Программа прикладного курса "Методы решения уравнений и их систем"

ПРОГРАММА

прикладного курса

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

для учащихся 11 классов

всего – 34 ч., по 1 ч. в неделю

Осипова Л. Г.,

учитель математики КГУ ОШ №61

Рецензент:

Бөлен Аманкелды профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики Каз НПУ им Абая, Директор гимназии №107 учитель математики высшей категории Камзина Гульнар Сабыржановна

 Пояснительная записка

Программа прикладного курса «Методы решения уравнений и их систем» предназначена для учащихся 11 классов как общеобразовательных школ, так и гимназий, и лицеев.

Актуальность данной программы:

Программа включает практически все виды уравнений и методы их решения, необходимые учащимся для подготовки к ЕНТ и поступлению в ВУЗ. Курс даёт возможность учащимся систематизировать все виды уравнений, изученные в школьной программе и увидеть взаимосвязь между методами их решения, применение в других дисциплинах общеобразовательной программы школы, а также углубить знания по теме «Уравнения». Программа предусматривает увеличение активных форм работы, вовлечение учащихся в практическую, коммуникативную, исследовательскую деятельность, направлена на развитие интеллекта обучающихся, умений логически рассуждать, использовать знания методов решения уравнений и их систем при решении практических задач предметов естественно-математического цикла.

Цели программы «Методы решения уравнений и их систем»:

·           Создание условий для усвоения учащимися различных методов решения всех видов уравнений и их систем.

·           Приобретение практических навыков, умений выбирать необходимый метод при решении уравнений, формирование математического мышления на основе общечеловеческих ценностей.

·           Обеспечение качественного усвоения методов решения уравнений и их систем через вовлечение учащихся в математическую деятельность, направленную на развитие интеллекта, математических способностей интуиции.

Задачи курса:

·           Развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания в практической деятельности в коллективе;

·           Формирование устойчивого интереса к решению уравнений для дальнейшей самостоятельной деятельности при подготовке к ЕНТ и поступлению в ВУЗы;

·           Показ значимости уравнений для решения задач в смежных дисциплинах на современном уровне и для дальнейшего обучения;

·           Углубление в знаниях методов решения уравнений школьной программы и знаний дополнительных методов;

·           Усвоение новых методов и систематизация знания решения уравнений и их систем, формирование познавательных интересов и интуиции при выборе метода;

·           Содействие основательной подготовке старшеклассников к ЕНТ;

·           Развитие навыков решения уравнений в нестандартных ситуациях и при решении сложных задач, расширение представлений, учащихся о сферах применения уравнений;

·           Развитие умения анализировать весь комплекс условий задачи, составлять верные соотношения между заданными и искомыми величинами и записывать их в виде уравнений и использовать знания в практической деятельности;

·           Развитие логического мышления, творческих способностей учащихся, интереса к предмету;

·           Воспитание культуры общения, самостоятельности при составлении тестов и презентаций, самооценки и взаимооценки, уважения к точным наукам, патриотических чувств;

·           Формирование умений взаимодействия в группе, выражать себя, понимать других и использования при необходимости средств информации и справочной литературы;

·           Приобщение к ценностям, накопленным математической наукой в ходе её развития;

·           Ознакомление с уравнениями как с ценностью, выработкой понимания того, что уравнения являются инструментом овладения естественными науками для познания мира.

Объём курса «Методы решения уравнений и их систем» составляет: 11 класс: 1час в неделю, всего 34 часа.

В процессе обучения осуществляются интеграционные связи со следующими учебными дисциплинами:

·           Физика: Составление и решение дифференциальных уравнений: Охлаждение тела. Нахождение закона движения по его скорости. Радиоактивный распад. Заряд конденсатора. Падение с парашютом. Равномерно ускоренное движение. Колебание пружины.

·           Химия: Составление и решение дифференциальных уравнений: Закон перехода вещества в раствор. Концентрация раствора. Химические реакции.

