Главная / Математика / Применение векторов к решению геометрических задач

Применение векторов к решению геометрических задач

Скачать материал

Уроки № 9-10 по теме «Векторы в пространстве» (2ч.)

Тема урока: «Применение векторов к решению геометрических задач»

Тип урока: урок решения задач

Форма проведения урока: урок-практикум

Учебные задачи урока:

  1. Формировать у учащихся умение применять векторный метод при решении содержательных задач.

  2. Выявить совместно с учащимися типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов.

  3. Выявить совместно с учащимися преимущества векторного метода.
    Диагностируемые цели:

После урока ученик

3нает

-типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов;

-основные преимущества векторного метода решения геометрических задач перед конструктивными методами.

Умеет- применять векторный метод к решению содержательных задач

Понимает важность изучаемой темы.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

  1. Мотивационно-ориентировочный этап.

(Вызывается ученик для проверки домашнего задания. Пока ученик готовиться, учитель проводит устный опрос)

Какова была тема нашего прошлого урока?

Применение вектора к решению задач

Какие типы задач можно попытаться решить, используя векторы?

Доказательство параллельности прямых.


Какие факты используются при доказательстве?

Определение равных векторов, критерий коллинеарности 2-х ненулевых векторов

Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов

hello_html_71c66a64.gif коллинеарны,hello_html_m6b6cb764.gifhello_html_m278c4ab9.gif

В каких ещё задачах, рассмотренных нами, используется критерий коллинеарности векторов?

Доказательство принадлежности точек прямой; вычисление отношений длин отрезков, на которые делит точка данный отрезок

Какие типы задач мы ещё рассматривали?

Доказательство параллельности трех прямых данной плоскости

Что для этого необходимо установить?

Что направляющие векторы этих прямых компланарны

Сформулируйте критерий компланарности трех векторов

hello_html_489ff15b.gif

компланарны

Теперь проверим решение домашней задачи

hello_html_2258ede2.png

Доказательство:

  1. М – центроид ΔАВС =>hello_html_355d1cdf.gif

М1 – центроид ΔА1В1С1 =>hello_html_m2875981f.gif

М2 – центроид ΔА2В2С2 =>hello_html_m1a48ba61.gif

  1. hello_html_44e3d9cc.gif

hello_html_m2e57a12a.gif

  1. A – середина A1A2 =>hello_html_63c0b02e.gif

B – середина B1B2 =>hello_html_18f33bc5.gif

C – середина C1C2 =>hello_html_73f29ead.gif

hello_html_m793a41cb.gif(hello_html_2e47479b.gif

=hello_html_m5dd8e548.gif

Значит, тоски М, М1, М2 лежат на одной прямой (по определению коллинеарных векторов, критерию коллинеарности двух ненулевых векторов).

В ходе проверки домашнего задания повторяются этапы решения задач векторным методом, выясняется тип данной задачи (известный учащимся), теоретический базис решения.

Перейдем к решению задачи №390


Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в котором АВ=АD=a, АА1=2а. В вершинах В1 и D1 помещены заряды q, а в вершине А – заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля в точке А1.

hello_html_13634c5f.png

Что значит, на векторном языке найти абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля?

Найти длину результирующего вектора

Как находиться вектор hello_html_127d4c20.gif напряженности электрического поля?

hello_html_md0099b7.gif где О – точка, в которой помещен заряд, М- точка, в которой создается электрическое поле.

В каких точках по условию задачи находятся точечные заряды?

В точках А, В1, D1

В каждом случае вектор напряженности свой. Найдем эти напряженности.

hello_html_m2b53238f.gif=hello_html_mf5a86d2.gif hello_html_71e22798.gif

hello_html_1c945ea7.gif=hello_html_mf5a86d2.gif hello_html_85d856b.gif

hello_html_63d07529.gif=hello_html_m5a3af2e8.gif hello_html_m773f1107.gif=hello_html_m75a30f6c.gif

Как найти вектор результирующей напряженности в точке А1?

