Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа с. Становое
Проблемно-реферативный проект по математике
Тема:
"Фигурные числа - это интересно!"
Автор проекта: Дуб Сергей
обучающийся 6 «г» класса .
Руководитель: Дуб О. В. ,
учитель математики.
2 слайд
Цель работы:
Выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно с помощью камешков выкладывать в виде плоских геометрических фигур, геометрических тел.
Задачи:
Узнать, какие числа называются фигурными, телесными;
Изучить историю возникновения фигурных и телесных чисел;
Выяснить, на какие виды эти числа делятся, узнать применение фигурных и телесных чисел;
Научиться самому «выкладывать» фигурные числа;
Познакомить своих одноклассников с фигурными и телесными числами.
3 слайд
Этапы работы:
Сбор информации по данной проблеме;
Обработка полученной информации;
«Пробы» выкладывания чисел;
Оформление результатов;
Защита работы.
4 слайд
Фигурные числа
Предполагают, что впервые они появились в VI веке до нашей эры – в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались этими числами
Фигу́рные чи́сла были известны еще в древности.
5 слайд
Фигурные числа
Согласно пифагорейскому учению, в основе мира лежат числа (натуральные).
Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Число же определялось как множество, составленное из единиц.
Пифагорейские числа в современной терминологии – это натуральные числа.
6 слайд
Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
Арифметика пифагорейцев была поэтому тесно связана с геометрией: они выделяли классы чисел, имеющих одну и ту же форму, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее.
Итак, фигурные числа – это общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.
7 слайд
Линейные числа
Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:
линейное число 5
1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
8 слайд
Плоские числа
Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:
плоское число 6
4,6,8,9,10,12,14,15,...
9 слайд
Телесные числа
Телесные числа — числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...) и т. д.
телесное число 8
10 слайд
Треугольные числа
Треугольные числа — это такие числа, из которых (имея столько камушков) можно выложить правильные треугольники.
1
3
6
10
15
21
1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10,
1+2+3+4+5=15 , 1 +2+3+4+5+6=21
11 слайд
Квадратные числа
квадратные числа получаются при выкладывании из камушков квадратов. Вот они какие: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т. д.
Второй- это два ряда, каждый из двух камушков: 2*2=4. Третий - три ряда по три камушка: 3*3=9. Четвертый- 4 ряда по 4 камня: 4*4=16. Неспроста про числа 2*2, 3*3, 4*4 говорят "два в квадрате", "три в квадрате", "четыре в квадрате"!
12 слайд
Пятиугольные числа
Можно рассматривать и шестиугольные, и семиугольные числа, и вообще, числа, возникающие при складывании разнообразных многоугольников, с разными
сторонами или с одинаковыми.
13 слайд
Кубические числа
Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000
и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят:
"два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?
14 слайд
Пирамидальные числа
15 слайд
Фигурные числа
Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.
![В том же числе 10:
(2+3)*2=2*2+3*2=10 можно "разглядеть" и распределительны...](https://documents.infourok.ru/d117970a-b02e-41a7-9c7e-01c18463e841/0/slide_16.jpg "В том же числе 10:
(2+3)*2=2*2+3*2=10 можно "разглядеть" и распределительны...")
16 слайд
В том же числе 10:
(2+3)*2=2*2+3*2=10 можно "разглядеть" и распределительный закон сложения относительно умножения: (a+b)c=ac+bc.
![Фигурные числа Если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде рав...](https://documents.infourok.ru/d117970a-b02e-41a7-9c7e-01c18463e841/0/slide_17.jpg "Фигурные числа Если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде рав...")
17 слайд
Фигурные числа
Если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab: автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab.
18 слайд
Фигурные числа
В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1670) так называемую «золотую теорему»:
Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;
Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:
и т. д.
Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать
Коши в 1813 году.
19 слайд
Фигурные числа
Квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел
20 слайд
Фигурные числа
Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это- развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами,
пирамидами и кубами.
21 слайд
Фигурные числа
Даже в XVII веке, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных целей- бытовых расчетов, вспомогательных вычислений , - но никак не для благородных научных трудов.
Один из крупнейших математиков того времени, Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с ее помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические
выкладки заменял рассуждениями с
геометрическими фигурами.
22 слайд
Кроме изучения теоретического материала я выполнил ряд «проб» выкладывания фигурных чисел с помощью обыкновенных ватных дисков.
Треугольное число 3
Треугольное число 6
Треугольное число 10
23 слайд
Квадратное число 4
Квадратное число 16
Пятиугольное число 5
Пятиугольное число 12
24 слайд
Фигурные числа
Почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, ширина и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной: куб - фигура с одинаковыми длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2*2*2*2 камушков
25 слайд
Выводы:
Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;
Выделяются несколько видов данных чисел;
Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов
Фигурные числа – это интересно!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
У истоков греческой математики, вероятно, начиная еще с VI века до н. э., обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический — полугеометрический. Он состоит в использовании камешков одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладывались фигуры.
O. Becker
Давным-давно, начиная ещё с 6 века до н.э., греческие математики обнаружили интересный способ рассмотрения чисел, который можно назвать как полуарифметический-полугеометрический. Способ состоял в том, что, используя камешки одинаковой величины и формы, можно выкладывать числа с помощью фигур.
6 664 236 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дуб Оксана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.