Программа элективного курса для 10 класса "Планиметрия в ЕГЭ"

Управление общего и дошкольного образования

Администрации города Норильска

Муниципальное Бюджетное образовательное учреждение

 «Гимназия № 5»

РАССМОТРЕНО                                                    УТВЕРЖДАЮ:

на заседании НМС

МБОУ «Гимназия № 5»                                       директор

Протокол  №                                                        МБОУ «Гимназия № 5»

от «»        2013 г.                                                  

Председатель НМС:

зам. директора по УВР                                        

_______________

Программа

элективного курса

«Планиметрия в ЕГЭ»

10 класс

Автор-составитель:

учитель математики

МБОУ «Гимназия №5»

С.В.Докашенко

г. Норильск

 2013

Пояснительная записка

На протяжении всей истории человечества геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов. Современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии и ее новейших разделов: топологии, дифференциальной геометрии, теории графов, компьютерной геометрии и др.

 Огромна роль геометрии в математическом образовании учащихся. Известен вклад, который она вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учащихся. Курс геометрии обладает также чрезвычайно важным нравственным моментом, поскольку именно геометрия дает представление о строго установленной истине, воспитывает потребность доказывать то, что утверждается в качестве истины. Таким образом, геометрическое образование является важнейшим элементом общей культуры.

Этот неоспоримый факт находит отражение и в изменении содержания и структуры КИМов единого государственного экзамена по математике в сторону увеличения количества геометрических заданий: с 4 заданий из 27 в 2004 году до 6 заданий из 20 – в  2013 году. При этом геометрические задания представлены как на базовом (В₃, В₆, В_9, B₁₁), так и на повышенном (С₂, С₄) уровне.

Как показывает практика, геометрические задачи вызывают наибольшие затруднения у учащихся при сдаче ЕГЭ по математике.  Это связано с обилием различных типов геометрических задач и с многообразием приемов и методов их решения. Основная трудность при решении этих задач обычно возникает по следующим причинам:

·           планиметрический материал либо был плохо усвоен в основной школе, либо плохо сохранился в памяти;

·           для решения задачи нужно знать некоторые методы и приемы решения, которые либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо не отрабатываются;

·           в «нетипичных» задачах, в которых представлены не самые знакомые конфигурации, надо уметь применять известные факты и решать базисные задачи, которые входят как составной элемент во многие задачи.

Чтобы изменить ситуацию к лучшему при изучении математики в старших классах,  необходима систематизация знаний, полученных учащимися в основной школе, выделение общих методов и приемов решения геометрических задач, демонстрация техники решения геометрических задач, закрепление навыков решения геометрических задач. В связи с этим необходимо делать акцент не только на овладение теоретическими фактами, но и на развитие умений решать геометрические задачи разного уровня сложности и математически грамотно их записывать.

Элективный курс «Планиметрия в ЕГЭ» предназначен на учащихся 10 классов, которым интересна как сама математика, так и процесс познания нового.  Программа данного элективного курса ориенти­рована на приобретение определенного опыта решения планиметрических задач, что позволит учащимся более успешно решать планиметрические, а также в дальнейшем и стереометрические задания, включенные в ЕГЭ по математике. Курс не дублирует и не является простым углублением содержания основного курса геометрии средней школы. Курс имеет общеобразова­тельное значение, способствует развитию логического мышле­ния учащихся.

Программа рассчитана на 68 часов (2 часа в неделю) для учащихся 10-х классов, изучающих математику, как на базовом, так и на профильном уровне.

Цель курса – развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, их обобщенных умственных умений повышающих шанс более успешного решения планиметрических задач из ЕГЭ.

Задачи курса:

·         Обобщить и систематизировать знания учащихся по основным разделам планиметрии;

·         Дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи;

·         Расширить и углубить знания учащихся о приемах и методах решения планиметрических задач, способствовать их осознанному применению;

·         Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

·         Способствовать развитию интереса школьников к геометрии как важнейшей части математики;

·         Обеспечить диалогичность процесса обучения математики;

·         Создать условия, побуждающие желание выдвигать гипотезы о неоднозначности решения и аргументировано их доказывать;

·         Способствовать формированию навыка работы с дополнительной математической литературой и другими источниками информации;

·         Способствовать развитию умений работать в малых творческих группах.

Структура курса представляет собой четыре логически законченных и содержательно взаимосвязанных теоретических темы и две практических части, изучение которых обеспечивает системность и практическую направленность знаний и умений учащихся.

Основное содержание курса соответствует современным тенденциям развития школьного курса геометрии, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся.

