Уроки № 9-10 по теме «Векторы в пространстве» (2ч.)
Тема урока: «Применение векторов к решению геометрических задач»
Тип урока: урок решения задач
Форма проведения урока: урок-практикум
Учебные задачи урока:
1. Формировать у учащихся умение применять векторный метод при решении содержательных задач.
2. Выявить совместно с учащимися типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов.
3.
Выявить
совместно с учащимися преимущества векторного метода.
Диагностируемые цели:
После урока ученик
3нает
-типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов;
-основные преимущества векторного метода решения геометрических задач перед конструктивными методами.
Умеет- применять векторный метод к решению содержательных задач
Понимает важность изучаемой темы.
|
Деятельность учителя |
Деятельность учеников |
|
|
I. Мотивационно-ориентировочный этап. |
||
|
(Вызывается ученик для проверки домашнего задания. Пока ученик готовиться, учитель проводит устный опрос) |
||
|
Какова была тема нашего прошлого урока? |
Применение вектора к решению задач |
|
|
Какие типы задач можно попытаться решить, используя векторы? |
Доказательство параллельности прямых.
|
|
|
Какие факты используются при доказательстве? |
Определение равных векторов, критерий коллинеарности 2-х ненулевых векторов |
|
|
Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов |
|
|
|
В каких ещё задачах, рассмотренных нами, используется критерий коллинеарности векторов? |
Доказательство принадлежности точек прямой; вычисление отношений длин отрезков, на которые делит точка данный отрезок |
|
|
Какие типы задач мы ещё рассматривали? |
Доказательство параллельности трех прямых данной плоскости |
|
|
Что для этого необходимо установить? |
Что направляющие векторы этих прямых компланарны |
|
|
Сформулируйте критерий компланарности трех векторов |
компланарны |
|
|
Теперь проверим решение домашней задачи |
|
|
|
|
||
|
Доказательство: 1.
М – центроид ΔАВС => М1 – центроид ΔА1В1С1
=> М2 – центроид ΔА2В2С2
=> |
||
|
2.
3.
A – середина A1A2 => B – середина B1B2 => C – середина C1C2 =>
= Значит, тоски М, М1, М2 лежат на одной прямой (по определению коллинеарных векторов, критерию коллинеарности двух ненулевых векторов). В ходе проверки домашнего задания повторяются этапы решения задач векторным методом, выясняется тип данной задачи (известный учащимся), теоретический базис решения. |
||
|
Перейдем к решению задачи №390 |
|
|
|
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в котором АВ=АD=a, АА1=2а. В вершинах В1 и D1 помещены заряды q, а в вершине А – заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля в точке А1.
|
||
|
Что значит, на векторном языке найти абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля? |
Найти длину результирующего вектора |
|
|
Как находиться вектор |
|
|
|
В каких точках по условию задачи находятся точечные заряды? |
В точках А, В1, D1 |
|
|
В каждом случае вектор напряженности свой. Найдем эти напряженности. |
|
|
|
Как найти вектор результирующей напряженности в точке А1? |
Как сумму напряженностей
=
|
|
|
Итак, мы свами рассмотрели решение двух задач( из геометрии и из физики). Что общего модно сказать об этих задачах? |
К решению этих задач был применен векторный метод |
|
|
II. Операционно – познавательный этап |
||
|
Учитель делит учеников на три группы. В каждой группе ученики с разной степенью облученности. Решите задачу (каждая группа решает свою задачу). |
|
|
|
Список задач по группам: №1. Не параллельные отрезки АА1, ВВ1, СС1 параллельны плоскости α. Докажите, что отрезок ММ1, где М и М1 точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 так же параллельны плоскости α. №2. Докажите, что три отрезка, соединяющие середины боковых ребер тетраэдра с серединами противоположных сторон основания, проходят через точку и делятся ею пополам. №3. Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Точки P и Q центры граней A1B1C1D1 и BB1C1C, точка М принадлежит ребру В1С1 и В1М:МС1= 2:1. Докажите, что точка М принадлежит плоскости АРQ. Ученики в группах в течении 10 минут обсуждают решение задачи, производят его оформление у себя в тетрадях. Один человек у доски записывает и объясняет решение , остальные ученики кратко фиксируют план решения. После каждой задачи всем классом обсуждаются полученные итоги задачи, а участники группы комментируют затруднения, возникшие в процессе её решения. |
||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
1. Выберем в плоскости α произвольные неколлинеарные векторы 2. АА1 ║α => BB1 ║α => CC1 ║α => х,х1,х2 и у,у1,у2 попарно различны, так как АА1,ВВ1,СС1 попарно не параллельны 3. М – центроид ΔАВС => М1 – центроид ΔА1В1С1
=> 4.
