Проект "Окружность и круг"

                                         МБОУ «Семилуженская СОШ» Томского района

 

 

 

 

 

 

 

Исследовательская работа

 

                       Окружность и круг

 

 

 

                                                                    

 

 

 

 

                                                                      Работу выполнил: обучающийся 6 класса

                                                                                                         Паздников Никита

                                                            Руководитель: учитель математики

                                                                               Куданенко Г. И.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Семилужки

2013г.

 

 

 

 

Введение

 

Предметом своего исследования я выбрал окружность и круг, так как ещё в Древней Греции эти фигуры считались венцом совершенства.  Действительно, в каждой своей точке окружность «устроена» одинаковым образом, что позволяет ей как бы двигаться по себе.

     

Актуальность выбора темы:

            Формы круга, окружности мы

     встречаем повсюду: это и колесо машины

     и велосипеда, и линия горизонта, и

     монеты, и диск Луны.

     Любой дошкольник        может

     показать из ряда предложенных ему

     геометрических фигур кружок. На первый

     взгляд, кажется, что  круг -  очень обычная

     и простая фигура, но это далеко не так. На

            самом деле окружность и круг таят в себе

            множество загадок и тайн, имеют

            увлекательную историю их изучения.

            Математики стали активно заниматься

            изучением этих геометрических фигур

                                                                    очень давно.

                

 

 

 

 

         

  Окружность и круг – это понятия, которые изучаются в школьном курсе математики с начальных классов, но они недостаточно хорошо усваиваются.  Поэтому особенно важно изучить свойства этих фигур, особенности, связанные с ними  закономерности.

 

Проблема: Как изменятся длина окружности и площадь круга, если увеличить или

                     уменьшить радиус? Нужны ли детям рисунки для раскрашивания?

 

 

Гипотеза: длина окружности прямо пропорциональна длине радиуса;

                   площадь круга пропорциональна квадрату длины радиуса;

                   созданная книжка-раскраска поможет малышам занимать

                   свое время, учиться  применять разноцветные карандаши,

                   чтобы получать красивые рисунки, которыми можно

                   радоваться самим  и окружающим детям.

 

 

Цель работы:    исследование зависимости между радиусом, длиной

                   окружности и площадью круга,  создание книжки – раскраски

                   для дошкольников

                            

       Задачи:

 

1. Изучить теоретические сведения о круге и 

    окружности.

 

2. Исследовать изменение длины окружности и площади круга   

     в  зависимости от изменения длины радиуса.

 

3.Опытным путем вычислить число π.

 

4. Изучить историю числа.

 

5. Показать применение материалов исследований при решении 

              парадоксов.

      

          6.Научиться работать циркулем и разработать рисунки.

 

          7.Подарить книжки – раскраски детям из неблагополучных семей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка гипотезы

Изучение теоретического материала

Понятие окружности и круга

Для построения окружностей имеется специальный инструмент - циркуль.

                  

                                       

Обратим  внимание на то, что при проведении окружности точка А все время находится на одном и том же расстоянии от точки О, называемой центром окружности, а отрезок ОА называется радиусом окружности. Следовательно, окружность – это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от ее центра.

      Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с некоторой точкой окружности.

 

     Окружность ограничивает на плоскости определенную часть.

     Часть плоскости, которая ограничивается окружностью, называется кругом.

 

 

 

 

  ОКРУЖНОСТЬ                                                        КРУГ           

 

Длина окружности

Впервые понятие длины окружности даётся в учебнике математика 6 класса.

«Возьмём круглый стакан, поставим на лист бумаги и обведём его карандашом. На бумаге получится окружность. Если «опоясать» стакан ниткой, а потом распрямить её, то длина нитки будет приближённо равна длине нарисованной окружности». Есть несколько способов непосредственного измере­ния длины окружности.

1. Вырежьте из картона, фанеры или другого материала круг, поставьте его ребром на лист бумаги, где начерчена прямая линия. Отметьте на прямой и на окружности точку их касания А.  Затем плавно катите круг по прямой до тех пор, пока отмеченная точка А на окружности не окажется на прямой в  точке В. Отрезок АВ тогда будет равен длине окружности. Измерив его с помощью избранной единицы длины, мы тем самым измерим и длину окружности.

2. Оберните вырезанный из картона (фанеры или другого ма­териала) круг веревочкой по окружности так, чтобы конец веревочки совпал с началом в одной и той же точке окружности. Затем растяните эту веревочку и измерьте ее длину. Длина веревочки будет равна длине окружности.

