Проблемно- реферативный проект по математике на тему: «Задача о квадратуре круга – одна из знаменитых задач древности ».

Филиал муниципального бюджетного образовательного учреждения

средней общеобразовательной школы с. Становое в с. Становое

Проблемно- реферативный

проект по математике на тему:

«Задача о квадратуре круга –

 одна из знаменитых задач древности ».

Работу выполнил:

Малютин Данил,

обучающийся  8 «в» класса

филиала МБОУ СОШ с. Становое

в с. Становое.

Научный руководитель:

учитель математики

Дуб Оксана Владимировна.

2012 год

Содержание:

1.     Паспорт проекта……………………….………..3

2.     Введение…………………………………………4-5

3.     Информация о попытках решения задачи……..5-9

4.     Самостоятельное решение задачи………….….9-10

5.     Выводы………………………….………………10

6.     Список использованной литературы…………11

Паспорт проекта:

Актуальность:

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки.

Цель работы:

·        Выяснить,  действительно ли  невозможно построить квадрат, равновеликий данному кругу.

Задачи:

·          Более подробно изучить попытки решить  задачу о квадратуре круга;

·          Попробовать самому построить квадрат, равновеликий данному кругу;

·          Сделать вывод о возможности построения квадрата, равновеликого по площади  кругу данного радиуса.

Этапы работы:

·        Сбор информации по данной проблеме;

·        Обработка полученной информации;

·        Попытка решить задачу самостоятельно;

·        Оформление результатов;

·        Защита работы

Введение.

·            Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.                 (В. Произволов)

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:  об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд.

Меня особенно заинтересовала задача о квадратуре круга.

Проблема задачи о квадратуре круга - построение квадрата, равновеликого данному кругу.

Я поставил перед собой следующие цели:

·          Более подробно изучить попытки решить  задачу о квадратуре круга;

·          Попробовать самому построить квадрат, равновеликий данному кругу;

·          Сделать вывод о возможности построения квадрата, равновеликого по площади  кругу данного радиуса.

Я задумался о возможности решения задач об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга, когда учитель математики предложила в рамках недели математики подготовить реферат на тему: «Три знаменитые классические задачи древности».  На первый взгляд задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки.  Мне показалась задача о квадратуре круга  простой.

Информация о попытках решения задачи

Я начал собирать информацию о возможности построения квадрата, равновеликого по площади  кругу данного радиуса из различных источников. Изучив найденную  информацию, я выяснил, что одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга, т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. Если обозначить радиус круга через r, то речь будет идти о построении квадрата, площадь которого равна r², а сторона равна  r. Долгое время оставалось неясным, является ли число p рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И. Г. Ламберт доказал, что число л иррационально.  Теперь известно, что число -отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками английским математиком У. Шенксом, допустив при этом, как выяснилось позднее ошибку на 528 знаке после запятой. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году.  Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.

Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением. В 1882 г. другой ,немецкий математик— Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу. Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить приближенное значение  (и корня квадратного из ),  удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.

Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.) находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!..

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис. 1), известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром  вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC . На  и , как на диаметрах,     описываются полуокружности. 

Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.

По теореме Пифагора:

.                                                 (1)                 

Отношение  площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров , которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC ровна площади полукруга, построенного на диаметре . Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь треугольника AOC равна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания  в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.

Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом , и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих попыток её решить.    

Самостоятельное решение задачи

Моя попытка решить эту задачу, также не увенчалась успехом!

Вот ход моих рассуждений.

1.Начнем с построения квадрата, отмеряя циркулем 10 равных отрезков на прямой линии. Восстановим перпендикуляр в начале отрезка. Отметим циркулем от основания перпендикуляра вниз 10 равных отрезков. Это вторая сторона квадрата.
2. Строим параллельную прямую (третью сторону квадрата) которую так же разбиваем на 10 равных отрезков.
3. Соединяем обе параллельные по линиям, полученным в результате разметки. У нас получился квадрат, разбитый на 10 уровней (вертикальную разбивку в данном случае делать не обязательно).
4. Проводим диагональ квадрата из левого нижнего угла в правый верхний угол. Диагональ, проходящая через размеченные уровни квадрата, так же оказывается размеченной на 10 частей.
5. Находим центр квадрата и отмеряем четыре отрезка на диагонали от центра к правому верхнему углу. Этим радиусом из центра квадрата чертим круг.

Равновелики ли площадь квадрата из центра, которого вычерчен круг и площадь полученного круга?

Далее путем математических рассуждений, я пришел к выводу, что площади  квадрата и круга не равны.

Выводы

Работая по данной теме, я сделал вывод, что все старания решить задачу о квадратуре круга при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.

Список использованной литературы:

1.       Энциклопедия по математике «Аванта+»  (М. Аксенова, Г. Храмов).

2.       Энциклопедический словарь юного математика (А. Симоненко).

3.       Прикладная алгебра ( М. Поздняк, Ф. Груздь).

4.       О числе «пи» (А. В. Жуков)