Муниципальное
бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя
общеобразовательная школа № 12»
«Утверждено»
Директор МБОУ «СОШ №
12»
Приказ № _____
от «____»_____________20___г.
__________________
|
|
«Согласовано»
заместитель директора
по
учебно-воспитательной работе
«_____»________________20____г.
_____________(
________________)
заместитель
директора по УВР
|
|
«Рассмотрено и
рекомендовано к утверждению» на заседании методического объединения
учителей ____________________
_____________________________
Протокол № ___
от
«___»____________20____г.
_______________(
______________)
руководитель
ШМО
|
|
г.
Рабочая
программа
по
элективному курсу «Инварианты, графы, метод математической индукции и
неравенство треугольников»
для
7 класса
Разработчик:
Моисеева Г.Н.;
учитель
математики высшей квалификационной категории
город
год
создания
Пояснительная
записка.
Рабочая
программа для 7 классов по элективному курсу « Инварианты,
графы, метод математической индукции и неравенство треугольника » составлена на
основе программы утвержденной ЦИМПО: протокол № 32 от 29.05.08. Per.
№ 1411.Автор: Штыков Николай Николаевич, канд. физ.-мат. наук,
доцент кафедры социально-экономических дисциплин ГОУ ВПО “ВСГАО”/
Количество
часов: 34( 1час в неделю).
Цель
курса: изучение некоторых видов
инвариантов в алгебре, геометрии, и теории чисел; ознакомление обучающихся с
элементами теории графов и их применением в комбинаторных и
алгебраических задачах; изучение метода ; математической индукции.
Задачи
курса: нахождение и применение
различных инвариантов в задачах; решение задач с помощью теории графов;
доказательство равенств и неравенств на основе метода математической индукции;
применение неравенсгв на треугольника и связанных с ним геометрических неравенств
к решению задач.
Программой курса предусмотрено изучение нового теоретического
материала путем последовательного решения задач, приводящих к формулировке (и
доказательству) общих утверждений.
Программа
состоит из четырех разделов, с описанием содержания каждого из них и указанием
форм и методов их освоения обучающимися. При изучении каждого раздела данного
курса предполагается знакомство обучающихся с основными математическими
понятиями курса математики по программе шестого и частично седьмого классов
К каждому разделу подготовлены наборы
заданий и краткий теоретический материал, достаточный для решения задач.
Задания ко всем разделам разделены по уровням сложности. Возможны различные
варианты решения заданий. При разборе решений устанавливаются соотношения между
разными заданиями, выделяются ключевые методы и подходы к анализу
содержания заданий.
Содержание
разделов программы
Раздел
1, Инварианты в задачах по алгебре, геометрии и теории чисел ( 8ч.)
Во
многих задачах рассматриваются множества объектов, над которыми производятся
некоторые операции. В большинстве случаев объектами являются числа, над
которыми производятся арифметические действия. Задачи в таких случаях часто
заключаются в том, что требуется доказать, что из заданною набора объектов
нельзя получить определенными в условии операциями некоторый другой набор.
Решение таких задач сводиться к поиску величины, сохраняющейся в
множестве при заданных операциях (инварианту) и установлению противоречия в
различии значений этой величины в начальном и конечном состояниях.
Задачи
на инварианты технически не очень сложны, но найти подходящий инвариант
не всегда просто. В данном разделе представлено много интересных и
содержательных задач по алгебре и теории чисел, решение которых опирается на
нахождение инвариантов. Четность является одним из самых простых и часто
встречающихся видов инвариантов. В разделе представлено несколько задач,
решение которых опирается на идею четности. Другие задачи решаются с помощью
менее очевидных инвариантов.
Основные
рассматриваемые понятия: последовательность операций над математическими
объектами (числами, функциями, множествами и т.д.), начальное и конечное
значения, инвариант.
Основной
метод: нахождение инварианта, приводящего к решению задачи.
Раздел
2. Элементы теории графов(9 ч.)
Одним
из наиболее важных понятий, относящихся к структуре дискретных систем, является
понятие графа. Это понятие, описывающее структуру связей между отдельными
частями системы, в силу своей общности используется во многих математических
моделях. Графы очень часто используются в приложениях, поскольку они возникают
как модель при изучении многих объектов. Примеры графов: узлы и соединения в
электрической цепи, схема дорог, множество предприятий с указанием
двухсторонних связей между ними, группа людей с указанием их психологической
совместимости, структура управления с указанием объектов и их подчиненности
друг другу и т.д.
Тематика
исследований, связанных с графами, очень широка. Это и исследование структуры и
свойств графов, изучение специальных классов графов, построение быстрых
алгоритмов для решения различных задач на графах, и т. д.
