"Знаменитые задачи древности" работа ученицы 9 класса

Городская  научно-практическая конференция

 «Старт в науку»

 

 

 

 

Знаменитые задачи древности

 

Секция:  «Созидательная сила великих открытий в математике»

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Орлова Алена

Александровна

Ученица 9 «Б» класса

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №40»

Руководитель:

Мустафина Галина Михайловна

учитель математики

(1категории)

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №40»

г. Дзержинск

2012 год

Оглавление:

 

1)Введение	Стр. 3-4
2)Из истории числа П	Стр. 5 - 6
3) Задача о квадратуре круга	Стр. 7 - 12
4) Задача о трисекции угла	Стр. 12 – 14
5) Задача об удвоении куба	Стр. 15 – 16
6) Задачи на построение с помощью циркуля и линейки	Стр.16 – 19
8)Заключение	Стр. 20
9)Список источников		Стр. 21

 

 

 

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Задачи на построение при помощи циркуля и линейки (без делений) занимали важное место в древнегреческой математике. Хотя линейкой пользовались еще в Древнем Египте, циркуль, по свидетельству римского поэта Овидия, изобрели именно греки. Евклид начал список геометрических постулатов описанием простейших построений линейкой и циркулем: а именно, если заданы две точки, то можно провести через них прямую и продлить ее сколь угодно далеко; кроме того, можно провести окружность с заданным центром и заданным радиусом.

В «Началах» Евклида нет привычного нам слова «теорема». За определениями, аксиомами и постулатами следуют предложения: одни из этих предложений выражают теоретические истины, которые затем доказываются, а другие формулируют задачи на построение, которые затем решаются. На деле различие между первыми и вторыми не так велико. Дело в том, что Евклид считает существующими только те фигуры, которые могут быть построены: построение как бы вызывает их к жизни. Поэтому решение задачи на построение некой фигуры на самом деле является доказательством теоретического утверждения о ее существовании. В силу этого Евклид не может говорить о фигурах, которые невозможно построить циркулем и линейкой. Например, он не может утверждать существование квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга), но может говорить о том, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров.

В школе по сей день решаются задачи на построение циркулем и линейкой: деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра к данной прямой через данную точку и т. д. Следует, однако, отметить некоторое отличие между использованием циркуля ныне и в античности.

Самое первое предложение «Начал» звучит так: «На данной ограниченной прямой (мы бы сказали – на данном отрезке) построить равносторонний треугольник». Это построение, действительно, и по сей день представляется одним из самых простых

А вот следующее способно ввести в недоумение: «От данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Современный школьник и не догадывается, что для этого нужно решать какую-то специальную задачу. Это сейчас одна из элементарных операций: установить раствор циркуля между двумя заданными точками и перенести ножку циркуля в нужную точку.

Но дело в том, что Евклид рассматривает использование циркуля иначе, чем современный школьник. По Евклиду, использовать циркуль можно только для проведения окружности с данным центром и радиусом, уже отложенным от данной точки, то есть, фактически, для проведения окружности с данным центром через данную точку (постулат 3). А вот переносить циркулем отрезки нельзя. Дело в том, что у древних греков циркуль пришел на смену веревке, один конец которой привязывался к колышку, а другим, натягивая, можно было прочертить окружность с центром в этом колышке и радиусом, равным всей веревке или какой-то ее части.

 

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки.

Я считаю эту тему актуальной, потому что очень полезно изучать методы решений данных задач древними учёными, так как большинство методов и способов решений различных задач сохранились и до наших дней и используются в современной математике.

Моя задача:  Изучить научно – историческую  литературу по теме; подбор соответствующих теме проекта задач и их доказательство; показать красоту, занимательность и практичность решения задач на  построение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из истории числа

Задачу об определении отношения длины окружности к её диаметру исторически трудно отделить от задачи  «квадратуры  круга», т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу. Возможно, что последняя по времени возникла ранее первой, так как говорить о сознательных поисках отношения, длины окружности к диаметру, хотя бы у древних египтян и вавилонян, едва ли возможно, в то время как вопрос о нахождении площади круга по его диаметру явно поставлен в некоторых задачах, содержащихся в древнейших египетских папирусах.

Приведём текст задачи из папируса Ахмеса (около 2000 до н. э.).

«Дано круглое поле диаметром 9 мер. Каково содержа­ние его поверхности?»

Здесь же рядом даётся и решение этой задачи. «Вычти из диаметра ⅟₉ его, т. е. единицу, остаток 8 возьми восемь раз. Получишь 64. Это и будет поверхность данного поля».