·           Биология: Составление и решение дифференциальных уравнений: Увеличение количества фермента. Изолированная колония организмов. Динамика численности популяции. Модель сезонного роста.

·           Геометрия: Графическое решение уравнений и их систем. Методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

·           Информатика: Использование мультимедийных средств для иллюстрации решений уравнений. Создание тестов и презентаций по теме: «Уравнения».

·           История: Общие сведения об уравнениях. Зачем нужны уравнения. Виет, Гаусс, Безу и их вклад в математику.

·           Экономика: Составление и решение дифференциальных уравнений: Непрерывный рост населения или его убывание. Регулируемый рост населения. Количество населения на определённую дату. Истощение ресурсов. Текучесть рабочей силы. Эффективность рекламы.

Констатирующая (содержательная) часть

Содержание программы «Методы решения уравнений и их систем» включает теоретический материал по разделам :«Методы решения рациональных алгебраических уравнений и их систем», «Методы решения иррациональных уравнений и их систем», «Методы решения показательных уравнений и их систем», «Методы решения логарифмических уравнений и их систем», «Методы решения тригонометрических уравнений и их систем», «Текстовые задачи на составление уравнений», «Дифференциальные уравнения», «Защита проектов».

1.      «Методы решения рациональных алгебраических уравнений. (4 ч)». Зачем нужны уравнения. Как составлять уравнения. Общие сведения об уравнениях. Равносильные уравнения. Корни уравнения. Основные приёмы решения уравнений. Классификация уравнений. Линейные уравнения с одной переменной. Приведение уравнения к линейному путём простейших преобразований. Квадратные уравнения. Биквадратное уравнение. Решение квадратного уравнения с помощью: формул корней, по теореме обратной теореме Виета, используя приём «переброски» коэффициента «а» в свободный член, формула корней для чётного коэффициента в, корни уравнения сумма коэффициентов которого равна нулю, корни уравнения в котором «а+в-с=0». Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной. Решение дробно-рациональных уравнений. Нестандартные методы. Уравнения с параметрами. Решение уравнений высших степеней. Методы решения систем алгебраических уравнений: Метод подстановки. Метод алгебраических действий. Метод введения новых переменных. Метод разложения на множители. Системы, содержащие однородные уравнения. Метод Гаусса. Графическое решение уравнений и их систем. Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля. Метод, основанный на раскрытии модуля по определению. Метод промежутков. Метод введения новой переменной. Метод сведения исходного уравнения к равносильному уравнению. Решение нелинейных уравнений. Теорема Безу.

2.      «Методы решения иррациональных уравнений и их систем (4 ч)» Метод возведения в степень обеих частей уравнения. Метод введения новой переменной. Метод разложения на множители. Метод умножения на сопряжённое. Метод перехода к уравнению с модулем. Метод анализа уравнения. Использование монотонности функции. Методы решения иррациональных уравнений, содержащих корни высших степеней. Методы решения систем иррациональных уравнений: Метод подстановки. Метод алгебраических действий. Метод введения новых переменных. Метод разложения на множители.

3.      «Методы решения показательных уравнений и их систем (4 ч)» Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию. Метод введения новой переменной. Метод разложения на множители. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Дополнительные методы решения показательных уравнений. Методы решения систем показательных уравнений: Метод введения новых переменных. Метод приведения к одному основанию.

4.      «Методы решения логарифмических уравнений и их систем (5 ч)» Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма. Логарифмические уравнения, решаемые с помощью основного логарифмического тождества. Метод введения новой переменной. Метод потенцирования. Метод разложения на множители. Метод приведения логарифмов к одному основанию. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Методы решения систем логарифмических уравнений: Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Показательно-логарифмические уравнения и их системы.

