы уже нашли неравенства (1). При выполнении этих неравенств , значит, остается установить, будет ли подкоренное выражение положительно. Ясно, что 0^o<|α-β|<90^o, поэтому cos(α-β)>0, следовательно, и сos(α+β)>0, откуда α+β<90^o.

Мы получаем уже найденное множество допустимых значений: Н>0, α>0, β>0, α+β<90^o.

При использовании последних двух приемов множество допустимых значений определяется сначала ориентировочно (из геометрических соображений), а затем оно уточняется путем исследования формул.

Но если применение четвертого приема дает, как правило, множество всех допустимых значений, то последний прием в некоторых случаях может дать более широкое множество для систем значений параметров.

Рассмотрим, например, такую задачу:

Задача 14. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды, равное b, образует со стороной основания угол α. Найти боковую поверхность пирамиды. (Рис. 10)

Предварительно можно определить, что b>0 b 0<α<90^o, как угол при основании равнобедренного треугольника.

Попытка уточнить это множество при помощи последнего приема ничего не дает. Действительно, относительно боковой поверхности пирамиды S_бок. В данном случае можно лишь установить, что S_бок.>0.

Решим задачу:

S_бок.=Р×SM

AM=AS×cosα=b×cosα  

AD=2AM=2b×cosα

P=3AD=6b×cosα

Из прямоугольного треугольника SMA найдем SM: SM=b×cosα

S_бок=3b²cosα×sinα=1,5b²×2cosα×sinα=1,5b²×sin2α

Тогда, 1,5b²×sin2α>0, откуда sin2α>0, следовательно, 0<2α<180 ^o и окончательно получаем то же, что уже раньше нашли: 0<α<90^o.

Поэтому определение множества допустимых значений для параметров лучше производить одним из первых четырех приемов, а последним приемом пользоваться как способом проверки правильности решения. Сущность этой проверки состоит в следующем. Найдя одним из первых четырех приемов множества допустимых значений для параметров, мы затем находим формулу, являющейся аналитическим выражением функции искомого элемента параметров.

Если при этом окажется, что все значения искомого элемента принадлежит к множеству всех его допустимых значений при всех допустимых системах значений параметров, то это является подтверждением правильности решения задачи.

Если же для того, чтобы значения искомого элемента принадлежали множеству его допустимых значений, параметры должны удовлетворять еще каким-то дополнительным условиям, то это показывает, что в решении задачи есть ошибка, в частности, что найденное множество допустимых значений для параметров не является истинным.

Приведем еще два примера решения геометрической задачи на вычисление с параметрами.

Задача 15. Основанием пирамиды SABC служит равнобедренный треугольник, в котором АВ=АС; грани SAB и SAC перпендикулярны к основанию, третья грань образует с основанием двугранный угол α; боковое ребро SB наклонено к основанию под углом β и равно b. Найти объем пирамиды, если известно, что b=49,56 дм, α=56^о40`, β=48<sup>о</sup>16`.

Решение. Пусть изображенная на рисунке 11 пирамида SABC – данная по условию задачи. Тогда АВС, служащий основанием пирамиды - равнобедренный (АВ=АС); грани SAB и SAC перпендикулярны к основанию АВС, следовательно, общее из ребро SA перпендикулярно к основанию, т.е. AS – высота пирамиды SABC. Третья грань SBC образует с основанием двугранный угол ВС, равный α. Построим линейный угол данного двугранного угла ВС. Так как треугольники АВС и BSC равнобедренные ( АВС - по условию, BSC потому, что SB=SC как наклонные, выходящие из общей точки S и имеющие равные проекции АВ=АС), то медианы на сторону ВС в этих треугольниках будут перпендикулярны к ВС. Поэтому, если точку К – середину стороны ВС соединим с S и А, то полученный угол АКS и будет линейным углом двугранного угла ВС (АК⊥ВС и SK⊥ВС). Значит, ∠AKS=α. Очевидно, что 0<α<90^o, так как α есть угол прямоугольного AKS, где ∠AKS=90^о. Боковое ребро SB=b (b>0) и наклонено к основанию АВС под углом β. Так как SA⊥_пл.АВС, то АВ – проекция SB на плоскость основания. Значит, ∠SBA есть заданный угол между боковым ребром SB и плоскостью основания, следовательно, ∠SBA=β. Очевидно, что 0<β<90^o, ибо β – острый угол прямой с плоскостью.