Таким образом, площадь круга с диаметром в 9 мер оказалась равной 64 квадратным мерам. Возможно, что решение указанной задачи по времени является одной из первых попыток решить задачу о квадратуре круга.

Обозначив диаметр круга через d, мы, следуя за древ­неегипетскими математиками, получим для площади круга формулу

 

S₀ = (8/9d)² = 64/81d²

 

Это даёт нам возможность найти египетское приближение числа , употребляемого около 4000 лет назад. Если

То

 

Таким образом, египтяне, не становясь на путь созна­тельных поисков отношения длины окружности к диа­метру, подошли к такому приближению числа , которое разнится от нашего обычного приближения (3,14) только во втором десятичном знаке.

Нет сомнения, что вопрос о квадратуре круга был решён древнеегипетскими математиками чисто опытным путём. Можно, например, предположить, как это делают некоторые историки математики, что круг и квадрат со стороной, равной диаметру, египтяне покрывали сплош­ным слоем семян (зёрен) в один ряд. Простой подсчёт числа семян на каждой из этих фигур сразу убеждал производя­щих опыт, что на площади квадрата семян больше, чем на площади круга. Постепенно уменьшая сторону квадрата и всё время повторяя тот же опыт с семенами, они пришли к такому выводу, что число зёрен на площади квадрата будет совпадать с числом зёрен на площади круга только в том случае, если сторону квадрата взять равной ⁸/₉ дли­ны диаметра круга и, следовательно, в этом слу­чае площади этих фигур будут равны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача о квадратуре круга

Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавших умы людей на протяжении 3-4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга, то есть о построении с  помощью циркуля и линейки  квадрата,  равновеликого данному кругу. Если обозначить радиус круга через r, то речь будет идти о построении квадрата, площадь которого равна r², а сторона равна r √. Теперь известно, что число  - отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,141592… Можно вычислить приближенное значение  (и корня квадратного из ), удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала принципиальная его сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построение с помощью циркуля и линейки?

Следы задачи можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственно постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V века до н.э. В своем произведении «О изгнании» Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500-428 до н.э.), находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей квадратуры круга. В комедии «Птицы» (414 г. до н.э.) знаменитый греческих поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста астронома Метона следующие слова:

«Возьму линейку, проведу прямую

И мигом круг квадратом обернется,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!»…

 

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярной в Греции.

Один из современников Сократа, софист Антифон, был одним из тех, кто пытался решить задачу о квадратуре круга. По поводу решения задачи о квадратуре круга Анти­фоном Евдем пишет: «Начертав круг, Антифон вписал в него такой правильный многоугольник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квад­рат. Потом он раз­делил каждую сторону квадра­та пополам и через точки деле­ния провёл прямые, перпенди­кулярные к сторонам, до пересечения с окружностью. Очевид­но, эти прямые делят сегменты круга на две равные части. Далее он соединил получен­ные точки с концами сто­рон квадрата, так что полу­чились четыре треугольника, и вся образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником». Тем же способом деля сторону правильного вписанного восьмиугольника, потом шестнадцатиугольника и т. д., он получает многоугольник с числом сторон вдвое большего числа. «Посту­пая так, пока не будет исчерпан весь круг, он заключает, что, наконец, будет вписан многоугольник, периметр кото­рого можно рассматривать как длину окружности».

Таким образом, Антифон полагал, что путём последо­вательного удвоения числа сторон вписанного многоуголь­ника можно в конце концов дойти до окружности круга и точно определить её длину или площадь ограничиваемого ею круга.

Однако уже Аристотель указал, что это будет только приближенное, но не точное решение задачи, так как никогда многоугольник не может совпасть с кругом.

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V века до н.э. Гиппократ Хиосский. У многих, занимавшихся этой задачей, возникло сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры, известные под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром ВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник ВАС (ВА=АС). На АВ и АС, как на диаметрах, описываются полуокружности. Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченные круговыми дугами, и называются «луночками».

По теореме Пифагора имеем:

                                 ВС² = АВ² + АС² = 2АС²                                    (1)

Отношение площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров, которое в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора АОС равна площади полукруга, построенного на диаметре АС. Если из  обеих этих равных площадей вычесть общую площадь сегмента АСЕ, то и получим, что площадь треугольника АОС равна площади луночки ADCE или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника ВСА. Эту теорему, легко обобщаемую для луночек, построен­ных на катетах прямоугольного треугольника, Гиппократ распространил и на луночки, построенные на сторонах правильного вписанного шестиугольника, что неверно.