Как сумму напряженностей hello_html_m7f901aa7.gif,hello_html_m4521202b.gif

hello_html_m583ab910.gif hello_html_6a76f9d1.gif hello_html_m42ba2daf.gif=

=hello_html_mf5a86d2.gif(hello_html_41b638c0.gif=hello_html_2ba813d3.gif

hello_html_1038d2a7.gif

hello_html_mf9f2aba.gif

Итак, мы свами рассмотрели решение двух задач( из геометрии и из физики). Что общего модно сказать об этих задачах?

К решению этих задач был применен векторный метод

  1. Операционно – познавательный этап

Учитель делит учеников на три группы. В каждой группе ученики с разной степенью облученности.

Решите задачу (каждая группа решает свою задачу).


Список задач по группам:

1. Не параллельные отрезки АА1, ВВ1, СС1 параллельны плоскости α. Докажите, что отрезок ММ1, где М и М1 точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 так же параллельны плоскости α.

2. Докажите, что три отрезка, соединяющие середины боковых ребер тетраэдра с серединами противоположных сторон основания, проходят через точку и делятся ею пополам.

3. Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Точки P и Q центры граней A1B1C1D1 и BB1C1C, точка М принадлежит ребру В1С1 и В1М:МС1= 2:1. Докажите, что точка М принадлежит плоскости АРQ.

Ученики в группах в течении 10 минут обсуждают решение задачи, производят его оформление у себя в тетрадях. Один человек у доски записывает и объясняет решение , остальные ученики кратко фиксируют план решения. После каждой задачи всем классом обсуждаются полученные итоги задачи, а участники группы комментируют затруднения, возникшие в процессе её решения.

hello_html_71107fea.png



  1. Выберем в плоскости α произвольные неколлинеарные векторыhello_html_m471fd4ac.gif и hello_html_1dbcbebe.gif

  2. АА1 ║α => hello_html_m47fc18ab.gif1= хhello_html_m4d75501a.gifhello_html_1dbcbebe.gif

BB1 ║α => hello_html_m4ec52ebb.gif1=хhello_html_m4d75501a.gifhello_html_1dbcbebe.gif

CC1 ║α => hello_html_m7c570eb4.gif1=хhello_html_m4d75501a.gifhello_html_1dbcbebe.gif

х,х12 и у,у12 попарно различны, так как АА1,ВВ1,СС1 попарно не параллельны

  1. М – центроид ΔАВС =>hello_html_355d1cdf.gif

М1 – центроид ΔА1В1С1 =>hello_html_m2875981f.gif

  1. hello_html_78348b7b.gif

hello_html_3907f36a.gif=hello_html_407cfdf8.gif

  1. hello_html_3907f36a.gif=hello_html_m607ddced.gif=>MM1║α

Ч.т.д.

Итак, какаго было требование задачи?

Доказать параллельность отрезка плоскости

Что для этого потребовалось установить?

Вектор hello_html_3907f36a.gif разложить по некоторым векторам плоскости α

На каком теоретическом факте основано решение данной задачи?

На критерии компланарности трех векторов

Какие геометрические соотношения интерпретировались на «векторный язык» в процессе решения?

Параллельность прямой и плоскости и точка пресечения медиан треугольника

Какой тип задач, к решению которых может быть применен векторный метод, вы можете выделить в данный случай?

