Новогодняя скидка — 70% на все курсы только до 31 декабря!
Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации
версия для слабовидящих
Главная / Математика / Презентация по теме: "Методы решения тригонометрических уравнений"

Презентация по теме: "Методы решения тригонометрических уравнений"

Название документа Методические рекомендации к использованию пособия.docx

Методические рекомендации

по использованию электронного пособия «Методы решения тригонометрических уравнений».

Данное пособие рекомендуется применять в качестве уроков объяснения нового материала и в качестве уроков закрепления или обобщения. Можно использовать полную демонстрацию всех слайдов, или рассмотреть только часть презентации. В презентации использованы эффекты гиперссылки на ее содержание, что позволит учителю рассмотреть именно то, что ему требуется на уроке.

Вся презентация построена на примерах решения задач и описании их способов. Существует много электронных пособий по данной теме, но «изюминкой» данной презентации является многообразие методов и их закрепление на примере одного уравнения, которое, конечно, имеет не 5 способов, а больше. В пособии рассмотрены не все, а лишь наиболее интересные. Буду рада, если моя презентация поможет учителям провести урок интересно.

Название документа утова О.Н..pptx

Простейшие тригонометрические уравнения arcsin(-a) = -arcsina sinx = a x=(-1)...
Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алг...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Ш...
Простейшие тригонометрические уравнения arccos(-a) = π – arccos a cosx = a x=...
Простейшие тригонометрические уравнения arctg(-a) = -arctga arcctg(-a) =π -ar...
Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно реши...
Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x –...
Метод введения новой переменной Таким образом: sinx=1/2 и sin x = –1 Находим...
Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x ...
Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобн...
Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в...
Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. р...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделит...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2...
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg...
Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: c...
Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставл...
Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin...
Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения...
1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспол...
2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения...
3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую ча...
3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородн...
4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin²...
5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (...
5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin...
 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !
‹‹
1 из 32
››

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Простейшие тригонометрические уравнения arcsin(-a) = -arcsina sinx = a x=(-1)
Описание слайда:

Простейшие тригонометрические уравнения arcsin(-a) = -arcsina sinx = a x=(-1)n arcsina +πn, nϵZ sinx = 0 x= πn, nϵZ sinx = 1 x= , nϵZ sinx = - 1 x= - , nϵZ

№ слайда 2 Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алг
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

№ слайда 3 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Ш
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Шаг 1. Привести данное уравнение к виду a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

№ слайда 4 Простейшие тригонометрические уравнения arccos(-a) = π – arccos a cosx = a x=
Описание слайда:

Простейшие тригонометрические уравнения arccos(-a) = π – arccos a cosx = a x= ± arccosa +2πn, nϵZ cosx = 1 x=2πn, nϵZ cosx = 0 x= , nϵZ cosx = - 1 x=π+2πn, nϵZ

№ слайда 5 Простейшие тригонометрические уравнения arctg(-a) = -arctga arcctg(-a) =π -ar
Описание слайда:

Простейшие тригонометрические уравнения arctg(-a) = -arctga arcctg(-a) =π -arcctga tgx = a x= ± arctga +πn, nϵZ ctgx = a x= ± arcctga +πn, nϵZ

№ слайда 6 Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно реши
Описание слайда:

Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно решить несколькими способами, предложим 5 способов.

№ слайда 7 Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x –
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 Решение. Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем квадратное уравнение: 2y2 + y – 1 = 0, из которого у1=1\2 и у2 = -1

№ слайда 8 Метод введения новой переменной Таким образом: sinx=1/2 и sin x = –1 Находим
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Таким образом: sinx=1/2 и sin x = –1 Находим значения x: 1) x =  (–1)n π/6 + πk 2) x =  –π/2 + 2πn Ответ:  x = (–1)n π/6 + πk,  k ∈ Z x = –π/2 + 2πn,  n ∈ Z

№ слайда 9 Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x 
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x – 2 = 0. Решение: Мы знаем, что sin2 x + cos2 x = 1. Отсюда выводим значение sin2 x: sin2 x = 1 – cos2 x. Вводим это значение sin2 x в наш пример: 6 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0. Раскрываем скобки:

№ слайда 10 Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобн
Описание слайда:

Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобные члены: 4 – 6 cos2 x + 5 cos x  = 0. Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило): – 6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0.

№ слайда 11 Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в результате получим квадратное уравнение:  – 6у2 + 5у + 4 = 0. Решив его, находим корни:   у = – 1/2 или у =4/3 Обратная замена: Рассмотрим вариант cosx= 4\3

№ слайда 12 Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. р
Описание слайда:

Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его. Сначала находим значение арккосинуса:                 1       2π arccos( – —) = ——                 2        3 Осталось найти x:                                        2π x = ± —  +  2πk,  k ∈ Z 3

№ слайда 13 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделит
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos2 x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg2 x + b arctg x + c = 0. Пример 1: Решите уравнение 3 cosx - 2 sinx = 0. Решение:

№ слайда 14 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx = 0/: cosx, 3 – 2 tgx= 0, tgx= 1,5, x = arctg1,5 +πn, nϵZ Ответ: x = arctg1,5 +πn, nϵZ

№ слайда 15 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0. Решение. 1) 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0; 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0; sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0 /cos2 x ≠ 0.