5.      «Методы решения тригонометрических уравнений и их систем (5 ч)» Решение простейших тригонометрических уравнений. Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной. Метод введения вспомогательного угла. Решение простейших тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются однородными тригонометрическими функциями. Решение уравнений с использованием ограниченности функции. Уравнения с обратными тригонометрическими функциями. Методы решения систем тригонометрических уравнений: Метод подстановки. Метод алгебраических действий. Метод введения новых переменных. Дополнительные методы решения систем тригонометрических уравнений.

6.      «Текстовые задачи на составление уравнений (5 ч)» Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий. Задачи на движение. Задачи на работу и производительность. Задачи на концентрацию и процентное содержание. Задачи на проценты.

7.      «Дифференциальные уравнения. 4 часа» Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальные уравнения в физике: Охлаждение тела. Нахождение закона движения по его скорости. Радиоактивный распад. Заряд конденсатора. Падение с парашютом. Равномерно ускоренное движение. Колебание пружины. Дифференциальные уравнения в химии: Закон перехода вещества в раствор. Концентрация раствора. Химические реакции. Дифференциальные уравнения в биологии: Увеличение количества фермента. Изолированная колония организмов. Динамика численности популяции. Модель сезонного роста. Дифференциальные уравнения в экономике: Непрерывный рост населения или его убывание. Регулируемый рост населения. Количество населения на определённую дату. Истощение ресурсов. Текучесть рабочей силы. Эффективность рекламы.

8.      «Защита проектов (2 ч)»

9.      «Итоговое тестирование (1ч)»

Нормативная часть

Тематический план

Календарно-тематическое планирование

Предметные результаты уровня подготовки учащихся.

Учащиеся должны знать:

1.         Общие сведения об уравнениях.  Зачем нужны уравнения. Как составлять уравнения. Определение равносильных уравнений. Определение корней уравнения. Основные приёмы решения уравнений. Классификацию уравнений. Определение линейного уравнения с одной переменной. Приведение уравнения к линейному, путём простейших преобразований. Определение квадратного уравнения. Виды квадратных уравнений. Формулы корней квадратного уравнения. Теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета. Приём «переброски» коэффициента «а» в свободный член, формулу корней для чётного коэффициента «в», корни уравнения сумма коэффициентов которого равна нулю, корни уравнения в котором «а+в-с=о». Алгоритмы: Метод разложения на множители. Определение биквадратного уравнения. Метод введения новой переменной. Решение дробно-рациональных уравнений. Нестандартные методы. Определение уравнения с параметрами. Решение уравнений высших степеней. Алгоритмы методов решения систем алгебраических уравнений: Метод подстановки. Метод алгебраических действий. Метод введения новых переменных. Метод разложения на множители. Системы, содержащие однородные уравнения. Метод Гаусса. Графическое решение уравнений и их систем. Алгоритмы методов решения уравнений с переменной под знаком модуля: Метод, основанного на раскрытии модуля по определению. Метод промежутков. Метод введения новой переменной. Метод сведения исходного уравнения к равносильному уравнению. Алгоритм решение нелинейных уравнений. Теорему Безу.

2.         Алгоритмы методов решения иррациональных уравнений и их систем: Метод возведения в степень обеих частей уравнения. Метод введения новой переменной. Метод разложения на множители. Метод умножения на сопряжённое. Метод перехода к уравнению с модулем. Метод анализа уравнения. Использование монотонности функции. Методы решения иррациональных уравнений, содержащих корни высших степеней. Алгоритмы методов решения систем иррациональных уравнений: Метод подстановки. Метод алгебраических действий. Метод введения новых переменных. Метод разложения на множители.

3.         Алгоритмы методов решения показательных уравнений и их систем: Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию. Метод введения новой переменной. Метод разложения на множители. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Дополнительные методы решения показательных уравнений. Алгоритмы методов решения систем показательных уравнений: Метод введения новых переменных. Метод приведения к одному основанию.

4.         Алгоритмы методов решения логарифмических уравнений и их систем: Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма. Логарифмические уравнения, решаемые с помощью основного логарифмического тождества. Метод введения новой переменной. Метод потенцирования. Метод разложения на множители. Метод приведения логарифмов к одному основанию. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Алгоритмы методов решения систем логарифмических уравнений: Метод потенцирования. Метод введения новой переменной.

