Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Приёмы решения геометрических задач
Шпилева Людмила Александровна
МАОУ «Лицей «Технический» г. Владивостока»
2 слайд
Геометрические задачи повышенной сложности
Решаются с помощью
применения ключевых задач-теорем
избранных методов решения
3 слайд
Используемая литература
4 слайд
Метод решения: Удвоение медианы
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
АВСЕ – параллелограмм
(по признаку)
АВСЕ – прямоугольник
(т.к. В = 90°)
ВК = АС = КС = КЕ
ВК = ½ АС
Ключевая задача
Удвоим медиану ВК,
продлив ее за точку К
5 слайд
Следствие из свойства медианы к гипотенузе. Ключевая задача
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника
6 слайд
Использование введения буквенных обозначений величин. Ключевая задача
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
2α + 2β =180°
α + β =90°
АВС = α + β = 90°
∆ABD и ∆ BCD – равнобедренные
BAD =ABD = α; DBC = BCD = β
7 слайд
Метод вспомогательных построений
При решении некоторых задач удобно в прямоугольном треугольнике выделять треугольник, образованный медианой и высотой к гипотенузе
8 слайд
Применение свойства медианы к гипотенузе
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.
Проведем медиану CD к гипотенузе.
∆ACD - равнобедренный
CAD = ACD = 15°
9 слайд
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.
CAD = ACD = 15°
CDH = 30° как внешний угол
CD = 2СН = 2
АВ = 2СD = 4
Ответ: 4
Применение свойства медианы к гипотенузе
10 слайд
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Тренировочная работа ГИА февраль 2014 г
СD = 6
CDH = 30°
CAD = ACD = 15°
CВА = 90° - 15° = 75°
Ответ: 15°; 75°
Применение свойства медианы к гипотенузе
Проведем медиану CD и высоту СН к гипотенузе.
11 слайд
Свойства площади треугольника
Площади треугольников, имеющих общую высоту (равные высоты) , относятся как стороны, к которым эти высоты проведены
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
Ключевые задачи
12 слайд
Метод вспомогательных построений.
Использование осевой симметрии
В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом С медиана BM равна 6, ∠ MBC = 15º. Найдите площадь треугольника ABC.
Выполним осевую симметрию
∆СВМ относительно прямой ВС
S∆АВС= 2S CBМ, т.к. ВМ - медиана
S ∆DВC = S CBМ
S∆АВС=S DBМ = 2S CBМ
S ABC= ½ ВМ2 ·sin30° = 9
Ответ: 9
13 слайд
Построение вспомогательных отрезков в трапеции
Прямую, параллельную одной из диагоналей трапеции
Прямую, параллельную одной из боковых сторон трапеции
Прямые, параллельные обеим боковым сторонам трапеции
14 слайд
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD ∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину основания AD.
Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе
Построим MF ║AB, MT ║ CD
AD – большее основание
15 слайд
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD ∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину основания AD.
FMT - прямой
∆FMT - прямоугольный
MN- медиана?
Обозначим AN = NB = b;
AD = 2b, BM = MC = a
MN- медиана к гипотенузе
FT = 2MN = 6
Применение свойства медианы к гипотенузе
16 слайд
12. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD ∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину основания AD.
Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе
MN- медиана к гипотенузе
FT = 2MN = 6
FT = 2b – 2a = 6
средняя линия KL
AD = 2b = 8
Ответ: 8
17 слайд
В параллелограмме ABCD площадь треугольника АСD равна площади треугольника DBС
Метод решения: Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
S ∆DAC = S ∆DВC = ½S ABCD
18 слайд
Площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ
Метод решения: Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
АЕ = AD + DE =AD + ВС
CE ║ BD
19 слайд
Дополнительные построения в трапеции.
Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
Проведем CE ║ BD, СР ║MN
S ABCD = S ∆АCЕ
Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
20 слайд
Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
СР – медиана ?