  Однако эти способы непосредственного измерения длины окружности мало удобные и дают они  приближенные результаты измерения.

Поэтому уже с древних времен начали искать более совершенные способы измерения длины окружности. В процессе измерений заметили, что между длиной окружности и длиной ее диаметра имеется определенная зависимость.

Чтобы убедиться в этом, я проделал следующий опыт.

 

 

 С=84см

 d=8см

 π≈3,141…

 

 

 

 

 

С=24,9см

d=8см

π≈3,1125…

 

 

 

 

 

С=32,7см

d=10,5см

π≈3,1142857…

 

 

 

 

 

 

C=30,6см

d=9,7см

π≈3,15…

 

 

 

 

C=37,9см

d=11,9см

π≈3.18...

 

 

 

Взял несколько  кругов, измерил непосредственным способом их окружности и их диаметры, а затем нашёл отношения длины каждой окружности к своему диаметру. Я получил одно и то же значение этого отношения, близкое к числу 3,1.

Многие математики пытались доказать, что это отношение есть число постоянное, не зависящее от размеров окружности, и найти более точное значение этого отношения. Впервые это удалось сделать древнегреческому математику Архимеду. Архимед установил, что отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, и нашел довольно точное значение этого отношения. Это отношение стали обозначать греческой буквой π - первой буквой греческого слова «периферия» - круг (читается «пи»).

Таким образом, для вычисления длины окружности была установлена известная  формула  C:D = r , отсюда

C=πD

где С-длина окружности, π = 3,14..., D - диаметр окружности.

Так как диаметр окружности вдвое больше её радиуса, то длина окружности с радиусом  r  равна  C = 2πr. Получили другую формулу для длины окружности:

С = 2πR

Подсчёты показали, что с точностью до десятитысячных  = 3,1415…. Если значение   округлить до сотых, то получим значение 3,14.

 

Площадь круга

 

На рисунке изображены круг и два квадрата  ABCD и EFKM.

Радиус круга равен r , поэтому длина стороны квадрата ABCD равна 2r, а площадь квадрата  4r². Площадь треугольника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF, поэтому площадь квадрата EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD, то есть равна 2r². Площадь круга S больше площади квадрата EFKM, но меньше площади квадрата ABCD:         2r² < S_круга < 4r²

Примерно площадь круга равна 3r². Можно доказать, что S = πR²

            Можно предложить ещё один интересный и понятный способ вычисления площади круга.

Возьмём круг радиуса R и разрежем его на несколько равных секторов (сектор – это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы). Для наглядности половину секторов заштрихуем.

 

А теперь из этих секторов составим другую фигуру. Боковые стороны фигуры можно сделать вертикальными. Для этого нужно разрезать пополам крайний (например, левый) сектор и приставить одну половинку с другой стороны. Площадь новой фигуры такая же, как у круга. А сама фигура похожа на прямоугольник.

                                     

                                                             

Если мы будем разрезать круг на ещё более мелкие секторы, то новая фигура будет ещё более походить на прямоугольник.

 Нам известно, что площадь прямоугольника равно произведению его длины на ширину. Ширина прямоугольника - это радиус данной окружности, значит равна R, а длина образована дугами секторов – закрашенных и незакрашенных.

Следовательно, длина равна половине длины окружности, то есть .

Так как C = 2πR,  то  =  = πR.

Следовательно, площадь прямоугольника равна  S = πR ∙ R =  πR²

Но у рассматриваемого первоначально круга площадь была такая же. Вот мы и получили формулу для вычисления площади круга

S = πR

Зависимость длины окружности от длины её радиуса

              Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить в 2 раза?

Такой вопрос был задан при социологическом опросе учащимся 5 – 11классов, а также учителям начальных классов и учителям предметов гуманитарного цикла.

Данные, полученные при ответе на этот вопрос, приведены в следующей диаграмме. Всего было опрошено  человека:  59 учеников,  16 учителей.

 

 Как видно из диаграммы, большинство опрошенных учащихся и учителей, чья деятельность не связана с математикой,  считают, что при увеличении радиуса в 2 раза длина окружности также увеличивается, но  только небольшая часть уточняет, что именно в 2 раза.

Чтобы выяснить, так ли это, рассмотрим пример.

Пусть радиус равен 6см, тогда длина окружности равна С = 2π∙6 = 12π

Увеличим радиус в 2 раза, то есть он станет 12 см, тогда длина окружности равна С₁ = 2 π∙12 = 24 π.