5.         Алгоритмы методов решения тригонометрических уравнений и их систем: Формулы корней простейших тригонометрических уравнений и частные случаи решения. Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной. Метод введения вспомогательного угла. Решение простейших тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются однородными тригонометрическими функциями. Решение уравнений с использованием ограниченности функции. Уравнения с обратными тригонометрическими функциями. Алгоритмы методов решения систем тригонометрических уравнений: Метод подстановки. Метод алгебраических действий. Метод введения новых переменных. Дополнительные методы решения систем тригонометрических уравнений.

6.         Алгоритмы решения задач на составление уравнений: Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий. Задачи на движение. Задачи на работу и производительность. Задачи на концентрацию и процентное содержание. Задачи на проценты. 

7.         Определение дифференциального уравнения. Формулы дифференциальных уравнений в физике: Охлаждение тела. Нахождение закона движения по его скорости. Радиоактивный распад. Заряд конденсатора. Падение с парашютом. Равномерно ускоренное движение. Колебание пружины. Формулы дифференциальных уравнений в химии: Закон перехода вещества в раствор. Концентрация раствора. Химические реакции. Дифференциальные уравнения в биологии: Увеличение количества фермента. Изолированная колония организмов. Динамика численности популяции. Модель сезонного роста. Формулы дифференциальных уравнений в экономике: Непрерывный рост населения или его убывание. Регулируемый рост населения. Количество населения на определённую дату. Истощение ресурсов. Текучесть рабочей силы. Эффективность рекламы.

Учащиеся должны уметь:

1.         Составлять уравнения. Классифицировать уравнения. Решать линейные уравнения с одной переменной. Приводить уравнения к линейному путём простейших преобразований. Решать квадратные уравнения всех видов. Решать биквадратные уравнения. Пользоваться формулами корней квадратного уравнения. Использовать теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета. Использовать приём «переброски» коэффициента «а» в свободный член, формулу корней для чётного коэффициента «в», корни уравнения сумма коэффициентов которого равна нулю, корни уравнения в котором «а+в-с=о». Решать уравнения: Методом разложения на множители. Методом введения новой переменной. Решать дробно-рациональные уравнения. Нестандартными методами. Решать уравнения с параметрами. Решать уравнения высших степеней. Решать системы уравнений: Методом подстановки. Методом алгебраических действий. Методом введения новых переменных. Методом разложения на множители. Системы содержащие однородные уравнения. Методом Гаусса. Графическим методом. Решать уравнения с переменной под знаком модуля: Методом, основанным на раскрытии модуля по определению. Методом промежутков. Методом введения новой переменной. Методом сведения исходного уравнения к равносильному уравнению. Решать нелинейные уравнений. Использовать Теорему Безу.

2.          Решать иррациональные уравнения и их системы: Методом возведения в степень обеих частей уравнения. Методом введения новой переменной. Методом разложения на множители. Методом умножения на сопряжённое. Методом перехода к уравнению с модулем. Методом анализа уравнения. Используя монотонность функции. Решать иррациональные уравнения, содержащих корни высших степеней. Решать системы иррациональных уравнений: Методом подстановки. Методом алгебраических действий. Методом введения новых переменных. Методом разложения на множители.

3.         Решать показательные уравнения и их системы: Методом приведения обеих частей уравнения к одному основанию. Методом введения новой переменной. Методом разложения на множители. Методом логарифмирования обеих частей уравнения. Дополнительными методами.  Решать системы показательных уравнений: Методом введения новых переменных. Методом приведения к одному основанию.

4.          Решать логарифмические уравнения и их системы: Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма. Логарифмические уравнения, решаемые с помощью основного логарифмического тождества. Методом введения новой переменной. Методом потенцирования. Методом разложения на множители. Методом приведения логарифмов к одному основанию. Методом логарифмирования обеих частей уравнения. Решать системы логарифмических уравнений: Методом потенцирования. Методом введения новой переменной.