В
данном разделе рассматриваются только некоторые простые вопросы, относящиеся к
свойствам произвольных графов.
Основные
понятия: вершины и ребра графа, связность, цикл.
Раздел
3. Метод математической индукции (9ч.)
Метод
математической индукции является важным способом доказательства предложений
(утверждений), зависящих от натурального аргумента. Метод математической
индукции состоит в следующем; Предложение (утверждение) Р(п), зависящее
от натурального числа п,справедливо для любого натурального п если: Р(\) является
истинным предложением (утверждением); Р(п) остается истинным
предложением (утверждением), если п увеличить на единицу, то
есть Р{п + 1) - истинное предложение (утверждение). Таким
образом, метод математической индукции предполагает два этапа: 1) проверяется,
истинно ли предложение (утверждение) Р(\). 2) предполагается,
что предложение Р(п) истинно, и доказывается истинность
предложения Р(п + 1) ( увеличено на единицу). Метод
математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств,
неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых
геометрических и многих других задач. В задачах раздела с помощью метода
математической индукции доказываются различные утверждения, касающиеся
делимости натуральных чисел, равенств и неравенств.
Особое
внимание уделяется «идеологическим задачам», таким как задачи о ханойской башне
и разрезании квадрата.
Основные
понятия: база, утверждение индукции, индукционный переход.
Раздел
4. Неравенство треугольника и его применение к решению задач
(8ч.)
Неравенство
треугольника применяется для решения большого количества различных
геометрических неравенств. В геометрические неравенства входят длины сторон,
медиан, биссектрис, высот, радиусов вписанной, описанной и вневписанных
окружностей, величины углов треугольника. В многоугольниках в неравенства
включаются длины диагоналей. Имеются неравенства с площадями геометрических
фигур.
В
данном разделе рассматривается небольшой класс таких неравенств. Некоторые
неравенства для своего решения не требуют ничего, кроме неравенства
треугольника, решения других основываются также на известных алгебраических
неравенствах, прежде всего на неравенстве между средним арифметическим и
средним геометрическим неотрицательных чисел.
Иногда
геометрические неравенства доказываются с помощью симметрии.
Построение симметричных точек, отрезков и прямых позволяет достаточно
просто решить ту или иную задачу. Использование симметрии часто является
эффективным приемом для решения так называемых экстремальных
задач. Основные понятия: неравенство треугольника, неравенства для средних
линий треугольника, геометрические неравенства.
Знания
и умения.
По
итогу проведения курса, оценивается владение учащимися ниже перечисленными
методологическими знаниями о инвариантах, графах, метода математической
индукции и неравенство треугольника:
- знать
что такое последовательность операций над математическими объектами (числами,
функциями, множествами и т.д.), начальное и конечное значения, инвариант;
-уметь решать
задачи, сводящиеся к поиску величины, сохраняющейся в множестве при
заданных операциях (инварианту) и установлению противоречия в различии значений
этой величины в начальном и конечном состояниях;
-владеть
понятиями: вершины и ребра графа, связность, цикл;
-иметь
представление о методе математической индукции; уметь применять его при
доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость,
при решении некоторых геометрических и многих других задач;
-
знать основные понятия: неравенство треугольника, неравенства для средних линий
треугольника, геометрические неравенства;
-
уметь доказывать геометрические неравенства с помощью симметрии;
строить симметричные точки, отрезки и прямые, позволяющие
достаточно просто решить ту или иную задачу;
-уметь
применять геометрические неравенства длины сторон, медиан, биссектрис, высот,
радиусов вписанной, описанной и вневписанных окружностей, величины углов
треугольника при решении задач.
-
уметь использовать симметрию для решения так называемых экстремальных
задач.
Характеристика
мыслительной деятельности учащихся 7 класса
16 чел. (59 % ) из класса имеют уровень развития
норму и выше нормы, у 7 ч. (26%) уровень близок к норме. 2ч. имеют низкий
уровень и 2ч – очень низкий уровень развития, у трех учеников – снижен темп
деятельности, эти ученики нуждаются в дифференцированном подходе. В целом
класс работоспособный, могут работать при высоком темпе, легко переключаются
с одного вида деятельности на другой, сообразительны. Многие их учеников класса
с желанием участвуют в творческих заданиях.
Большая часть класса на уроках проявляют интерес к
учебной деятельности, могут высказывать собственное мнение на поставленные
вопросы, при подготовке домашних заданий используют дополнительную литературу.
Обладают способностью анализировать, обобщать, делать самостоятельные выводы.