Не заметив этой ошибки, Гиппократ делает попытку найти квадратуру круга. Рассмотрим ход его рассуждений.

Пусть АВ—сторона правильного вписанного шести­угольника, A₁B₁=AB. Площадь полукруга с диаметром AD равна, сумме площадей четырёх полукругов с равными диаметрами АВ, ВС, CD и A₁B₁). S трапеции ABCD = S полукруга с диаметром АВ без 3S сегмента АМВ =4S_IV —3S сегмента AMB= S_IV +3 (S_IV —S сегмента AMB) = S_IV  +3S луночки.

Отсюда S_IV = S трапеции ABCD — 3S луночки.

Допуская, что луночки I, II. и III имеют квадратуру, мы должны допустить, что и полукруг IV также имеет её.

Евдем, разбирая решение задачи о квадратуре круга данное Гиппократом, замечает:

«Трактование задачи, действительно, гениально, но ошибочное заключение происходит вследствие допущения такого положения, которое не доказано вообще; не для всякой луночки существует квадратура; она существует для луночки, которая опирается на сторону квадрата, вписанного в круг; луночка же в данном вопросе опирает­ся на сторону правильного вписанного шестиугольника».

 

Многие из греческих математиков: Анаксагор (V в. до н.э.), Антифон (V в. до н.э.), Д.ей но страт (IV в. до н. э.), Гиппократ (V в. до н. э.), Б р и з он (V в. до н. э.) и другие, стремились решить эти задачи. Некоторые, из них удачно справились с ними, использовав при построениях, кроме циркуля и линейки, и другие приборы, и вместо окружности иные кривые. Но их решения были отвергнуты школой Платона как решения «механические».

Платон и его школа позволяли для выполнения гео­метрических построений брать в руки только два инстру­мента: циркуль и линейку, и отвергали любой другой инструмент. Такое требование привело к появлению в геометрии так называемых «невозможных задач», т. е. задач, которые не могут быть решены с помощью только указанных приборов.

Ограничения, накладываемые школой Платона на вы­бор механизмов при выполнении геометрических построений, нам кажутся сейчас необоснованными. Мы в настоящее, время приветствуем решение задачи любыми средствами, лишь бы это решение было правильным. Но есть и иная сторона в этом вопросе. Если бы во времена Платона было допущено введение произвольного числа инструментов для решения задач на построение, то, не были бы предприняты многие исследования в области  «невозможных задач»; эти исследования часто приводили к необходимости создания новых методов в математике и указывали различные пути её дальнейшего развития. «Механические» решения, задач о квадратуре круга представляют большой
интерес.

Одним из таких решений было решение, которое дал Дейнострат. О жизни и работах Дейнострата

мы знаем очень мало. Известно, что он был учеником Платона и что, применив особую кривую, кв а д р а т р и с у, сумел построить квадрат, равновели­кий данному кругу.

Прежде всего познакомимся с кривой, которая вошла в математику под названием квадратрисы.

Пусть  мы имеем квадрат ABCD. Представим

себе, что сторона АВ равномерно вращается около точки А, как центра, и конец В её описывает дугу ВD: Одновремен­но с началом вращения радиуса АВ начинает перемещаться вниз сторона ВС квадрата также равномерно и параллель­но самой себе. Когда вращающийся радиус АВ совместит­ся со стороной АО, ВС также совместится с ней. Предста­вим ещё, что при этих двух одновременных движениях всё время отмечаются точки пересечения движущегося вниз отрезка ВС с вращающимся радиусом АВ. Геометри­ческое место указанных точек пересечения и есть квадратриса ВЕ. На рисунке построены скачала отдельные точки М₁, М₂, ...этой кривой, для чего прямой угол BAD разделён на 8 равных частей и на столько же равных частей разделена сторона квадрата АВ. Через концы отрез­ков, полученных на стороне АВ, проведены прямые В₁С₁, В₂С₂, ...,параллельные ВС, и отмечены точки М₁, М₂,... пересечения их радиусами, делящими угол BAD на восемь равных частей. Соединив эти точки плавной кривой; мы и получим квадратрису BE. Её основное свойство, вытекающее из построения, очевидно, таково:

 

Посмотрим теперь, как с помощью квадратрисы выпрямить дугу окружности. Для этого докажем теорему.

Если А — центр дуги BFD с радиусом АВ, ВМЕ-квадратриса, то имеет место соотношение

Где l — длина дуги BFD.