5.         Решать тригонометрические уравнения и их системы: Простейшие тригонометрические уравнения. Методом разложения на множители. Методом введения новой переменной. Методом введения вспомогательного угла. Решать простейшие тригонометрические уравнения, левая и правая части которых являются однородными тригонометрическими функциями. Решать уравнения с использованием ограниченности функции. Решать уравнения с обратными тригонометрическими функциями. Решать системы тригонометрических уравнений: Методом подстановки. Методом алгебраических действий. Методом введения новых переменных. Дополнительными методами.

6.         Решать текстовые задачи на составление уравнений: Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий. Задачи на движение. Задачи на работу и производительность. Задачи на концентрацию и процентное содержание. Задачи на проценты. 

7.         Решать дифференциальные уравнения в физике: Охлаждение тела. Нахождение закона движения по его скорости. Радиоактивный распад. Заряд конденсатора. Падение с парашютом. Равномерно ускоренное движение. Колебание пружины. Дифференциальные уравнения в химии: Закон перехода вещества в раствор. Концентрация раствора. Химические реакции. Решать дифференциальные уравнения в биологии: Увеличение количества фермента. Изолированная колония организмов. Динамика численности популяции. Модель сезонного роста. Решать дифференциальные уравнения в экономике: Непрерывный рост населения или его убывание. Регулируемый рост населения. Количество населения на определённую дату. Истощение ресурсов. Текучесть рабочей силы. Эффективность рекламы.

8.         Защищать свои проекты.

9.         Решать тесты.

Личностные и системно-деятельные результаты:

Учащиеся должны осознавать: роль своей страны в мировом развитии; уважать культуру, традиции, историю народов, проживающих на территории Казахстана; иметь высокую культуру человеческого общения, способность к самообразованию; навыки сотрудничества в коллективе.

Системно-деятельностные результаты.

Учащиеся должны: уметь пользоваться справочными материалами, находить методы решения уравнений и их систем; иметь систему знаний об уравнениях при решении задач; уметь находить, анализировать, синтезировать, обрабатывать информацию; грамотно выполнять алгоритмические предписания; уметь пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять уравнения зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев; владеть техникой практических вычислений; уметь проводить аргументированные рассуждения, делать логически обоснованные выводы; методы проектирования, исследования; коммуникативные способности в учебной деятельности.

Информационно – методическая часть

Формы оценки знаний умений и навыков учащихся: Формативное оценивание, то есть оценивание для обучения и суммативное, то есть оценивание обучения. Первый вид оценивания – формативное оценивание «самооценка и взаимооценка» по разработанным критериям к каждому заданию, в зависимости от уровня сложности. На начальных этапах учебная деятельность оценивается и контролируется учителем, но постепенно действия оценивания и контроля заменяются самооцениванием и самоконтролем. Оценивание применяется на каждом занятии при создании презентаций, рефератов, составлении тестов, самостоятельном решении уравнений на уроке и дома, выступлении на семинарах, конференциях, конкурсах. Второй вид оценивания при завершении курса: защита презентаций-проектов по разработанным критериям вместе с учениками и итоговое тестирование.

Критерии оценивания тестов соответствуют критериям Государственного единого национального тестирования (ЕНТ): оценка «5» 21-25 баллов; «4» 12-20баллов; «3» 5-11баллов, «2» 1-4 балла.

Критерии оценивания: презентаций, рефератов, составленных тестов, самостоятельного решения уравнений на уроке и дома, выступления на семинарах, конференции, конкурсах:

Оценка «5» соответствует высокому уровню «знания-трансформации» (по В.П. Беспалько) усвоения материала: самостоятельное решение проблемных ситуаций, добывание новых знаний на основе системы ранее усвоенных, творческое решение практических и мыслительных уравнений и задач, применение оригинальных способов решения, моделирование, конструирование, проектной деятельности.