Владеют навыками самостоятельного труда, однако есть пассивные ученики, которые
учатся не в меру своих способностей.
В ходе учебного процесса необходимо создавать условия
для реализации навыков самоорганизации учебной деятельности, уделять внимание
формированию навыков самоконтроля в ходе мыследеятельности, продолжить работу
по формированию основных мыслительных операций.
Учебно-тематический план.
|
№
занятия
п\п
|
Наименование
темы
|
Кол-во часов
|
Форма
проведения
|
Элементы
содержания образования
|
|
Раздел
1. Инварианты в задачах по алгебре, геометрии и теории чисел.
|
|
1
|
Инварианты в
алгебре и теории чисел.
|
4
|
беседа
|
Последовательность
операций над математическими объектами (числами, функциями, множествами и
т.д.), начальное и конечное значения, инвариант Нахождение инварианта,
приводящего к решению задачи.
|
|
2
|
Инварианты в
алгебре и теории чисел
|
|
практическое
занятие
|
|
|
3
|
Инварианты в
алгебре и теории чисел
|
|
практическое
занятие
|
|
|
4
|
Инварианты в алгебре
и теории чисел
|
|
практическое
занятие
|
|
|
5
|
Инварианты в
геометрии.
|
3
|
беседа
|
|
|
6
|
Инварианты в
геометрии.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
7
|
Инварианты в
геометрии.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
8
|
Контрольная
работа по теме “Инварианты в задачах по алгебре, геометрии и теории
чисел.”
|
1
|
индивидуальная
самостоятельная работа
|
|
|
Раздел
2. Элементы теории графов.
|
|
|
9
|
Понятие
графа. Связные графы, деревья и циклы.
|
4
|
беседа
|
И
исследование структуры и свойств графов, изучение специальных классов графов,
построение быстрых алгоритмов для решения различных задач на графах, и т. д.
Вершины и ребра графа, связность, цикл. Эйлеровы графы. Ориентированные
графы.
|
|
10
|
Понятие
графа. Связные графы, деревья и циклы.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
11
|
Понятие
графа. Связные графы, деревья и циклы.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
12
|
Понятие
графа. Связные графы, деревья и циклы.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
13
|
Эйлеровы
графы. Ориентированные графы.
|
4
|
беседа
|
|
|
14
|
Эйлеровы
графы. Ориентированные графы.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
15
|
Эйлеровы
графы. Ориентированные графы.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
16
|
Эйлеровы
графы. Ориентированные графы.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
17
|
Контрольная
работа по теме “Элементы теории графов.”
|
|
тест
|
|
|
Раздел
3. Метод математической индукции.
|
|
|
18
|
Метод
математической индукции как форма доказательства.
|
2
|
беседа
|
Решение задач
с помощью метода математической индукции доказываются различные утверждения,
касающиеся делимости натуральных чисел, равенств и неравенств.
База,
утверждение индукции, индукционный переход.
|
|
19
|
Метод
математической индукции как форма доказательства.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
20
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
4
|
беседа
|
|
|
22
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
23
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
24
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
24
|
Решение
геометрических задач методом математической индукции
|
2
|
практическое
занятие
|
|
|
25
|
Решение
геометрических задач методом математической индукции
|
|
практическое
занятие
|
|
|
26
|
Контрольная
работа по теме “Метод математической индукции ”.
|
1
|
индивидуальная
самостоятельная работа
|
|
|
Раздел
4. Неравенство треугольника и его применение к решению задач.
|
|
|
27
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения
между сторонами и углами треугольника.
|
4
|
беседа
|
Доказательства
геометрических неравенства с помощью симметрии.
Построение симметричных точек, отрезков и прямых, позволяющие
достаточно просто решить ту или иную задачу. Использование симметрии
как эффективный прием для решения экстремальных
задач. Основные понятия: неравенство треугольника, неравенства для
средней линии треугольника, геометрические неравенства.
|
|
28
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения
между сторонами и углами треугольника.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
29
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения
между сторонами и углами треугольника.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
30
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
|
|
|
|
|
31
|
Соотношения
между сторонами и углами и диагоналями многоугольника.
|
3
|
беседа
|
|
|
32
|
Соотношения
между сторонами и углами и диагоналями многоугольника.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
33
|
Соотношения
между сторонами и углами и диагоналями многоугольника.
|
|
практическое
занятие
|
|
|
34
|
Контрольная
работа по теме “Неравенство треугольника и его применение к решению задач”.
|
1
|
индивидуальная
самостоятельная работа
|
|
|
|
итого
|
34
|
|
|
Календарно-тематическое планирование
|
№
урока
|
Наименование
раздела программы.