5.
Ч.т.д. |
||
|
Итак, какаго было требование задачи? |
Доказать параллельность отрезка плоскости |
|
|
Что для этого потребовалось установить? |
Вектор |
|
|
На каком теоретическом факте основано решение данной задачи? |
На критерии компланарности трех векторов |
|
|
Какие геометрические соотношения интерпретировались на «векторный язык» в процессе решения? |
Параллельность прямой и плоскости и точка пресечения медиан треугольника |
|
|
Какой тип задач, к решению которых может быть применен векторный метод, вы можете выделить в данный случай? |
Установить параллельность прямой и плоскости |
|
|
Верно. Обратимся к решению второй задачи. |
|
|
|
|
||
|
1.
Пусть О1-середина
отрезка МS=> M-середина AB=> S- середина DC=>
2.
Пусть О2 середины
LK =>
3. Пусть О3-середины PN. Аналогично получаем, Из 1,2,3 имеем Ч.т.д. |
||
|
К какому типу задач вы можете отнести рассмотренную сейчас задачу? |
Доказательство того, что три прямые пересекаются в одной точке. |
|
|
Верно. На каких теоретических фактах основано доказательство? |
На формуле середины отрезка, теоремы о единстве разложения вектора по трем некомпланарным векторам, лемме о коллинеарных векторах. |
|
|
Будет ли иметь место доказанный факт для правильного тетраэдра? |
Да. Данное утверждение доказано для произвольной треугольной пирамиды. |
|
|
Перейдем к решению последней задачи. |
|
|
|
|
||
|
1. Пусть векторы Тогда
Для этого необходимо, чтобы система была совместна.
Значит, Ч.т.д. |
||
|
Итак, что необходимо было установить в задаче? |
Принадлежность точки плоскости |
|
|
Какие теоретические факты были положены в основу доказательства? |
Критерий компланарности векторов, теорема о единственности разложения вектора по трем некомпланарным |
|
|
Попробуйте изменить требование задачи так, чтобы решение осталось неизменным |
Доказать, что точки A,P,Q,M лежат в одной плоскости. |
|
|
Итак, сделайте выводы, задачи какого ещё типа можно эффективно решить, используя векторный метод? |
Доказательство принадлежности точки плоскости, четырех точек одной плоскости. |
|
|
Рассмотрим другой способ решения данной задачи (конструктивный). Что необходимо построить для доказательства принадлежности точки М плоскости (APQ)? |
Сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1плоскостью (APQ). |
|
|
Какую часть сечения необходимо показать на рисунке, учитывая условия задач? |
Линию пересечения плоскостей (APQ) и (A1B1C1) |
|
|
Верно. Для этого необходимо построить вспомогательную плоскость
А1АQ. Она пересекает плоскость (A1B1C1) по прямой А1Q1, где Q1 (Учитель выполняет построение на доске, комментирует, записывает этапы построения). Какого взаимное расположение прямых A1Q1 и AQ? |
Они пересекаются, так как лежат в одной плоскости и не являются параллельными. |
|
|
Как в таком случае построить точку пересечения таких прямых? |
Выполняется построение |
|
|
Пусть A1Q1 и AQ пересекаются в точке Х. Что вы можете сказать о принадлежности точки Х плоскостям (APQ) и (A1B1C1)? |
Х |
|
|
Итак, Х- общая точка плоскостей (APQ) и (A1B1C1). Какая ещё точка, отмеченная на рисунке, принадлежит этим плоскостям? |
Точка Р |
|
|
Постройте линию пересечения этих плоскостей |
Выполняют построения. |
|
|
Пусть (APQ) пересекает В1С1 в точке М1, а А1D1 в точке Х1. Что нам необходимо установить, чтобы доказать принадлежность точки М плоскости сечения? |
Что точки М и М1 совпадают. |
|
|
Как это можно проверить? |