Описание планируемых результатов

Данный курс дает учащимся возможность познакомиться с нестандартными способами решения планиметрических задач, способствует формированию и развитию таких качеств, как интеллектуальная восприимчивость и способность к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического мышления.

Учащиеся должны знать:

·         ключевые теоремы, формулы курса планиметрии в разделах «Треугольники», «Многоугольники», «Окружность и круг», «Координаты и векторы»;

·         знать свойства геометрических фигур и уметь применять их при решении планиметрических задач.

Учащиеся должны уметь:

·         правильно анализировать условие задачи;

·         выполнять грамотный чертеж к задаче;

·         решать геометрические задачи, опираясь на известные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии;

·         выбирать наиболее рациональный метод решения и обосновывать его;

·         в сложных задачах использовать вспомогательные задачи;

·         проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя рассмотренные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

·         логически обосновывать собственное мнение;

·         использовать символический язык для записи решений геометрических задач;

·         следить за мыслью собеседника; корректно вести дискуссию.

·         применять имеющиеся теоретические знания при решении задач;

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

• повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса планиметрии;
• освоить основные приемы решения задач;
• овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
• познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
• повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
• познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;
• проводить полное обоснование при решении задач;
• овладеть приемами исследовательской деятельности.

Критерии успешности освоения программы

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, а значит, и об ожидающей его оценке. Кроме того, знание учителем уровня владения его учениками теорией и навыками её применения поможет ему внести определённые коррективы в учебный процесс (изменить темп и стиль проведения занятий, вернуться к ранее изученному материалу и повторить его, внести изменения в ранее данное индивидуальное задание ученику или группе учащихся для домашнего выполнения).

Для проведения  промежуточного контроля используются следующие формы: тест, практикум, домашний практикум, защита решения задач.

Тесты по темам предлагаются в формате ЕГЭ, и считается зачтенным, если учащийся правильно выполнил более 60 % заданий.

При проверке домашних практикумов учитывается правильность (не менее половины предложенных заданий), вариативность решения, аккуратность и четкость выполнения чертежа, грамотное и обоснованное оформление этапов решения.

При защите решения задач учитывается степень осмысления, логика решения, обоснованность и доказательность этапов решения, вариативность решения, грамотность математической речи и культура оформления работы, степень самостоятельности при выполнении работы. Со стороны слушателей защиты оценивается активность учащихся, участие в обсуждении идей и способов решения.

Учебно-тематический план

Содержание программы

Введение

Структура КИМов  ЭГЭ по математике. Характеристика геометрических задач в ЕГЭ, знакомство с критериями оценивания геометрических заданий части С.

Вводный диагностический тест по материалу курса «Геометрия 7-9»

ТЕМА 1. Треугольники (12 часов)

Стороны и углы треугольника. Внешний угол. Медиана, биссектриса, высота треугольника. Свойство биссектрисы треугольника. Средняя линия треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Виды треугольников.  Признаки равенства треугольников. Признаки равенства треугольников, использующие медиану, биссектрису и высоту. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Теорема Пифагора. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов. Решение прямоугольных треугольников. Решение треугольников.

Подобные треугольники. Признаки подобия. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике. Теорема Чевы и Менелая.

Четыре замечательные точки треугольника. Свойства замечательных точек треугольника.

Окружности, вписанные и описанные около треугольника.

Формулы для вычисления площади треугольника. Отношение площадей подобных треугольников. Формула Герона и ее приложения.

Уровень и качество знаний проверяется в ходе выполнения  тестов  по темам «Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников», «Площадь треугольника», «Окружности, вписанные и описанные около треугольника», домашнего практикума «Четыре замечательные точки треугольника», «Подобные треугольники», практикума на занятии «Окружности, вписанные и описанные около треугольника», итогового тес

ТЕМА 2. Многоугольники (10 часов)

Выпуклый многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника. Вписанные и описанные четырехугольники.

Параллелограмм, его свойства и признаки. Теоремы Вариньона и Гаусса.

Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Характеристические свойства прямоугольника, ромба, квадрата. Трапеция, ее элементы и виды. Средняя линия трапеции.

Площадь параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции. Площадь выпуклого четырехугольника.

Правильный многоугольник. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Площадь правильного многоугольника.

Уровень и качество знаний проверяется в ходе выполнения  тестов  по темам «Параллелограмм», «Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция», «Правильные многоугольники. Вписанные и описанные окружности.  Площадь правильного многоугольника», практикума по теме «Площадь параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции», итогового теста.

ТЕМА 3. Окружность и круг (12 часов)

Касательная к окружности. Вписанный, центральный угол. Угол между хордами, между секущими, между касательной и хордой.