Обозначим ВМ =MC = а;
АN = ND = b
AP =b + а; PE=b – a+2a = b + a
СР – медиана к гипотенузе
MC = NP = а; BC = DE = 2a
PD = b - a
Дополнительные построения в трапеции.
Применим метод удвоения медианы
21 слайд
Дополнительные построения в трапеции. Метод удвоения медианы. Переход к равновеликой фигуре
Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
СН=2СР= 4
S ∆CНЕ = S ∆АCЕ = SABCD
∆СНЕ - прямоугольный, СНЕ = 90°
СН= 4; СЕ = 5; НЕ = 3
S ABCD = S ∆АCЕ =S∆СНЕ= ½ СН ·НЕ = ½·4 · 3 = 6
Ответ: 6
22 слайд
Метод площадей
Идея метода: площади фигуры находим, используя различные формулы или различные отрезки и углы. Приравняв эти выражения, получаем уравнение, содержащее известные и искомые величины.
23 слайд
Медиана BM треугольника ABC равна его высоте AH. Найдите угол MBC.
Метод площадей
Пусть МВС = α
Т. к. АН = ВМ, то
МВС = α = 30° или МВС = 150°
Т.к. ВМ - медиана
24 слайд
Свойство деления сторон треугольника
окружностью, вписанной в него.
АМ = АЕ
BN = BЕ
CN = CM
25 слайд
В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.
Метод площадей
Обозначим AM = AN = x
х = 7
S△ABC = (8 + 6 + x) · 4 = (14 + x) · 4.
С другой стороны, по формуле Герона
AC = x + 6 = 13,
AB = x + 8 = 15
Ответ: 13; 15
26 слайд
Метод решения: Введение вспомогательной окружности
Идея метода: ввести в рассмотрение окружность, если это возможно в данной конфигурации, чтобы применить разнообразные свойства отрезков и углов, связанных с ней
27 слайд
Введение вспомогательной окружности
В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠ BCA = 20º, ∠ BAC = 35º, ∠ BDС = 70º, ∠ BDA = 40º. Найдите углы между диагоналями этого четырехугольника.
20º =½· 40º
Можно построить окружность с центром в точке D, проходящую через остальные три вершины четырехугольника С; В и D
∠ BCA и ∠ BCA опираются на отрезок ВА и лежат от него по одну сторону
28 слайд
Введение вспомогательной окружности
∠ СAD = ∠ DСA =
= (180º – 40º – 70º ) : 2 = 35º.
Из Δ APD
∠ APD = 180º – 40º – 35º = 105º.
Углы между диагоналями равны
105º и 75º
Ответ: 105°; 75°
∆ ACD - равнобедренный
В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠ BCA = 20º, ∠ BAC = 35º, ∠ BDС = 70º, ∠ BDA = 40º. Найдите углы между диагоналями этого четырехугольника.
CD = DA как радиусы одной окружности
29 слайд
Введение вспомогательной окружности
В трапеции ABCD (AD || ВС) ADB в два раза меньше АСВ. Известно, что ВС = АС = 5 и AD = 6. Найдите площадь трапеции.
ADB = ½ АСВ и углы «опираются» на один отрезок – АВ и лежат от него по одну сторону
Можно построить окружность с центром в точке С и R = ВС = АС = 5
CD = 5
∆ACD - равнобедренный
Проведём высоту СК
CК = 4
Ответ: 22
3
3
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В презентации "Приемы решения задач повышенной сложности по геометрии при подготовке к ОГЭ" представлены основные методы решения планиметрических задач.
Геометрические задачи повышенной сложности решаются с помощью
1. применения ключевых задач-теорем
2. избранных методов решения.
В работе представлены на примерах решения конкретных задач такие методы решения, как
1. Удвоение медианы
2. Использование введения буквенных обозначений величин
3. Метод вспомогательных построений
4. Построение вспомогательных отрезков в трапеции
5. Использование осевой симметрии
6. Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
7. Метод площадей
8. Введение вспомогательной окружности
6 660 309 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Шпилева Людмила Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.