Необходимо проверить выполнимость условия B1М1:М1С1=2:1 |
|
|
Начинаем оформлять задачу. Этапы построения сечения были записаны ранее)
1. (АА1Q):Q1 2. X :{X}=(AD)∩(A1Q1) 3. XP- линия пересечения плоскостей (APQ) и (A1B1C1) 4. (XP)∩( B1C1)={M1}, (XP)∩( A1D1)={X1} 5. Q1M1- средняя линия A1XX1 Q1-середина В1С1, Q1M1║A1X1 => Q1M1= 6. ΔA1XP=ΔM1C1P =>M1C1=A1X1=2Q1M1 7. Q1-середина В1С1=> M1C1= Это значит, что М=М1=>(APQ) Ч.т.д. |
||
|
Сравним два метода решения одной задачи. Какой вам показался более простым? Почему? |
Векторный метод, так как он является более рациональным |
|
|
Что можно сказать о необходимости выполнения рисунка в том и другом случае? |
При конструктивном методе решения рисунок необходим, так как на нем производятся дополнительные построения, необходимые в процессе решения. При решении задач векторным методом рисунок играет вспомогательную роль. |
|
|
Как мы строим процесс решения задач векторным методом? |
Опираясь на алгоритм решения задач векторным методом. |
|
|
Верно. Поэтому применение векторного метода при решении задач дает некий ориентир решаемому, в то время как конструктивный метод требует более трудоемкой работы на этапе поиска решения. |
|
|
|
III.Рефлексивно-оценочный этап |
||
|
Итак,
сформулируйте, какими |
Векторный метод имеет алгоритм решения задач, позволяет избежать дополнительных построений. |
|
|
А что вы можете отнести к его недостаткам?
|
Векторный метод не является универсальным методом решения геометрических задач. |
|
|
Верно, далеко не любую задачу можно решить,
используя векторный метод. К каким-то классам задач таблицу (приложение 1). Какие классы задач нами были рассмотрены? |
Доказательство параллельности прямых; трех прямых и плоскости, прямой и плоскости. Доказательство принадлежности трех точек одной прямой, 4-х точек одной плоскости. Доказательство того, что три прямые пересекаются в единственной точке. Вычисление отношения, в котором данная точка делит исходный отрезок |
|
|
Решение этих задач опирается на аффинные операции над векторами (сложение векторов, умножение вектора на число) и их свойства. Пока мы не можем с помощью векторов решать метрические задачи (на нахождение длины отрезков, величины углов и т.д.) Для этого нужно изучить новую операцию над векторами (скалярное произведение). Её мы изучим в 11 классе. |
|
|
|
А пока попробуйте сформулировать вывод, почему нам необходимо изучать векторы и векторный метод решения геометрических задач? |
Ответы учеников |
|
|
Д/з №397, 399(Выписать в таблицу новый тип задач) |
|
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема урока: «Применение векторов к решению геометрических задач»Тип урока: урок решения задачФорма проведения урока: урок-практикумУчебные задачи урока:1.Формировать у учащихся умение применять векторный метод при решении содержательных задач.2.Выявить совместно с учащимися типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов.3.Выявить совместно с учащимися преимущества векторного метода. Диагностируемые цели:После урока ученик3нает-типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов;-основные преимущества векторного метода решения геометрических задач перед конструктивными методами.Умеет- применять векторный метод к решению содержательных задачПонимаетважность изучаемой темы.
6 676 931 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Купташкина Ирина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.