Применение производной, проектная деятельность на уроках математики (10 класс)

1 слайд

Производная в биологии
Работу выполнили:
Окатова Ю.
Энграф И.

2 слайд

Цель проекта:


Выяснить как используется производная в биологии

3 слайд

Задачи:

Подобрать задачи из разных разделов биологии, которые решаются с помощью производной.

4 слайд

В ходе проекта были рассмотрены примеры применения производной в биологии, химии, задачи в этих областях наук, которые решаются с помощью производной.

5 слайд

Задача

По известной зависимости численности популяции х(t) определите относительный прирост в момент времени t.

Производная в биологии

6 слайд

Справка:
Популяция
это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

7 слайд

Решение

8 слайд

Как используют производную в химии?

Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях
научно-производственной деятельности

9 слайд

Справка:
инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. Поэтому в реальной жизни для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ.

10 слайд

Задача

Производная в химии
Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:
р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

11 слайд

Справка:
Скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или
производная от концентрации реагирующих веществ по времени (на языке математике концентрация была бы функцией, а время – аргументом)

12 слайд

Решение

13 слайд

Понятие производной очень важно в биологии и химии при определении относительного прироста популяции и скорости течения реакции.


Вывод:

1 слайд

Производная в географии
Вавилина К.
Кочанова В

2 слайд

Цель проекта:
Изучить математическую величину в сфере естественной науки, их связь.

3 слайд

Задачи:
Узнать, какие процессы регулирует производная в географии.
Рассмотреть задачи по географии, которые решаются с помощью производной

4 слайд

Производная помогает рассчитать:
Некоторые значения в сейсмографии
Особенности электромагнитного поля земли
Радиоактивность ядерно- геофизичексих показателей
Многие значения в экономической географии
Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.

5 слайд

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), N(t)=k N(t). Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

6 слайд

7 слайд

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна.

8 слайд

Вывод :
производная в географии совмещается с многими
ее отраслями( сейсмография, размещение и численность населения)
а также с экономической географии. Все это позволяет полнее изучать
развитие населения и стран мира.

1 слайд

Производная в математическом анализе
при исследовании функций
Выполнили: Собянина И.
Собянина Н.
Сидорова А.

2 слайд

Цель:
Рассмотреть применение производной при исследовании функций и их свойств

3 слайд

Задачи:
Исследование функций на монотонность, экстремумы, выпуклость-вогнутость с помощью производной

4 слайд

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка.
Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

5 слайд

Производная применяется при исследовании функций на монотонность, выпуклость, при нахождении экстремумов функций и их наибольшего и наименьшего значений.

6 слайд

1. Монотонность
1) Если f′(x) > 0 внутри промежутка I, то функция
f возрастает на этом промежутке.
2) Если f′(x) < 0 внутри промежутка I, то функция
f убывает на этом промежутке.
3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка I, то функция
f постоянна на этом промежутке.

7 слайд

Примеры:
f(x) = 3x3 + 4x
f ′(x) = 9x2 + 4 > 0  f(x) возрастает при хR

f(x) = – 2x5 – 6x
f ′(x) = – 10x4 – 6 < 0  f(x) убывает при хR

f(x) = 12
f ′(x) = 0  f(x) постоянна при хR

8 слайд

2. Экстремумы функции
Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(xo)
Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка локального максимума функции f(x).

xo
f′(x)
f(x)
+
–
x
т.max
f(xо) – максимум функции
Точка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(xo)
Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «-» на «+», то хо – точка локального минимума функции f(x).

xo
f′(x)
f(x)
+
–
x
т.min
f(xо) – минимум функции

9 слайд

Пример:
f(x) = x2 + 4x-5
f ′(x) = 2x+ 4
f ′(x) =0 2x+ 4=0, при х=-2

-2
f′(x)
f(x)
+
–
x
т.min
f(-2) – минимум функции

10 слайд

3. Наибольшее и наименьшее значения функции
1 Выясняем существование функции на данном
отрезке [a; b].
2 Дифференцируем функцию: f′(x).
3 Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
4 Отбираем те точки, которые принадлежат
заданному промежутку [a; b].
5 Находим значение функции в этих точках и на
концах промежутка: f(a); f(b); f(x1); f(x2); и т. д.
6 Выбираем среди полученных значений наибольшее
или наименьшее.

11 слайд

Пример:
Найти наибольшее и наименьшее значения f(x) = x2 + 4x-5 на отрезке [-3; 0].
f ′(x) = 2x+ 4
f ′(x) =0 2x+ 4=0, при х=-2
f(-3)= -8
f(-2)= -9
f(0) = -5
Наибольшее значение f(0)
Наименьшее значение f(-2)= -9

1 слайд

Производная в физике
Михеева Т.
Агельдина А.