Узнаем, во сколько раз увеличилась длина окружности:

24 π : 12 π = 2

Получается, что при увеличении радиуса в 2 раза длина окружности увеличивается также в 2 раза.

После рассмотрения нескольких аналогичных примеров делаем вывод:

при изменении радиуса окружности (увеличении или уменьшении) в k раз её длина  изменяется (увеличивается или уменьшается) также в  k  раз.

Следовательно, длина окружности пропорциональна её радиусу.

 

 

                      

 

 

                   

                           Зависимость площади круга от длины его радиуса

 

При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Что  произойдёт с площадью круга, если его радиус увеличится в 3 раза?»

Данные, полученные при ответе на этот вопрос, представлены в диаграмме.

 

Как видно из диаграммы, большинство опрошенных, чья деятельность не связана с математикой,  считают, что при увеличении радиуса в 3 раза площадь круга также увеличивается, причём также в 3 раза, и только небольшая часть понимает, что не в 3, а в 9 раз. А вот большинство старшеклассников ответили, что при увеличении радиуса в 3  раза площадь круга увеличивается в 9 раз.

Чтобы выяснить, кто из них прав, рассмотрим пример.

Пусть радиус равен 2см, тогда площадь круга равна S = π ∙ 2² = 4π  

Чтобы выяснить, кто  прав, рассмотрим пример.

Увеличим радиус в 3 раза, то есть он станет 6 см, тогда площадь круга равна S = π ∙ 6² = 36 π  .

Узнаем, во сколько раз увеличилась площадь круга:

36 π : 4 π = 9

Получается, что при увеличении радиуса круга в 3 раза его площадь увеличивается в 9 раз.

После рассмотрения нескольких аналогичных примеров получаем вывод:

           при изменении радиуса круга в k раз его площадь  изменяется также в  k²  раз.

 

 

Изменение радиуса окружности при изменении её длины

на данное число.

Пусть первоначальный радиус окружности равен R₁метров, тогда первоначальная длина окружности равна

C₁ = 2πR₁ метров.

 Увеличим длину окружности на a метров, то есть она станет C₂ = C₁ + a (метров), тогда увеличится и радиус окружности, он станет равен

(метров)

Найдём увеличение радиуса:

 Интересно, что в окончательный ответ не входит величина первоначального радиуса. Поэтому результат получится одинаковый для любой окружности. Вообще, разность длин двух концентрических окружностей не зависит от их радиусов, а только от расстояния между ними. Прибавка одного сантиметра к радиусу земной орбиты увеличила бы её длину настолько, насколько удлинится от такой же прибавки радиуса окружность, например, пятака. На этом геометрическом парадоксе (парадокс – истина, кажущаяся неправдоподобной) основано много любопытных задач.

Математические парадоксы

Задача №1 «По экватору»

Вообразите, что Вы обошли Земной шар по экватору. На сколько при этом верхушка Вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик Вашей ноги, если  Ваш рост 1,7м?

Ответ: на 10,7 м

Решение. Пусть R – радиус Земного шара, тогда ноги прошли путь . Верхушка же головы при этом прошла путь 2π(R + 1,7). Разность пройденных расстояний равна  2π(R + 1,7) - 2πR = 2πR + 3,4π - 2πR = 3,4π ≈ 3,4 ∙ 3,14 = 10,676 ≈10,7, то есть рост человека, умноженный на  2 π.

Задача №2 «Земной шар и мышь»

Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине 1м, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь?

Ответ: да

Решение.

Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса: что значит прибавка в один метр по сравнению с 40 миллионами метров земного экватора. В действительности же величина промежутка равна    (100 : 2π)см ≈ 16см. Не только мышь, но и крупный кот проскочит в такой промежуток.

История числа π

 

пи  – первая буква греческого слова  «периферия», что в переводе означает окружность.                  Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом    английский математик

У. Джонсон в 1706 г.

 

 

В клинописных табличках Древнего Междуречья содержится запись о том, что длина окружности в 3 раза больше диаметра.

Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3  и 3, а это означает, что p  =3,1419…  Архимед указал границы числа  3,1408 <   p    < 3,1428 .

В 1596 году голландский математик Ван Цейлен нашел 32 первых знака числа «пи», в 1719 году французский математик Ланьи вычисляет «пи» со 140 верными знаками. В 1844 году немец Дазе нашел «пи» с 200 знаками, в конце XIX века было уже известно более 500 верных знаков числа «пи».