Докажем эту теорему Методом от противного, следуя в данном случае за греческим математиком Паппом, жив­шим в Александрии в III в. н. э. Папп в своём сочинении «Математические коллекции» собрал все замечательные от­крытия в области геометрий, сделанные до него, и, в част­ности, рассказал об историй трёх знаменитых задач древно­сти: трисекций угла, удвоения куба и квадратуры круга.

Рассмотрим это доказатель­ство.

BFD - дуга окружности с  центром в вершине А квадрата ABCD, BE - квадратриса. Пока­жем, что отношение не может быть ни больше и ни меньше отношения                                     

Допустим, что

                                                                                   (1)

где АК > АЕ. Из вершины А, как из центра, радиусом АК проведём дугу KL, которая пересечёт квадратрису BE в точке М. Тогда

 

                                                                            (2)

Сравнивая равенства (1) и (2), получим:

 

 KML = АD = АВ.                                (3)

 

Через точку М пересечения дуги KL с квадратрисой проведём радиус AF дуги BFD. Из свойства квадратрисы следует, что

 

                                                                                     (4)

Из чертежа также следует, что

                                                                                (5)

Заменив, на основании равенства (3),  KML  через АВ, равенство (5) перепишем так:

 

                                                                  (6)

 

 

И, наконец, сравнивая равенства (4) и (6), придём к равенству

 

АМ₁  =

 

Если из точки М на сторону АD опустить перпенди­куляр MQ, то АМ₁ = MQ  и, следовательно.

 

MQ =

 

Последнее равенство невозможно, поэтому наше предположение,   что ,   где АК > АЕ, неверно.

Итак, мы доказали, что отношение  не может быть меньше отношения

Теперь докажем, что оно не может быть и больше отношения

Допустим обратное, что

                                                                                                    (1’)

Где AQ < АЕ. Из вершины A, как из центра, проводим дугу QR, которая пересечёт радиус AF в точке S. Тогда

                                                                                       (2’)

Сравнивая равенства (1') и (2'), имеем:

 

 QSR = AD = AB.                                          (3’)

 

 По свойству квадратрисы:

 

                                        (4’)

С другой стороны,

 

                                                                                           (5’)

 

заменяя, на основании (3'),  через AB,_;получим:

                                                                                           (6’)

 

Сравнивая (6') и (4'), имеем:

MQ = QS.

 

Последнее равенство невозможно; следовательно, не­возможно и равенство (1’) и отношение  не может быть больше отношения . Теорема доказана. Таким образом, задача о выпрямлении дуги ВD окруж­ности свелась к нахождению точки Е квадратрисы Найдя ее, мы можем выпрямить дугу BD, построив третью про­порциональную к AD иAЕ. На чертеже  такое выпрям­ление дуги сделано.

 

Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом , и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

 

 

 

 

Задача о трисекции угла

Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла (от латинских слов tria — три и sectio — рассечение, разрезание), то есть о разделении угла на три равные части с помощью цир­куля и линейки. В некоторых частных случаях это легко удается сделать. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN. Откладываем на полупрямой AN произвольный отрезок АС, на котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как угол CAB равен 60°, то угол BAM = 30°. Построив биссектрису AD угла CAB, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла: NAD, DAB и ВАМ.

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в , n — натуральное число), однако не в общем случае, то есть любой угол невозможно разделить на три равные части с мощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в первой половине XlX в.

Задача о трисекции угла становится разрешимой и в общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью других инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н. э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н. э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед (II в. до н. э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой  Никомеда, и дал опи­сание прибора для черчения этой кривой.

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается, что если продол­жить хорду АВ окруж­ности радиуса r на отрезок ВС = r и провести через С диа­метр FE, то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно, на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, имеем:

     АОЕ = ОАВ +АСО, ОАВ = АВО, АСО=ВОС,

значит:

     АОЕ = 3 ВОС.

Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деле­ния на три равные части угла АОЕ. Описав окружность с цен­тром в О и радиусом ОЕ = OA, проводим диаметр EF. Линейку СВ. на которой нанесена длина СВ радиуса r (например, с помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы ее точка С скользила по продолжению диаметра EF, а сама линейка всё время проходила бы через точку А окружности, пока точка В линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла АОЕ. Как видно, в этом приеме используется вставка отрезка СВ между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка СВ прошло через заданную точку А окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейка с де­лениями, которая дает длину определенного отрезка.

Ещё один способ решения задачи о трисекции угла при помощи линейки с двумя насечками  предложил Кемпе:

Пусть дан какой – либо угол ABC; и пусть на лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, P  и  Q .