Уточним теперь область допустимых значений для параметров, сравнив между собой α и β. Для этого вращаем плоскость SKA вокруг катета AS до совмещения с плоскостью SBA. Так как SB > SK (в прямоугольном треугольнике SBK SB – гипотенуза, а SK – катет), то точка К упадет между точками А и В на отрезке АВ и ребро SK займет положение SK₁ (рис. 12).

По отношению к SBK₁ ∠SK₁A внешний, поэтому ∠SK₁A > ∠SBK₁, т.е. α>β. Итак, окончательно получаем такую область допустимых значений для параметров:

0<β<90^o     ;    b>0 ;     0<α<90^o   ; α > β  (1).

Теперь найдем объем пирамиды: V_пир.=×S×h, где S – площадь основания, h – высота пирамиды.

V_пир.=×S_АВС×SA

=sin β (т.к. SAB – прямоугольный)

AS=SB×sinβ=b×sinβ

=cosβ,   AB=b×cosβ;

S_ABC=×АК×ВС ,

=ctg α (т.к. SKA – прямоугольный) ; АК=b×sinβ×ctgα ;

ВС=2ВК (т.к. АВС – равнобедренный, то АК является медианой);

Так как АКВ – прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:

КВ=

КВ=== =

BC=

S_ABC=

V_пир.==

V =

Очевидно, что область допустимых значений для объема пирамиды такова: V>0.

Проверим, действительно ли выражается объем в полученной форме положительным числом при всех допустимых значениях параметров.

Из случая (1) имеем:

0<α+β<90^o   и   0<α-β<90^o

Значит, sin(α+β)sin(α-β)>0, следовательно, объем есть действительное число. Так как b>0, то и b³>0. Остальные множители перед корнем также, очевидно, положительны. Следовательно, V>0.

Вычислим объем пирамиды при b=49,56 дм, α=56^о40`, β=48<sup>о</sup>16`.

Значения b, α и β удовлетворяют условиям (1), поэтому вычисление можно произвести.

Задача 16. В цилиндр, образующая которого равна l, вписана треугольная пирамида. Две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости ее основания, а два боковых ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом α и образуют между собой угол β. Найти боковую поверхность пирамиды. Вычислить боковую поверхность при l=35,12 дм, α=46^о37`, β=37<sup>о</sup>16`.

Решение. Пусть ОО₁ и SABC – цилиндр и треугольная вписанная в него пирамида (рис. 13), заданные в условии задачи. Грани ASB и BSC перпендикулярны к плоскости основания пирамиды (на основании следствия о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей) и является высотой пирамиды. Так как цилиндр прямой (его образующая перпендикулярна к плоскости основания), а основание пирамиды лежит в плоскости основания цилиндра (т.к. пирамида вписана в цилиндр), то высота пирамиды совпадет с образующей цилиндра SB=l>0. Боковое ребро пирамиды SA и SC образуют с основанием углы, по условию равные α. Этими углами являются углы SAB и SCB, по определению угла прямой с плоскостью (АВ – проекция ребра SA на плоскость, т.к. SB есть перпендикуляр к плоскости АВС по выше доказанному, точно также ВС – проекция ребра SC), ∠SAB=∠SCB=α, причем 0<α<90^o, т.к. угол между наклонной и ее проекцией всегда острый. Угол, образованный ребрами SA и SC, равен β, т.е. ∠ASC=β.

Определим область допустимых значений для углов α и β. Боковые грани пирамиды ASB и BSC равны, как прямоугольные треугольники, имеющие общий катет SB и равные острые углы: ∠BAS=∠BSC=α. Тогда АВ=ВС и AS=CS.

Рассмотрим трехгранный угол при вершине пирамиды. Один из плоскостей его углов ASC равен β, а остальные два равны 90^о – α. Тогда по известному свойству плоских углов трехгранного угла, получим: 2(90^о – α)>β. Откуда α+< 90^o.

Таким образом, имеем окончательно: l>0, α>0, β>0 и α+< 90^o.

В условии задачи требуется найти боковую поверхность пирамиды. Она равна сумме площадей боковых граней.