Тема
урока
|
К-во
час
|
Планируемые
сроки
|
Скорректированные
сроки
|
Виды
контроля
|
Планируемые
результаты
|
|
Раздел 1. Инварианты
в задачах по алгебре, геометрии и теории чисел. (9часов)
|
|
1
|
Инварианты в алгебре и теории чисел.
|
1
|
|
|
беседа
|
|
|
2
|
Инварианты в алгебре и теории чисел
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Последовательность операций над математическими объектами
(числами, функциями, множествами и т.д.), начальное и конечное значения,
инвариант
|
|
3
|
Инварианты в алгебре и теории чисел
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
4
|
Инварианты в алгебре и теории чисел
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
5
|
Инварианты в геометрии.
|
1
|
|
|
беседа
|
|
|
6
|
Инварианты в геометрии.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Нахождение инварианта, приводящего к решению задачи.
|
|
7
|
Инварианты в геометрии.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
8
|
Контрольная работа по теме “Инварианты в задачах по алгебре,
геометрии и теории чисел”
|
1
|
|
|
индивидуальная самостоятельная работа
|
|
|
Раздел 2. Элементы
теории графов. (9часов)
|
|
9
|
Понятие графа. Связные графы, деревья и циклы.
|
1
|
|
|
беседа
|
|
|
10
|
Понятие графа. Связные графы, деревья и циклы.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
И исследование структуры и свойств графов, изучение специальных
классов графов
|
|
11
|
Понятие графа.
Связные графы, деревья и циклы.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
12
|
Понятие графа.
Связные графы, деревья и циклы.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Построение быстрых алгоритмов для решения различных задач на
графах, и т. д.
|
|
13
|
Эйлеровы графы.
Ориентированные графы.
|
1
|
|
|
беседа
|
|
|
14
|
Эйлеровы графы.
Ориентированные графы.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Вершины и ребра графа, связность, цикл.
|
|
15
|
Эйлеровы графы.
Ориентированные графы.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Эйлеровы графы.
|
|
16
|
Эйлеровы графы.
Ориентированные графы.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Ориентированные графы.
|
|
17
|
Контрольная работа по
теме “Элементы теории графов.”
|
1
|
|
|
тест
|
|
|
Раздел 3. Метод математической
индукции. (9часов)
|
|
18
|
Метод математической
индукции как форма доказательства.
|
1
|
|
|
беседа
|
Решение задач с помощью метода математической индукции
доказываются различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел,
равенств и неравенств.
База, утверждение индукции, индукционный переход.
|
|
19
|
Метод математической
индукции как форма доказательства.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
20
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
1
|
|
|
беседа
|
|
|
22
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
23
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
24
|
Доказательство
равенств и неравенств методом математической индукции.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
24
|
Решение геометрических
задач методом математической индукции
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
25
|
Решение
геометрических задач методом математической индукции
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
26
|
Контрольная работа по
теме “Метод математической индукции ”.
|
1
|
|
|
индивидуальная самостоятельная работа
|
|
|
Раздел 4. Неравенство
треугольника и его применение к решению задач. (8часов)
|
|
27
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения
между сторонами и углами треугольника.
|
1
|
|
|
беседа
|
Доказательства геометрических неравенства с помощью
симметрии.
|
|
28
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения
между сторонами и углами треугольника.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Построение симметричных точек, отрезков и прямых,
позволяющие достаточно просто решить ту или иную задачу.
|
|
29
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения
между сторонами и углами треугольника.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
Использование симметрии как эффективный прием
для решения экстремальных задач.
|
|
30
|
Неравенство
треугольника для сторон и медиан треугольника. Соотношения
между сторонами и углами треугольника.
|
1
|
|
|
|
|
|
31
|
Соотношения между
сторонами и углами и диагоналями многоугольника.
|
1
|
|
|
беседа
|
Основные понятия: неравенство треугольника, неравенства для
средней линии треугольника, геометрические неравенства.
|
|
32
|
Соотношения между
сторонами и углами и диагоналями многоугольника.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
33
|
Соотношения между
сторонами и углами и диагоналями многоугольника.
|
1
|
|
|
практическое занятие
|
|
|
34
|
Контрольная работа по
теме “Неравенство треугольника и его применение к решению задач”.
|
1
|
|
|
индивидуальная самост. работа
|
|
|
35
|
Анализ контрольной
работы
|
1
|
|
|
|
|
|
36
|
Обобщающий урок
|
1
|
|
|
|
|
|
|
итог
|
34
|
|
|
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.