Свойства хорд, секущих и касательных в круге. Свойства дуг и хорд.

Касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся окружности. Линия центров. Общая касательная внешняя и внутренняя.

Вневписанная окружность треугольника.

Длина окружности, длина дуги. Сектор, сегмент круга. Площадь круга, сектора и сегмента.

Уровень и качество знаний проверяется в ходе выполнения  тестов  по темам «Свойства хорд, секущих и касательных в окружности. Свойства дуг и хорд», домашних практикумов по темам «Углы, связанные с окружностью», «Касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся окружности» и итогового теста.

ТЕМА 4. Координаты и векторы (4 часа)

Вектор, модуль вектора, равенство векторов. Координаты вектора. Действия с векторами. Длина вектора и расстояние между двумя точками.

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Теорема Эйлера.

Уровень и качество знаний проверяется в ходе выполнения  теста  по теме «Скалярное произведение векторов».

ТЕМА 5. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения элементов фигуры (12 часов)

Неоднозначность взаимного расположения точек на прямой. Неоднозначность взаимного расположения точек вне прямой. Неоднозначность выбора обозначения вершин многоугольника. Неоднозначность выбора некоторого элемента фигуры. Неоднозначность выбора плоской фигуры.

Уровень и качество знаний проверяется в ходе выполнения домашнего практикума по всей теме и защиты решения задачи.

ТЕМА 6. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения фигур (14 часов)

Неоднозначность взаимного расположения прямолинейных фигур. Неоднозначность взаимного расположения:

·         центров окружностей относительно общей касательной;

·         центров окружностей относительно их общей точки касания;

·         центров окружностей относительно общей хорды;

·         центров окружностей относительно хорды большей окружности;

·         точек касания окружности и прямой.

Уровень и качество знаний проверяется в ходе выполнения домашнего практикума по всей теме и защиты решения задачи.

Методическое обеспечение

Изучение элективного курса «Планиметрия в ЕГЭ» складывается из трёх частей: теоретической, практической, контроля знаний и умений учащихся. Теоретическая часть элективного курса заключается в изложении материала преподавателем по каждой изучаемой теме с приведением примеров и сообщения учащимся дополнительных формул и теорем не входящих в программу основной школы. Практическая часть элективного курса - в применении учащимися полученных знаний при решении задач. После каждой темы проводится тест, по результатам которого оцениваются знания и умения учащихся в системе зачет/незачет или защита решения задачи. Изучение данного курса заканчивается итоговым тестом.

Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности. Основные формы проведения занятий: беседа, дискуссия, консультация, практическое занятие, защита проекта. Особое значение отводится самостоятельной работе учащихся, при которой учитель на разных этапах изучения темы выступает в разных ролях, чётко контролируя и направляя работу учащихся. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовленности.

Предполагаются следующие формы организации обучения: индивидуальная, групповая, коллективная, взаимное обучение, самообучение.

Средства обучения: дидактические материалы, творческие задания для самостоятельной работы, мультимедийные средства, справочная литература.

Технологии обучения: информационные, проектные, исследовательские. Занятия носят проблемный характер. Предполагаются ответы на вопросы в процессе дискуссии, поиск информации по смежным областям знаний.

Контроль  результативности изучения учащимися  программы

В соответствии с Положением гимназии о безотметочном оценивании элективных курсов:

            «Курс оценивается, если ученик:

·                    посетил не менее 65% занятий по этому курсу;

·                    выполнил зачётную работу, предусмотренную программой курса: подготовил проект, выполнил творческую или исследовательскую работу,  тест.

Оценивание освоения изучаемого материала осуществляется по трем уровням: базовый, прикладной, творческий (или углубленный). При желании обучающегося оформить достижения при изучении элективного курса в портфолио оформляется запись в зачетной книжке (листе) школьника в графе «Результат» с указанием темы и вида выполненной работы. Для учета достижений школьника при изучении элективного курса в рейтинге портфолио в графе «Оценка» указываются баллы от 1 до 3-х в соответствии с результатами школьника при изучении курса (1-базовый. 2-прикладной, 3-творческий (или углубленный).

Итоги работы элективного курса подводятся по результатам учебной деятельности после окончания курса и проверки зачётной работы с выставлением «зачтено» в журнале для занятий по элективным курсам».

Изучение элективного курса «Планиметрия в ЕГЭ» заканчивается итоговым тестом. Итоговый тест рассчитан на 2 часа и содержит задания базового и повышенного уровня сложности в соответствии с формой и содержанием планиметрических заданий в ЕГЭ по математике.