№ слайда 16 Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg
Описание слайда:

Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg x – 4 = 0. 3) Пусть tg x = t, тогда t2 + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z. Ответ:  x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

№ слайда 17 Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: c
Описание слайда:

Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: cos2πx=x2−8x+17 cos2πx= (x−4)2+1 . Оценим левую и правую части уравнения:  −1 ≤cos2πx≤ 1  и  (x−4)2+1≥1  . Следовательно, равенство достигается, если  cos2πx=1 и  (x−4)2+1 =1.

№ слайда 18 Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставл
Описание слайда:

Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставляем это значение в первое уравнение и убеждаемся в верности равенства. Следовательно, x = 4 корень исходного уравнения. Ответ: x = 4

№ слайда 19 Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin
Описание слайда:

Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение: 1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x · cos x + sin 2x = 0. 2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

№ слайда 20 Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения
Описание слайда:

Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n ϵZ; из второго уравнения: cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; получим x = ±(π – π/3) + 2πk, k ϵ Z. В итоге х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z. Ответ:  х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.

№ слайда 21 1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспол
Описание слайда:

1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспользуемся формулой суммы косинусов: 2cos((π/2 +2x)\2)cos π/4=1, тогда √2 cos (π/4 +x)=1, π/4 +x=±arccos(1/√2) +2πn, nϵZ x1=2πn, nϵZ; x2= - π/2 +2πn, nϵZ

№ слайда 22 2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения
Описание слайда:

2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения на √2 , получим: (1/√2) sinx + (1/√2) cosx = (1/√2), тогда sinx cosπ/4 +sinπ/4 cosx= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), π/4 +x1= π/4 + 2πn, nϵZ, π/4 +x2= 3π/4 + 2πn, nϵZ, x1=2πn, nϵZ, x2= π/2 + 2πn, nϵZ.

№ слайда 23 3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую ча
Описание слайда:

3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2sin x/2 * cos x/2 + cos² x/2 -sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2 2sin x/2 * cos x/2 – 2sin² x/2 = 0 sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 => sin x/2 = 0 или cos x/2 - sin x/2 = 0 sin x/2 = 0; x/2 = πk; x = 2πk; k Є Z;

№ слайда 24 3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородн
Описание слайда:

3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 ≠ 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn; x = π/2 + 2πn; n Є Z. Ответ: x = 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z.

№ слайда 25 4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin²
Описание слайда:

4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin² x+2sin x cos x + cos² x = 1; 1 + sin 2x = 1; sin 2x = 0; 2x = πk; x = πk/2, k Є Z. Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: x = 2πk, k Є Z, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x = π + 2πm, m Є Z, x = - π/2 + 2πl, l Є Z. Проверка показывает, что второе и третье решения – посторонние. Ответ: x = 2πn, n Є Z, или x = - π/2 + 2πl, l Є Z.

№ слайда 26 5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (
Описание слайда:

5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (1 + tg² x/2); cos x = (1 – tg² x/2) / (1 + tg² x/2); tg x = 2tg x/2 / (1 – tg² x/2).

№ слайда 27 5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin
Описание слайда:

5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin x + cos x = 1 запишем в виде 2tg x/2 / (1 + tg² x/2) + (1 – tg² x/2 )/( 1 + tg² x/2) = 1. Умножим обе части уравнения на (1 + tg² x/2): 2tg x/2 + 1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2; 2tg2 x/2 - 2tg x/2 = 0; tg x/2 = 0; tg x/2 =1 x/2 = πn, n Є Z., x = 2πn, n Є Z. x/2 = π/4 + πn; x = π/2 + 2πn, n Є Z.

№ слайда 28  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !

№ слайда 29
Описание слайда:

№ слайда 30
Описание слайда:

№ слайда 31
Описание слайда:

№ слайда 32
Описание слайда:

  • Математика
Описание:

Данное пособие рекомендуется применять в качестве уроков объяснения нового материала и в качестве уроков закрепления или обобщения. Можно использовать полную демонстрацию всех слайдов, или рассмотреть только часть презентации. В презентации использованы эффекты гиперссылки на ее содержание, что позволит учителю рассмотреть именно то, что ему требуется на уроке.

 

          Вся презентация построена на примерах решения задач и описании их способов. Существует много электронных пособий по данной теме, но «изюминкой» данной презентации является многообразие методов  и их закрепление на примере одного уравнения, которое, конечно, имеет не 5 способов, а больше. В пособии рассмотрены не все, а лишь наиболее интересные. Буду рада, если моя презентация поможет учителям провести  урок интересно.

Скачать материал
Автор Шутова Ольга Николаевна
Дата добавления 24.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 2958
Номер материала 11880
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

Популярные курсы

Курс повышения квалификации
«Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации
«Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации
«Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»