S_бок.=2S_CBS+S_ASC

S_CBS=   ;   tgα   ;    CB==  ;   2S_CBS==

=sinα  ;     SC=

S_ASC=AS×SC×sinβ = ×××sinβ =   ;    SC=SA

S_бок=  +   =  =

Проверим, выражается ли боковая поверхность по полученной формуле положительным числом. Всегда l²>0 и sin²α>0, α>0, β>0. Значит, S_бок>0.

Вычисление возможно, ибо эти значения l, α и β принадлежат области допустимых значений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 4. Исследование геометрических задач в три этапа.

 

Выделим основные три этапа в исследовании геометрических задач на вычисление:

1. Установить допустимые значения для параметров путем непосредственного рассмотрения условий задачи, чертежа и геометрических соотношений между элементами фигуры.

2. Используя полученные выводы, произвести исследования формулы, служащей для определения искомой величины, и установить допустимые значения содержащихся в ней аргументов.

3. Если допустимые значения для параметров, полученные при исследовании формулы, находятся в более узких границах, чем их значения, полученные при первоначальном геометрическом исследовании (в пункте 1), то необходимо провести дополнительное рассмотрение геометрических соотношений данной фигуры с целью установить соответствия страниц.

Можно подумать, что, чтобы установить допустимые значения для аргументов, содержащихся в формуле, совсем необязательно выполнять первый этап. Но это не так. Действительно, формула может указать, какие значения аргументов являются допустимыми. Иными словами, множество допустимых значений аргументов, допустимых по условию задачи может и не совпадать с множеством тех значений аргументов, для которых формула решения имеет смысл. Поэтому формула не всегда может указать границы допустимых значений аргументов. Лишь по условию задачи, по тем геометрическим соотношениям, из которых получена данная формула, можно установить, когда она применима.

Очень часто геометрическое исследование, проведенное на первом этапе, сразу устанавливает точные границы для параметров, и тогда остается проверить, что при этих границах полученная формула имеет смысл. Установление же неточных границ для параметров может сильно сократить исследование формулы, освободив его от чисто формального рассмотрения различных случаев, при этом оно может служить контролем. В таких случаях, когда геометрически точные границы для параметров бывает очень трудно определить, тогда алгебраическое исследование подсказывает эти границы, облегчая поиски соответствующих геометрических соотношений. Так, например, неравенство cos(α+β)cos(α- β) >0, может выполняться в двух случаях:

1) cos(α+β)>0 и cos(α- β)>0;

2) cos(α+β)<0 и cos(α- β)<0;

если же известно, что 0<α<90^o и 0<β<90^o, cos(α- β)>0, и второй случай отпадает.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 17. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды с плоским углом при вершине α и боковым ребром b(рис. 14). Вычислить искомую поверхность при b=10см и α=72^о18’.

Решение.

S_бок.=6×S_SAB(т.к. пирамида SABA₁B₁A₂B₂ – правильная) ;

  S_SAB=×SA×SB×sinα; SA=SВ       S_бок.=6××b²×sinα;   S_бок.=3b²sinα.

Подставив числовые значения, найдем: S_бок.=3×100×sin72^o18’=285,5 см².

Внешне как будто все хорошо. В действительности же значение 285,5 см² является фикцией. На самом деле, сумма плоских углов многогранного угла должна быть менее 360^о, т.е. должна быть 6α<360^о, откуда, α<60^о, при α=72^о18’ пирамида не существует.

Задача 18. В прямоугольном параллелепипеде диагональ его а наклонена к основанию под углом α, а к боковой грани под углом β. Найти объем (рис. 15).

V= S_осн.× h

B₁C₁ = B₁D×sinβ;  B₁C₁ = а×sinβ ; ВВ₁ = В₁D×sinα ; ВВ₁ = а×sinα

BD = B₁D×cosα ; BD = a×cosα

CD= =  == α

V= a³×sinα×sinβ

Так как α и β – углы наклона прямой к плоскости, то, по определению, 0<α<90^o и 0<β<90^o, следовательно, |α-β|<90^o и cos(α-β)>0. Теперь ясно, что действительности объема необходимо, чтобы cos(α+β)>0, следовательно, α+β<90^o. Это условие доказывает, что в точке В имеется трехгранный угол с углами ∠DB₁B=90^o – α, ∠DB₁C₁=90^o – β, ∠BB₁C₁=90^o, в силу свойств плоских углов, должно быть: 90^o – α+90^o – β>90^o, откуда α+β<90^o.