2 слайд

Цель проекта:


Выяснить как используется производная в физике

3 слайд

Задачи:

Подобрать задачи из разных разделов физики, которые решаются с помощью производной.

4 слайд

В ходе проекта были рассмотрены следующие разделы физики:

Механика
Гидродинамика
Оптика
Электротехника

5 слайд

Задача
Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением:
s = 6+2t + 0,1t2 +0,03t3.
Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.

Решение:
v(t) = s'(t) = 2 + 0,2t + 0,09t2;
a(t) = v'(t) = 0,2 + 0,18t = 2;
0,18 = 1,8t; t = 10 c
Механика

6 слайд

Задача:
Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону f(t)=0,1t2-0,5t+0,2. Найдите угловую скорость вращения тела в момент времени t1=20 с.

Решение:
Угловая скорость вращения тела равна первой производной от угла поворота по времени

w(t )=f’(t)

f’(t)=0,2t-0,5

w(t 1)=f’(t1)=(0,2*20-0,5)рад/с=3.5 рад/с

7 слайд

Задача:
С какой силой давит на землю кобра длиной l и массой m, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v?

Решение:
Так как змея поднимается вверх со скоростью v, то центр тяжести змеи поднимается вверх, обеспечивая добавочную к силе тяжести силу давления F, которую мы и рассчитаем.
Пусть за время Δt голова змеи поднялась на Δl,
центр тяжести поднялся на высоту (1/2)Δl.
Тогда скорость движения центра масс vц.м = (1/2)v. Изменение импульса змеи ΔP = Δmvц.м = FΔt, где Δt − время движения массы Δm.
Поскольку
Δm = (m/l)vΔt, то
ΔP = (m/l)vΔt(v/2) = mv2/(2l) = FΔt.

Тогда сила давления на землю будет равна:
F = mv2/(2l) + mg.

Задача:
С какой силой давит на землю кобра длиной l и массой m, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v?

Решение:
Так как змея поднимается вверх со скоростью v, то центр тяжести змеи поднимается вверх, обеспечивая добавочную к силе тяжести силу давления F, которую мы и рассчитаем.
Пусть за время Δt голова змеи поднялась на Δl,
центр тяжести поднялся на высоту (1/2)Δl.
Тогда скорость движения центра масс vц.м = (1/2)v. Изменение импульса змеи ΔP = Δmvц.м = FΔt, где Δt − время движения массы Δm.
Поскольку
Δm = (m/l)vΔt, то
ΔP = (m/l)vΔt(v/2) = mv2/(2l) = FΔt.

Тогда сила давления на землю будет равна:
F = mv2/(2l) + mg.

8 слайд

Задача:
Зритель находится на расстоянии а м от плоскости экрана кинотеатра. Высота экрана h м. На какой высоте у от уровня глаз зрителя должен находиться нижний край экрана, чтобы видимость была наилучшей?
ОПТИКА
Решение:
Видимость экрана будет наилучшей, если угол х – наибольший, где х – это угол зрения.
Выразим х через h, у, а.

9 слайд

Пароход “Челюскин” в феврале 1934 года успешно прошел весь северный морской путь, но в Беринговом проливе оказался зажатым во льдах. Льды унесли “Челюскин” на север и раздавили.
Вот описание катастрофы: “Крепкий металл корпуса поддался не сразу, – сообщал по радио начальник экспедиции О.Ю. Шмидт. – Видно было, как льдина вдавливается в борт, и как над ней листы обшивки пучатся, изгибаясь наружу.
Лед продолжал медленное, но неотразимое наступление. Вспученные железные листы обшивки корпуса разорвались по шву. С треском летели заклепки. В одно мгновение левый борт парохода был оторван от носового трюма до кормового конца палубы…”

Почему произошла катастрофа?
Гидродинамика

10 слайд

Гидродинамика
Сила Р давления льда разлагается на две: F и R. R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R ( a )- угол наклона борта к вертикали (тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси – производная)
Q – сила трения льда о борт.
Q = 0,2 R (0,2 – коэффициент трения).
Если Q < F, то F увлекает напирающий
лед под воду, лед не причиняет
вреда, если Q > F, то трение
мешает скольжению льдины,
и лед может смять и продавить
борт.
0,2R < R tg a , tg a > 0,2
Q < F, если a > 110.
Наклон бортов корабля к вертикали под углом a > 110 обеспечивает безопасное плавание во льдах

11 слайд

Задача:
Вычислить силу тока I, который несет на себе заряд, заданный зависимостью q=qm cos ω0t (Кл) через поперечное сечение проводника.
Решение:
Рассмотрим приращение заряда на маленьком отрезке [t; t+Δt], тогда Δ q = I(t) Δt.
Δq/ Δt = I(t)
Если Δt→0, то lim Δq/ Δt = q’(t) ,

т.е. I (t) = q’(t)I = q’ = -qmω0sinω0t
Электротехника

12 слайд

В ходе проекта было исследовано как применяется производная в физических задачах.
Для этого были рассмотрены такие разделы физики как: механика, гидродинамика, электричество, оптика.

