МБОУ СОШ с. Становое
Открытая школьная научно-практическая конференция
«Юность. Наука. Культура – 2012»
Проблемно- реферативный
проект по математике на тему:
«Фигурные числа- это интересно! ».
Работу выполнил:
Дуб Сергей,
обучающийся 6«г» класса
филиала МБОУ СОШ с. Становое
в с. Становое.
Научный руководитель:
учитель математики
Дуб Оксана Владимировна.
2012 год
Содержание:
1. Паспорт проекта ……………………. 3
2. Введение………………………………4
3. Собранная информация по теме…….5-11
4. «Выкладывание» фигурных чисел….12-13
5. Выводы……………………………….13
6. Список литературы………………….14
Паспорт проекта: (слайд 1)
Актуальность:
Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". Оказывается, что существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических тел. Это – телесные числа (пространственные фигурные числа).
Цель работы: (слайд 2)
Выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно с помощью камешков выкладывать в виде плоских геометрических фигур, геометрических тел.
Задачи:
l Узнать, какие числа называются фигурными, телесными;
l Изучить историю возникновения фигурных и телесных чисел;
l Выяснить, на какие виды эти числа делятся, узнать применение фигурных и телесных чисел чисел;
l Научиться самому «выкладывать» фигурные числа;
l Познакомить своих одноклассников с фигурными и телесными числами.
Этапы работы: (слайд 3)
l Сбор информации по данной проблеме;
l Обработка полученной информации;
l «Пробы» выкладывания чисел;
l Оформление результатов;
l Защита работы.
Введение
У истоков греческой математики, вероятно, начиная еще с VI века до н. э., обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический — полугеометрический. Он состоит в использовании камешков одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладывались фигуры.
O. Becker
Давным-давно, начиная ещё с 6 века до н.э., греческие математики обнаружили интересный способ рассмотрения чисел, который можно назвать как полуарифметический-полугеометрический. Способ состоял в том, что, используя камешки одинаковой величины и формы, можно выкладывать числа с помощью фигур. Я заинтересовался этим и решил выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических фигур и тел?
Я поставил перед собой следующие задачи:
l Узнать, какие числа называются фигурными;
l Изучить историю возникновения фигурных чисел;
l Выяснить, на какие виды эти числа делятся, узнать применение фигурных чисел (плоских и пространственных);
l Научиться самому «выкладывать» фигурные числа;
l Познакомить своих одноклассников с фигурными числами.
Собранная информация по теме
(слайд 4)
Начал я свою работу по данной проблеме со сбора информации из разных источников, в том числе из Интернета. Изучив найденную информацию, я выяснил, что фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в VI веке до нашей эры – в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем.
Пифагор
(слайд 5)
Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа.
(слайд 6)
Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
Итак, фигу́рные чи́сла — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.
Различают следующие виды фигурных чисел: (слайд 7)
Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):
(линейное число 5)
(слайд 8)
Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):
(плоское число 6)
(слайд 9)
Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...):
(телесное число 8)
(слайд 10)
Треугольные числа:
(треугольные числа 3,6,10)
(слайд 11)
Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,n2,...)выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами.
(квадратные числа 4,9,16)
(слайд 12)
Пятиугольные числа:
(пятиугольные числа 12, 5)
(слайд 13)
Кубические числа.
Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8(два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000
и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят:
"два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?
(слайд 14)
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …
(слайд 15)
Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах:
5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.
(слайд 16)
В том же числе 10:
(2+3)*2=2*2+3*2=10 можно "разглядеть" и распределительный закон сложения относительно умножения: (a+b)c=ac+bc.
(слайд 17)
Наконец, если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab: автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(слайд 18)
Пьер Ферма обнаружил, например, что
а) всякое натуральное число есть треугольное или сумма двух
или трех треугольных чисел;
б) всякое натуральное число есть или квадрат, или сумма двух,
трех или четырех квадратных чисел;
в) всякое натуральное число есть или пятиугольное, или сумма
двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел;
г) вообще всякое натуральное число может быть представлено в
виде суммы не более чем k k-угольных чисел.
(слайд 19)
Хочу отметить, считается, что именно от фигурных чисел пошло выражение «Возведение в квадрат или куб». Посмотрите:
1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д.
(слайд 20)
Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это- развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.
(слайд 21)
Даже в XVII веке, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных целей- бытовых расчетов, вспомогательных вычислений , - но никак не для благородных научных трудов.
|
|
Один из крупнейших математиков того времени, Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с ее помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические выкладки заменял рассуждениями с геометрическими фигурами.
|
«Выкладывание» фигурных чисел
(слайд 22)
Кроме изучения теоретического
материала я выполнил ряд «проб» выкладывания фигурных чисел с помощью
обыкновенных ватных дисков.
Треугольное число 3 Треугольное число 6 Треугольное число 10
(слайд 23)
Квадратное число 4 Квадратное число
16
Пятиугольное число 5 Пятиугольное число
12
(слайд 24)
Почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной: куб - фигура с одинаковыми длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2*2*2*2 камушков
Интересно? Конечно! Каждый из вас тоже может попробовать выложить фигурные числа в домашних условиях. Для этого вы можете взять теннисные шарики, горох, кнопки, пуговицы или, например, камешки, как древние греки. А можно просто рисовать на бумаге.
Выводы
(слайд 25)
Итак, работая по данной теме, я пришёл к следующим выводам:
l Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;
l Выделяются несколько видов данных чисел;
l Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов
l Фигурные числа – это интересно!
Список
использованной литературы:
Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего
Египта, Вавилона и Греции.
Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.
Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова
Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Актуальность:
Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". Оказывается, что существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических тел. Это – телесные числа (пространственные фигурные числа).
Цель работы:
Выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно с помощью камешков выкладывать в виде плоских геометрических фигур, геометрических тел.
Задачи:
l Узнать, какие числа называются фигурными, телесными;
l Изучить историю возникновения фигурных и телесных чисел;
l Выяснить, на какие виды эти числа делятся, узнать применение фигурных и телесных чисел чисел;
l Научиться самому «выкладывать» фигурные числа;
l Познакомить своих одноклассников с фигурными и телесными числами.
Этапы работы:
l Сбор информации по данной проблеме;
l Обработка полученной информации;
l «Пробы» выкладывания чисел;
l Оформление результатов;
l Защита работы.
6 656 199 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дуб Оксана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.