Построение.

На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA = PQ. Делим ВА пополам в точке М; проводим линии     и .

Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью часть угла В.

Доказательство:

 как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N  соединим с М прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника PQM, а потому PN = NМ, а, следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и значит

Внешний же   

Вместе с тем                  .

Значит,                            

Итак:         

Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.

Задача о трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. Р. Декарт высказал предположение о неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки без засечек. Это утверждение было доказано в 1837 году Ванцелем.

В процессе решения задачи о трисекции угла было совершено несколько важных открытий в математике:

 

В 15 веке самаркандский ученый применил трисекцию угла к составлению весьма точных тригонометрических таблиц.

В 16 веке французский математик Ф. Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения.

 

 

 

Задача об удвоении куба.

 

Удвоение куба — так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача наряду с двумя пер­выми сыграла большую роль в развитии математических ме­тодов.

Задача состоит в построении куба, имеющего объем, вдвое больший объема данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должна удовле­творять уравнению:

х³ = 2а³,   или   х = а.

 

Задача является естественным обобщением аналогичной за­дачи об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а², служит отрезок длиной а, то есть диагональ данного квадрата со стороной а. Наобо­рот, удвоение куба — задача не простая, так как ребро куба, объем которого равен 2а³, то есть отрезок х, равный а, не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

Задача об удвоении куба носит также название «Делосской задачи» в связи со следующей легендой.

На острове Делос (в Эгейском море) распространилась эпи­демия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавиться от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что за­дача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построи­ли новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким обра­зом они увеличили объем не 2 раза, а в 8 раз. Чума еще больше усилилась и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию...» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенника не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Задачей удвоения куба еще в V в. до н. э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних  пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, Ь, то есть найти х и т которые удовлетворяли бы следующей непрерывной пропорции'

а : х = х : у = у : b.

Суть одного механического решения за­дачи об удвоении куба, относящегося к IV в. до н. э., основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла  отрезок  OA = а, где а — длина ребра куба, а на другой его стороне — отрезок ОВ = 2а. На продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки М и N, что­бы AM и BN были перпендикулярны к MN; тогда ОМ (х) и ON (у) будут двумя средними пропорциональными между отрезками АО и ВО. Для этого устраивает­ся угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке. Имеем:

АО : ОМ = ОМ: ON=ON :ОВ, или

 а : х = x : у = у : 2а.

Отсюда: х² = ау,   у² = 2ах,

или х⁴ = а²у²,   а²у² = 2а³х,

то есть x⁴ = 2а³х,   х³ = 2а³,

это значит, что отрезок ОМ — искомый.

Архит Тарентский дал интересное стереометрическое реше­ние Делосской задачи. После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герои, Папп и другие.

 

 

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

 

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

·        Линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины.

·        Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1.      Выделить точку из множества всех точек:

1.      произвольную точку

2.      произвольную точку на заданной прямой

3.      произвольную точку на заданной окружности

4.      точку пересечения двух заданных прямых

5.      точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности

6.   точки пересечения/касания двух заданных окружностей

       2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:

1.   произвольную прямую

2.   произвольную прямую, проходящую через заданную точку

3.   прямую, проходящую через две заданных точки

 3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:

1.   произвольную окружность

2.   произвольную окружность с центром в заданной точке

3.   произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя  заданными точками

4.   окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

 

Рассмотрим несколько задач на построение.

 

Задача №1

Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А₁В₁С₁, подобный треугольнику АВС, площадь которого в два раза больше площади треугольника АВС.

Дано:

∆АВС ~∆А₁В₁С₁

2S_ABC =  S_А1В1С1

Построить:

∆А₁В₁С₁

Анализ:

Так как ∆АВС ~∆А₁В₁С₁, значит  = k²

 =

k² =

k =  =

Построение:

Строим ∆А₁В₁С₁, стороны которого в больше сторон ∆АВС.

Для этого, чтобы увеличить сторону АС в  раз, необходимо построить прямоугольный равнобедренный треугольник, катетом которого является отрезок, длины АС.

Задача № 2

Даны три отрезка, длины которых соответственно равны a, b и c. Постройте отрезок, длина которого равна

Дано:

Отрезки a,b,c

Построить:

Отрезок х =

Анализ:

х =

ab =xc

Таким образом, нам нужно построить отрезок х, опираясь на свойство подобных треугольников (стороны одного подобного треугольника пропорциональны сторонам другого подобного треугольника). Следовательно, чтобы найти отрезок х, нам нужно построить подобные треугольники.