1 слайд

Экономический смысл производной

Шергина А.
Павлова С.
Зинкович А.

2 слайд

Выяснить связь между математикой и экономикой.
Раскрыть роль производной в исследовании процессов производства.

Цели проекта

3 слайд

Задачи проекта
Подобрать экономические задачи, которые решаются с помощью производной.
Рассмотреть применение правил  вычисления производной  к решению практических задач с экономическим содержанием.

4 слайд

Установить связь между экономикой и математикой.
В ходе проекта

5 слайд

Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление- аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа- изучение связей экономических величин в виде функций.

6 слайд

В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?
Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных , которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.
Также с помощью экстремума функции в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль , максимальный выпуск и минимальные издержки.
Поэтому , производная важна для экономики, и мы рассмотрели основные аспекты.
Производная решает важные вопросы

7 слайд

Задача:
пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x1- прирост продукции, а y1 - приращение издержек производства.
Решение:
В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции.

Где: MC - предельные издержки (marginal costs);
TC - общие издержки (total costs);
Q - количество.

Предельные издержки производства и дополнительные затраты на производство
 

8 слайд

 — это мера (измеритель)  эффективности труда. Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время. Из определения следует, что производительность труда определяется объемом выпущенной продукции в течение определенного времени.
Производительность труда

9 слайд

Производительность труда
В экономике очень часто объем произведенной продукции задается формулой.
Например, пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой  у = -2t³ +10t² +50t – 16, где t – время, выраженное в часах.  Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t0, необходимо найти предельное среднее значение средней производительности за период времени от t0 до t0 + Δt,
т.е. у´(х).
ВЫВОД: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.

10 слайд

Задача:
Вычислить  производительность  труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t– время (ч).
Решение:
1. Найдем производную у´(t) = -6t² +20t + 50
2. Найдем значение производной в течение каждого часа,
t=1  y’(1) = 64; t=2  y’(2) = 66
t=3  y’(3) = 56; t=4  y’(4) =34
t=5 y’(5) = 0

Производительность труда

11 слайд

Из результатов мы видим, что после второго часа работы производительность работы начинает падать. Такой результат является следствием усталости, ухудшением условий в помещении и много других факторов влияющих на производительность труда. Хочу обратить ваше внимание, на то, что недостаточно просто найти результат, главное правильно сделать выводы.

Производительность труда

12 слайд

Задача:
Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.
Решение:
Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.


Потенциал предприятия

13 слайд

Задачи ,решаемые с помощью производной, широко используются в производстве.
Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом.

Вывод:

1 слайд

Истоки
дифференциального исчисления
Авторы презентации:
М.Малашкевич
В.Парначева
Е.Зубарева

2 слайд

Цель проекта:
Узнать когда возникло понятие производной – одной из фундаментальных понятий математики и кто стоял у истоков?

3 слайд

Задачи:
Найти информацию об истории возникновения производной, изучить ее и систематизировать.

4 слайд

Производная – одно из фундаментальных понятий математики.
Оно возникло в 18 веке.
Независимо друг от друга разработали теорию дифференциального исчисления

И.Ньютон Г. Лейбниц

5 слайд

«Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон»
А.Поуг
Главный его труд- «Математические начала натуральной философии»- оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания.
Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Исаак Ньютон (1643-1727)

6 слайд

Интересно:
Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

7 слайд

Создатель Берлинской академии наук, основоположник дифференци- ального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.
Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
«Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx – это ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд».
Г.В.Лейбниц. (1646-1716)

8 слайд

До Ньютона и Лейбница эти вопросы тоже изучались

Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.



Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И.Тарталья.

9 слайд

В 17 веке на основе учения Г. Галилея активно развилась кинематическая концепция производной.
Ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной.
Впервые определение производной было сформулировано О. Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.

О. Коши (1789-1857 г.г.)
Г. Галилей
(1564-1642 г.г.)

10 слайд

Понятие производной встречается в работах ученных:
И.Барроу
(1630-1677г.г.)
Англия
Ж.Роберваль
(1602-1675 г.г.)
Франция
Р.Декарт
(1596 -1650 г.г.)
Франция
Д.Грегори
(1638-1675г.г.)
Англия

11 слайд

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли
Гийом Франсуа Лопиталь
(1661 г.-1704 г.)
Франция

Даниил Бернулли
(1700 г.- 1782г.)
Швейцария
Жозеф Луи Лагранж
(1736 г.-1813 г.)
Франция

Леонард Эйлер
(1707г.-1783г.)
Швейцария
Карл Фридрих
Гаусс
(1816г.-1855 г.)
Германия