Оценка «4» соответствует обязательному уровню «знания-умения» (по В.П. Беспалько) усвоения материала: использование знаний и умений в нестандартной ситуации, перенос знаний. На этом уровне учащиеся систематически описывают, объясняют решения, методы, дают собственную оценку, интерпретацию усваиваемой информации, находят рациональные способы действий в решении нетиповых уравнений и задач, участвуют в проектной деятельности.

Оценка «3» соответствует обязательному уровню «Знания-копии типовой задачи» (по В.П. Беспалько) усвоения материала: понимание, запоминание и последующее воспроизведение в стандартной ситуации. На этом уровне учащийся даёт репродуктивное описательное определение понятий, закономерностей, решает типовые уравнения и задачи по алгоритму, применяет методы решения уравнений, проводит защиту реферата и демонстрацию презентации.

Оценка «2» соответствует уровню «Знания-знакомства» (по В.П. Беспалько) усвоения материала: предполагает восприятие новой информации, понимание, непроизвольное запоминание без установки на последующее воспроизведение. На этом уровне усвоения учащиеся могут идентифицировать вновь поступающую информацию с уже имеющейся, оценить уравнение, задачу, но не предполагается при этом решения уравнения или задачи, пояснения реферата или презентации.

Программа предусматривает межпредметные связи с геометрией, информатикой, физикой, химией, биологией, экономикой, историей.

Список использованной литературы

1.        Справочник по элементарной математике, М.Я. Выгодский, Москва «Наука» 1978г.

2.        Сборник задач по высшей математике, В.П. Миронский, Москва «Наука» 1978г

3.        Элементы математического анализа, С.М. Никольский Москва «Наука» 1989г.

4.        Углубленное изучение курса алгебры и начала анализа, М.Л. Галицкий Москва «Просвещение» 1986г.

5.        Учебник- тест для подготовки к ЕНТ МАТЕМАТИКА, Е.М. Базаров, Алматы «Китап» 2011г

6.        Технология разноуровнего обучения учащихся основной школы, Л.С. Конева, Е.А. Агалакова2002г.

7.        Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике, И.И. Баврин Москва «Просвещение» 2000г.

8.        Тысяча и одна задача по математике, А.В. Спивак Москва «Просвещение» 2002г.

9.        Учебник «Алгебра и начала анализа» и дидактические материалы 10 класс, А.Н.Шыныбеков, Алматы «Атамура», 2010г.

10.      Учебник «Алгебра и начала анализа» и дидактические материалы 11 класс, А.Н.Шыныбеков, Алматы «Атамура», 2011г.

11.      Математика справочные материалы, В.А.Гусев, А.Г.Мордкович, Москва «Просвещение»1990г.

12.      Математика для любознательных, И.С.Петраков, Москва «Просвещение» 2010г.

13.      За страницами учебника Математики, И.Я.Депман Москва «Просвещение» 1999г.

14.      Факультативный курс по математике решение задач 11класс, И.Ф.Шарыгин, Москва «Просвещение» 1991г.

15.      Дидактические материалы 10-11 класс, Л.О.Денищева, издательский дом «Генжер» 1995г.

16.      Учебник «Алгебра и математический анализ», Н.Я.Виленкин, Москва «Просвещение» 1993г.

17.      Учебник «Алгебра и начала анализа», А.Н.Колмогоров, Москва «Просвещение» 1990г.

Приложение

Темы тестов, презентаций, рефератов и проектов:

Равносильные уравнения. Классификация уравнений. Квадратное уравнение. Решение уравнений высших степеней. Уравнения с параметрами. Графическое решение уравнений и их систем. Методы решения рациональных алгебраических уравнений. Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля. Методы решения иррациональных уравнений. Методы решения показательных уравнений. Методы решения логарифмических уравнений. Методы решения тригонометрических уравнений. Текстовые задачи на составление уравнений. Дифференциальные уравнения.