Оценивание результативности усвоения изучаемого материала осуществляется на основе накопительной системы текущих и итоговых зачётных работ по трем уровням:

1 балл  (базовый уровень) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнить задания базового уровня. В итоговом тесте  ученик справился только с заданиями типа В3 и В6 .

2 балла (прикладной уровень) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием. Ученик справился с выполнением проекта (защита решения задачи типа С4), но при этом не сумел самостоятельно найти идею решения, хотя после помощи учителя смог грамотно довести решение до конца и представить его на защите. Выполнил (но без проявления явных творческих способностей) домашние задания, можно сказать, что оценка 2 - это оценка за усердие и прилежание, которые привели к определенным положительным результатам, свидетельствующим и об интеллектуальном росте, и о возрастании общих умений слушателя курса. В итоговом тесте ученик правильно выполняет задания В3 и В6 и набирает определенное (но не максимальное) количество баллов  в соответствии с критериями оценки за задание типа С4.

3 балла (творческий уровень) - учащийся блестяще освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении многовариантных планиметрических задач типа С4. В процессе подготовки и зашиты решения задач, работы над индивидуальными домашними заданиями ученик продемонстрировал самостоятельность, умение работать с литературными источниками. Учащийся отличался активным участием в диспутах и обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того, ученик отличился творческим подходом и большой заинтересованностью как при освоении курса в целом, так и при выполнении порученных ему учителем заданий. Он научился работать в малых группах, находить и использовать информацию в рекомендованных бумажных и электронных изданиях, очевиден и несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений.

Список литературы

Для  учителя:

1. Единый государственный экзамен: Математика: 2012-2013.Контр. измерит. матер./ Л.О.Денищева, Г.К.Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под. Ред. Г.С.Ковалевой - . М-во образования и науки РФ. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.: Просвещение, 2012.

2.      Бутузов В.Ф. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В.Ф. Бутузов С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 488с.

3.      Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006.

4.      Шарыгин И.Ф. Геометрия: 9 – 11 кл.: Задачник. От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие. – М.: Дрофа, 1996.

5.      Смирнов В.А. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2009.- 256с.

6.      Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.

7.      Гордин Р.К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия./ Под редакцией А.Л. Семенова и И.В.Ященко.- 4-е изд., испр. -М.: МЦНМО, 2013.-176с.

8.      Роганин А.Н. Математика: все темы для подготовки к ЕГЭ/А.Н.Роганин.-М.: Эксмо, 2011-416с.- (В помощь старшекласснику)

9.      Ященко И.В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания/ Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров П.И.- М.: МЦНМО, 2010.-208с.

10.  Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. – 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Издательство «Экзамен», 2012. -543с. (Серия «Баен заданий ЕГЭ»)

11.  Вольфсон Б.И. Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи: учебное пособие/ Б.И.Вольфсон, Л.И.Резницкий.- Ростов н/Д: Легион – М., 2011.- 224с. – (Готовимся к ЕГЭ)

12.  Юзбашев А.В. Планиметрия. Свойства геометрических фигур – ключ к решению любых задач по планиметрии. Для учащихся школ, лицеев и гимназий. Для абитуриентов. Для преподавателей. –М.: МАТИ. – 2005.- 20с.

13.  Прокофьев А.А., Коряков А.Г. Математика ЕГЭ 2012.Планиметрия. Задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задачи С4)

14.  Гейдман Б.П. «Площади многоугольников» (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение») М.: МЦНМО, 2001. -24с.

Для учащихся:

1.      Бутузов В.Ф. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В.Ф. Бутузов С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 488с.

2.      Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. - 2-е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2003

3. Шарыгин И.Ф. Геометрия: 9 – 11 кл.: Задачник. От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие. – М.: Дрофа, 1996

4.      Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.

5.      Юзбашев А.В. Планиметрия. Свойства геометрических фигур – ключ к решению любых задач по планиметрии. Для учащихся школ, лицеев и гимназий. Для абитуриентов. Для преподавателей. –М.: МАТИ. – 2005.- 20с.

6.      Роганин А.Н. Математика: все темы для подготовки к ЕГЭ/А.Н.Роганин.-М.: Эксмо, 2011-416с.- (В помощь старшекласснику)

7.      Вольфсон Б.И. Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи: учебное пособие/ Б.И.Вольфсон, Л.И.Резницкий.- Ростов н/Д: Легион – М., 2011.- 224с. – (Готовимся к ЕГЭ)

Интернет - источники:

1. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике – http://mathege.ru
2. Сайт ФИПИ - http://fipi.ru/
3. http://alexlarin.com/
4. Сайт самостоятельной студенческой работы -  http://webmath.exponenta.ru
5. Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам - http://reshuege.ru/