Задача 19. В основании пирамиды лежит правильный треугольник, сторона которого равна а. Два боковых ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы, равные α, а грань, заключенная между ними, наклонена к основанию под углом β. Найти объем пирамиды V.

1. Анализ задачи.

Сторона треугольника может быть любым положительным числом, то есть а >0. Углы α, как углы наклона боковых ребер к основанию, то есть углы между ребрами и их проекциями, могут быть лишь острыми, 0<α<90^о. Угол β – двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания, он может меняться в пределах 0<β<180^о: 1) 0<α<90^o; 2) β=90^o; 3) 90^о<α<180^o (рис. 16-18).

2. Запись задачи.

Дано: АВ=ВС=АС=а; SO⊥(АВС); ОD⊥AD; ∠OAS=∠OBS=α; ∠CDS=β.

Найти: V_пир.

 

По известной формуле V_пир.=Sh. Так как АСВ – правильный, то S=. Найдем h. Рассмотрим случай, когда β=90^о из АОS(прямоугольного), где АО= найдем h=OS=AO tg∠OAS=tgα. Тогда V=. В двух других случаях можно поступить так: из прямоугольного AOS находим АО==.

Из прямоугольного ODC имеет: OD = =.

Когда угол β – острый, получим: OD =.

Когда угол β – тупой, получаем: OD =  = .

Из ADO (прямоугольного), где AD =  имеем:  = h^2 .

h² =  - выражение имеет смысл лишь тогда, когда >0 или  > 0. Отсюда β > α и α+β <180^o. Эти условия уточняют область изменения параметров. При их выполнении найдем h=

Для острого и тупого углов h² =  = .

Так как β > α и α+β <180^o, то h = .

Тогда ответ задачи принял бы такую форму: при β>α>0, α<90, α+β<180, α>0. V=, если β=90^о и V=, если β≠90^о.

Учитывая условия   h =  при 0<β<90^o.

                                  h =  при 90^o <β<180^o.

Подставляя в формулу объема, найдем окончательно:

                              V =      при 0<β<90^o.

                              V =   при 90^o <β<180^o.

3. Проверка.

В данном случае проверка сводится к тому, чтобы убедиться, что по найденным формулам действительно можно вычислить V такое, которому принадлежит область его определения V > 0. Рассматривая полученные формулы для V для всех трех случаев и учитывая указанные при этом условия задачи, легко убеждаемся в выполнении указанного условия: при β>α>0, α<90, α+β<180, α>0, имеем:

V =      при 0<β<90^o.

V= при β=90^о.

V =   при 90^o <β<180^o.

Задача 20. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой даны сторона основания а и двугранный угол между боковыми гранями α (рис. 19).

Решив задачу, найдем для объема выражение:V =  .

Исследование. Так как α – угол треугольника, то 0< α <180^o. Для действительности полученного объема выражения необходимо выполнение неравенства cosα < 0; при указанных границах для угла α это неравенство выполняется при 90 < α <180^o.

Установим, из каких геометрических соотношений вытекает полученное нами соотношение 90 <α< 180^o.

Из прямоугольного треугольника ОЕС с гипотенузой ОС следует: ОС > ОЕ, но ОС=ОD, поэтому OD > CE. Но тогда в треугольнике OED угол  ∠OED= больше угла ∠ODE=90^o - , т.е.  >90^o - , откуда α > 90^o. Условие α < 180^o очевидно.

Легко видеть, что если 90 < α < 180, то полученное выражение для объема будет положительным.

Задача 21. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины: a, b, c. Ребра a и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол α. Определить объем параллелепипеда.

Так как α – угол параллелограмма, то 0<α<180. Чтобы полученное выражение было действительным, необходимо, чтобы -сos 2α > 0 или cos 2α < 0; так как 0 < 2α <360, то полученное неравенство удовлетворяется при 0 < 2α <270, или 45 < α <135 (рис. 20).

Теперь найдем объем параллелепипеда: V = S_осн. × h

Так как АВ ⊥ AD, то V = AB × AD = a × b.