Установить параллельность прямой и плоскости

Верно. Обратимся к решению второй задачи.


hello_html_1f0c9db4.png

  1. Пусть О1-середина отрезка МS=>hello_html_657c6fdd.gif=hello_html_m4a4514f3.gif(hello_html_m181eff51.gif

M-середина AB=>hello_html_m5a93ecf4.gif=hello_html_m4a4514f3.gif(hello_html_m494a42f.gif

S- середина DC=>hello_html_m5a93ecf4.gif=hello_html_m56cf0ec2.gif

hello_html_m4ce20043.gif(hello_html_m6f048dd1.gif)+hello_html_m158f6f59.gif)=hello_html_413c9cdd.gif

  1. Пусть О2 середины LK =>hello_html_m2a920ec0.gif

hello_html_m2e0ee477.gif, hello_html_7920f62b.gif

  1. Пусть О3-середины PN. Аналогично получаем, hello_html_m411bbb91.gif

Из 1,2,3 имеем hello_html_m3fd86f4c.gif=hello_html_6cbae3a0.gif

Ч.т.д.

К какому типу задач вы можете отнести рассмотренную сейчас задачу?

Доказательство того, что три прямые пересекаются в одной точке.

Верно. На каких теоретических фактах основано доказательство?

На формуле середины отрезка, теоремы о единстве разложения вектора по трем некомпланарным векторам, лемме о коллинеарных векторах.

Будет ли иметь место доказанный факт для правильного тетраэдра?

Да. Данное утверждение доказано для произвольной треугольной пирамиды.

Перейдем к решению последней задачи.


hello_html_92f9a5b.png

  1. Пусть векторы hello_html_4b6a8891.gif

Тогда hello_html_1e0a839e.gif,hello_html_m467d0039.gif,hello_html_m62c931c2.gif

hello_html_28480538.gif

Для этого необходимо, чтобы система была совместна.

hello_html_2b4aa2bd.gif=>x=hello_html_68a9a7c4.gif y=hello_html_734eebe.gif

Значит, hello_html_m4e94576f.gif

Ч.т.д.

Итак, что необходимо было установить в задаче?

Принадлежность точки плоскости

Какие теоретические факты были положены в основу доказательства?

Критерий компланарности векторов, теорема о единственности разложения вектора по трем некомпланарным

Попробуйте изменить требование задачи так, чтобы решение осталось неизменным

Доказать, что точки A,P,Q,M лежат в одной плоскости.

Итак, сделайте выводы, задачи какого ещё типа можно эффективно решить, используя векторный метод?

Доказательство принадлежности точки плоскости, четырех точек одной плоскости.

Рассмотрим другой способ решения данной задачи (конструктивный). Что необходимо построить для доказательства принадлежности точки М плоскости (APQ)?

Сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1плоскостью (APQ).

Какую часть сечения необходимо показать на рисунке, учитывая условия задач?

Линию пересечения плоскостей (APQ) и (A1B1C1)

Верно. Для этого необходимо построить вспомогательную плоскость А1АQ. Она пересекает плоскость (A1B1C1) по прямой А1Q1, где Q1hello_html_m4a6a9c98.gifВ1С1, QQ1AA1.

(Учитель выполняет построение на доске, комментирует, записывает этапы построения).

Какого взаимное расположение прямых A1Q1 и AQ?

hello_html_36c010ea.png

Они пересекаются, так как лежат в одной плоскости и не являются параллельными.

Как в таком случае построить точку пересечения таких прямых?

Выполняется построение

Пусть A1Q1 и AQ пересекаются в точке Х. Что вы можете сказать о принадлежности точки Х плоскостям (APQ) и (A1B1C1)?

Хhello_html_m4a6a9c98.gif(APQ) и (A1B1C1), так как принадлежит лежащим в них прямым A1Q1 и AQ.

Итак, Х- общая точка плоскостей (APQ) и (A1B1C1). Какая ещё точка, отмеченная на рисунке, принадлежит этим плоскостям?


Точка Р

Постройте линию пересечения этих плоскостей

Выполняют построения.

Пусть (APQ) пересекает В1С1 в точке М1, а А1D1 в точке Х1. Что нам необходимо установить, чтобы доказать принадлежность точки М плоскости сечения?

Что точки М и М1 совпадают.

Как это можно проверить?