          Математик 16 века Лудольф, в Лейдене, имел терпение вычислить число «пи» с 35 десятичными знаками и завещал вырезать это значение для π на своём могильном памятнике.

 Английский математик Август де Морган назвал как-то p «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».               

А так выглядит 101 знак числа “ пи” без округления:            

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

               В наше время с помощью ЭВМ число p   вычислено с миллионами правильных знаков после запятой. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес.

Число π присутствует в чертежах и вычислениях, выполняемых электронными машинами при подготовке и проведении полетов в космос; оно представляет необходимое количество своих десятичных знаков всякий раз, когда они нужны инженерам, рассчитывающим цилиндрические, сферические или конические части машин, физикам и астрономам, когда они проводят приближенные вычисления по формулам, в которых среди фундаментальных постоянных появляется и π. Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число π: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине.

        Мнемоническое правило для запоминания числа  π

 

n  Чтобы нам не ошибаться,

n  Надо правило прочесть:

n  Три, четырнадцать, пятнадцать,

n  Девяносто два и шесть.

n  Надо только постараться

n  И запомнить все как есть:

n  Три, четырнадцать, пятнадцать,

n  Девяносто два и шесть.

 

Забавные факты

         Международный день числа p

14 марта человечество отмечает Международный день числа p. Почему 14 марта? Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем «пи» нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа p – 3,1415926…

Интересно, что праздник числа p, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности Альбертом Эйнштейном.

 

Еще одной датой, связанной с числом p, является 22 июля, которою называют  «Днем приближенного числа p», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближенным значением числа p.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа пи принадлежит японцу Акира Харагути. Он запомнил число p до 100 - тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.

 

Окружность и архитектура

 

Окружность как совершенная геометрическая форма всегда привлекала внимание художников, архитекторов. В Санкт-Петербурге восторг и удивление вызывает «чугунное кружево» - садовые ограды, перила мостов и набережных, балконные решётки, фонари. Особую воздушность, красоту придают сооружениям окружности, сплетённые в орнамент. Торжественность и устремлённость ввысь – такой эффект зданий достигается использованием арок, представляющих дуги окружностей.

Архитектура православных церквей включает в себя элементы купола, арки, округлые своды, что зрительно увеличивает пространство, создаёт эффект полёта,  

                                                    лёгкости.

 

 

                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В своих исследованиях я установил, что длина окружности зависит прямо пропорционально радиусу, а площадь круга зависит от квадрата радиуса, то есть, если увеличивать длину радиуса, то длина окружности увеличится во столько же раз, а площадь круга увеличится в радиус в квадрате раз. Тоже произойдет и при уменьшении радиуса.

Проведя несколько опытов, я приблизительно вычислил число π, значение его можно использовать при решении задач.

Предметы круглой формы часто встречаются в окружающей нас жизни, поэтому всё, что связано с кругом и окружностью, имеет большую практическую направленность. Следовательно, результаты моей работы       могут быть полезны в практической деятельности человека.

Осуществляя исследовательскую и проектную работу, я понял, как на практике можно применять знания, почувствовал ответственность за свою работу и уверенность, что смогу помочь детям,  у которых родители не в состоянии купить им книжки-раскраски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение.

    1. Теоретические сведения по теме.

     1.  Определения окружности и круга.

2.      Длина окружности.

3.      Площадь круга.

    2. Исследования.

     1. Зависимость длины окружности от длины её радиуса

     2. Зависимость площади круга от длины его радиуса.

     3. Математические парадоксы

     4. История числа π.

     5. Забавные факты.

 Заключение.

      Список литературы.

      Приложение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       Литература

 

1.Атанасян «Геометрия 7-9», Москва, «Просвещение», 1998

2. Виленкин Н. и др. «Математика», 6, «Мнемозина», 2008

3. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия, Москва «Дрофа», 2000

4. Панчищина В.А., Гельфман Е.Г. Геометрия, Томск 1999

5. Игнатьев Е. И. «Математическая смекалка». Занимательные задачи, игры,

    фокусы, парадоксы. Москва, «Омега», 1994.

6. Перельман Я. И.«Занимательная геометрия», Москва, "Тезис", 1994

7. Шеврин Л.Н и др. «Математика, 5-6, учебник-собеседник»,  Москва,

    «Просвещение», 1989

8. Энциклопедический словарь юного математика. Составил А. П. Савин. 

      Москва, «Педагогика», 1985

9.«Я познаю мир». Математика. Детская энциклопедия, Москва, «Астрель»,

     1998.