Установим положение точки О – основания высоты. Опустим ОМ ⊥ АВ и ОN ⊥ AD, тогда AMON – четырехугольник, в котором три угла ∠А, ∠М, ∠N – прямые. Следовательно AMON – прямоугольник. ОМ и ОN – проекции А₁М и А₁N  на плоскость основания А₁М⊥ АВ и  А₁N ⊥ AD по построению. АА₁М = АА₁N; АМ=АN.

АМ = АА₁ cosα=c × cosα ;    АО = АМ ×  = с сosα .

Из АОА₁ найдем А₁О: А₁О² = АА₁² – АС² = с² – 2с²×сos²α = c² (1 – 2cos²α).

По формуле косинуса двойного угла имеем:  А₁О² = -с² ×сos2α ;  А₁О = с  ; h = c   

Отсюда V = abc  .

Установим, из каких геометрических соотношений вытекает это неравенство. Так как в точке С имеется трехгранный угол с плоскими углами α, α и 90^о, то по свойству многогранных углов должно иметь место неравенство: α+α+90^о < 360^o, откуда α < 135^o. Итак, 45^o < α < 135^o.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

Результатом моей работы является установление следующих обязательных требований к решению геометрических задач на вычисление:

1. Если при решении используется чертеж заданной в условии задачи фигуры, то следует назвать в принятых на чертеже обозначениях все заданные в условии задачи элементы фигуры, а также заданные соотношения между ними.

2. Необходимо дать полное объяснение всех проводимых самим учеником вспомогательных построений или тех построений, которые требуются самим условием задачи (построение линейных углов заданных двугранных углов, углов наклона прямой к плоскости, проведение сечений и т.д.).

3. Необходимо определить множество допустимых значений для параметров, заданных в условии задачи и для искомых элементов путем непосредственного рассмотрения этих самых условий, чертежа и геометрических соотношений между элементами фигуры.

4. Решить задачу сначала в общем виде (с параметрами), а затем провести исследование полученной формулы, и только тогда, когда будет найдено общее решение, следует приступить к вычислениям при заданных значениях параметров (если это предусмотрено условием задачи). При этом необходимо проверить, принадлежат ли заданные значения параметров множеству их допустимых значений.

5. При нахождении отдельных пяти величин в общем решении необходимо дать пояснение из рассмотрения каких фигур и на основе каких теорем, записана та или иная зависимость между данными и искомыми величинами общеизвестной зависимости, в частности, зависимости между сторонами и углами треугольника, применяется без особых пояснений.

6. Полученную общую формулу следует, если только это целесообразно, привести к виду, удобному логарифмированию.

7. После решения задачи в общем виде следует проверить, принадлежит ли значение искомой величины множеству ее допустимых значений при всех допустимых значениях параметров.

8. Если допустимые значения для параметров, полученные при исследовании формулы, находятся в более узких границах, чем полученные в первоначальном геометрическом исследовании (в пункте 3), то необходимо провести дополнительное рассмотрение геометрических соотношений данной фигуры с целью установления соответствия границ.

9. После вычисления значения искомой величины при заданных значениях параметров следует выписать ответ на вопрос задачи как в общем виде (в идее формулы) с указанием множества допустимых значений для параметров, так и числовой ответ (значений искомой величины) с указанием того, при каких значениях параметров он найден.

При выполнении данной работы я пришла к выводу, что решить задачу на вычисление – значит не только установить определенную функциональную зависимость (обычно в виде некоторой формулы) между данными и искомыми величинами, но и прежде всего, провести исследование на существование геометрической фигуры, являющейся неотъемлемой частью самого решения. Если такого исследования не проводить, то можно прийти к абсурду: вычислять объемы и поверхности несуществующих тел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

 

1. Александров А.Д.,Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия,10-11 класс.1992 г.

2. Атанасян Л.С.Сборник задач по геометрии,М.«Просвещение».1999 г.

3. Погорелов А.В. Сборник задач по геометрии, М. «Просвещение». 2005 г.

4. Позойский Р.И.Сборник задач по тригонометрии,М. «Дрофа». 2004 г.

5. Фридман Л.М., Айзенштат Я.И., Белоцерковская Б.Г. Журн. «Математика в школе». 2004 г.

6. Шарыгин И.Ф. Геометрия, 10-11 класс. М. «Дрофа». 2000 г.