Необходимо проверить выполнимость условия B1М11С1=2:1

Начинаем оформлять задачу. Этапы построения сечения были записаны ранее)

hello_html_36c010ea.png

  1. (АА1Q):Q1hello_html_m4a6a9c98.gifB1C1, QQ1AA1

  2. X :{X}=(AD)∩(A1Q1)

  3. XP- линия пересечения плоскостей (APQ) и (A1B1C1)

  4. (XP)∩( B1C1)={M1}, (XP)∩( A1D1)={X1}

  5. Q1M1- средняя линия A1XX1

Q1-середина В1С1, Q1M1A1X1

=> Q1M1=hello_html_m4567f88d.gif A1X1

6. ΔA1XP=ΔM1C1P =>M1C1=A1X1=2Q1M1

7. Q1-середина В1С1=> M1C1=hello_html_780be5d7.gif B1C1 или В1М1: M1C1=2:1

Это значит, что М=М1=>(APQ)

Ч.т.д.

Сравним два метода решения одной задачи. Какой вам показался более простым? Почему?

Векторный метод, так как он является более рациональным

Что можно сказать о необходимости выполнения рисунка в том и другом случае?

При конструктивном методе решения рисунок необходим, так как на нем производятся дополнительные построения, необходимые в процессе решения. При решении задач векторным методом рисунок играет вспомогательную роль.

Как мы строим процесс решения задач векторным методом?

Опираясь на алгоритм решения задач векторным методом.

Верно. Поэтому применение векторного метода при решении задач дает некий ориентир решаемому, в то время как конструктивный метод требует более трудоемкой работы на этапе поиска решения.


III.Рефлексивно-оценочный этап

Итак, сформулируйте, какими
основными преимуществами обладает векторный метод решения геометрических задач по сравнению с геометрическим?

Векторный метод имеет алгоритм решения задач, позволяет избежать дополнительных построений.

А что вы можете отнести к его недостаткам?


Векторный метод не является универсальным методом решения геометрических задач.

Верно, далеко не любую задачу можно решить, используя векторный метод. К каким-то классам задачhello_html_m36598489.gif векторный метод либо вовсе неприменим, либо является малоэффективным.
Мы с вами на протяжении
нескольких уроков выделяли типы
задач, к которым может быть
применен векторный метод,
составляли систематизирующую

таблицу (приложение 1). Какие классы задач нами были рассмотрены?

Доказательство параллельности

прямых; трех прямых и плоскости, прямой и плоскости.

Доказательство принадлежности трех точек одной прямой, 4-х точек одной плоскости.

Доказательство того, что три прямые пересекаются в единственной точке. Вычисление отношения, в котором данная точка делит исходный отрезок

Решение этих задач опирается на аффинные операции над векторами (сложение векторов, умножение вектора на число) и их свойства. Пока мы не можем с помощью векторов решать метрические задачи (на нахождение длины отрезков, величины углов и т.д.) Для этого нужно изучить новую операцию над векторами (скалярное произведение). Её мы изучим в 11 классе.


А пока попробуйте сформулировать вывод, почему нам необходимо изучать векторы и векторный метод решения геометрических задач?

Ответы учеников

Д/з №397, 399(Выписать в таблицу новый тип задач)



Применение векторов к решению геометрических задач Скачать материал
  • Математика
Описание:

Тема урока: «Применение векторов к решению геометрических задач»

Тип урока: урок решения задач

Форма проведения урока: урок-практикум

Учебные задачи урока:

1.Формировать у учащихся умение применять векторный метод при решении содержательных задач.

2.Выявить совместно с учащимися типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов.

3.Выявить совместно с учащимися преимущества векторного метода.
Диагностируемые цели:

После урока ученик

3нает

-типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов;

-основные преимущества векторного метода решения геометрических задач перед конструктивными методами.

Умеет- применять векторный метод к решению содержательных задач

Понимаетважность изучаемой темы.

Автор Чадаева Ольга Вадимовна
Дата добавления 18.04.2017
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров 196
Номер материала MA-071085
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