Построение:

 Из точки В проведём лучи ВС и АВ. На лучах ВС и АВ отметим точки С и А, отрезки СВ и АВ соответственно равны отрезкам с и b. Так же на луче ВС мы отметим точку С₁, где ВС₁ равно отрезку а. Соединив точки С и А мы получим произвольный треугольник АВС. Чтобы построить подобный ему треугольник А₁ВС₁, мы построим прямую А₁С₁, параллельную АС. Треугольники АВС и А₁ВС₁ будут подобны (по двум углам: так как угол В – общий, а соответственные углы ВСА и ВС₁А₁ будут равны), следовательно:

 =

Или

Таким образом, отрезок А₁В будет равен х.

 

 

Задача № 3

Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

Дано:

A, B, C – середины сторон ∆А₁В₁С₁

Построить:

∆А₁В₁С₁

Анализ: АС – средняя линия ∆А₁В₁С₁

Значит  АС║ В₁С₁

Аналогично АВ║ А₁С₁

Построение:

Отметим на плоскости три любые точки А, В, С. Соединив точки между собой получим произвольный треугольник АВС.

Через точки A, B, C строим прямые a, b, c, параллельные сторонам треугольника АВС.

а ║BC

b ║ AC

c ║ AB

Прямые a, b, c будут попарно пересекаться друг с другом в точках  А₁В₁С₁, Получившийся треугольник А₁В₁С₁ будет искомым треугольником, так как точки А, В и С будут являться серединами его сторон, исходя из параллельности прямых.

∆А₁В₁С₁ – искомый.

Задача № 4

Постройте треугольник по стороне и медианам, проведенным к двум другим сторонам.

Дано:

Отрезки a, m₁, m₂

АВ = а

АА₁ = m₁

ВВ₁ = m₂

АВ – сторона ∆АВС

АА₁, ВВ₁ – медианы, проведённые к сторонам ВС и АС соответственно

Построить:

∆АВС

Анализ:

Мы знаем свойство медиан треугольника.

 

Медианы АА₁ и ВВ₁ делятся точкой пересечения О в отношении 2:1, считая от вершины:

АО : ОА₁ = 2:1

ВО : ОВ₁ = 2:1

Построение:

Разделим отрезки m₁ и m₂ на 3 равные части. (см. рисунок)

Построим окружность (А; R₁ =  m₁) и окружность (B; R₂ =  m₂), которые будут пересекаться в точке О.

Продолжим АО так, чтобы АА₁ = m₁, ВВ₁ = m₂

ВА₁ АВ₁ = С

∆АВС – искомый.

Задача № 5

Даны два отрезка a и b. Построить отрезок длины х =

Дано:

отрезки а и b

Построить:

отрезок х

Анализ и построение:

Построим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна отрезку b, а катет – отрезку a. Для этого возьмём отрезок а и построим перпендикулярно ему прямую АС. А затем проведём окружность( B; b).

Построим перпендикуляр к стороне ВС, проведя её из угла А.

Таким образом, катет прямоугольного треугольника АВС, равный отрезку а, будет средним пропорциональным для ВМ и ВС.

 

АВ =

Или

a =

a² = xb

х =

Таким образом, отрезок ВМ треугольника АВС будет равен отрезку х =  .

 

Заключение

 

Решение знаменитых задач древности долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия примене­ния только циркуля и линейки. Не поддаваясь решению, эти проблемы привели к созданию новых весьма замечательных на­правлений математической мысли. Одним из фундаментальных результатов является введение числа  и доказательство его трансцендентности. Сам же процесс доказательства невозможности построения 3-х классических задач древности показывает, что можно строго формализовать и решить многие задачи имеющие самую разнообразную природу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

Список использованной литературы:

 

1.      А.А. Колосов « Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах». Учпедгиз 1963

2.      Г.И.Глэйзер «История математики в школе» Москва Просвещение 1964

3.       

Список использованных источников информации:

 

1.      http://www.erudition.ru/referat/ref/id.34241_1.html

2.      http://www.referat-web.ru/content/referat/mathematics/mathematics214.php

3.      http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EE%F1%F2%F0%EE%E5%ED%E8%E5_%F1_%EF%EE%EC%EE%F9%FC%FE_%F6%E8%F0%EA%F3%EB%FF_%E8_%EB%E8%ED%E5%E9%EA%E8

4.      http://www.dep805.ru/education/ma/OldProblem/introduction.htm