«Что такое ТОПОЛОГИЯ?»

 

 

 

 

 

по математике

 

Ученицы 8^а класса

Основной школы № 2

п. Новоаганска

Еремеевой Алёны

Руководитель: Еремеева Н.Н.

 

 

2004-2005 уч. год

 

    С выражением «топологическое преобразование» я встретилась случайно, когда просматривала книги по математике. Мне захотелось узнать, что это за преобразование и что вообще такое топология. Интерес возрос ещё больше, когда я узнала, что топология – это часть геометрии, которая утверждает непрерывные преобразования. Оказалось, что с топологией и топологическими преобразованиями мы встречаемся везде: и дома, и в школе, и на улице. Познакомившись ближе с некоторыми определениями и понятиями топологии, я поняла, что это удивительнейшая наука, и мне захотелось ещё больше узнать о ней.

    Когда выбирали темы рефератов, я сразу решила, что мой реферат будет именно о топологии. Но топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Топологию нельзя заключить ни в какие рамки реферата и поэтому я взяла наиболее интересные (как мне кажется) факты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    ПЛАН:

 

        Вступление. Из истории топологии.                                                6

1.«Резиновая геометрия».                                                                   11

2.Связанность. Теоремы связанности.                                              17

3.Пояс Мёбиуса.                                                                                  22

4.Теорема о неподвижной точке.                                                       27

5.Топологические свойства выпуклых многогранников.

   Теорема Эйлера.

6.Теорема о четырёх цветах.                                                              36

     7.Заключение.                                                                                      41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Не многие ветви геометрии развивались в последнее время так быстро и плодотворно, как топология; редко случается, чтобы незаметный вначале отдел какой – нибудь науки приобрёл такое основное значение для большого ряда совершенно различных областей знания, как топология».

 

                            Д. Гильберт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Многие считают, что математика – это наука о числах или величинах. Можно привести не один аргумент против этого определения и к числу разделов математики, которые не являются науками о числах и величинах, принадлежит топология. Топология успешно обходится без арифметизации и служит сильным доводом против отождествления математики с арифметикой и вычислениями.

    Топология стала отдельной областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие, приходится на последние 70 лет. Топология, как одна из самых новых ветвей науки геометрии, имеет великое будущее. Она образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы, связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают почти во все области математики.

    Топология даёт важные понятия, которые используются для доказательства некоторых основных предложений – теорем существования. (Теорема существования – это теорема, которая утверждает, что каждая из широкого класса задач имеет решение специального вида).

    В настоящее время предложения топологии применяются в различных областях знания – в дифференциальных уравнениях, оптимальных процессах, в космогологии, в теоретической физике, в алгебраической геометрии и теории чисел.

 

    Что же такое топология?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    ТОПОЛОГИЯ – это часть геометрии, посвящённая изучению феномена, непрерывности. Разнообразности проявления непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой топологии на ряд отделов, различных по предмету и  методу изучения.

    ТОПОЛОГИЯ – есть наука о топологических свойствах точечных множеств и функций.

    ТОПОЛОГИЯ – это наука, дающая математическую форму интуитивным понятиям, выраженным словами «быть соседним», «мало отличаться», «стремиться  к…»

    Эти понятия, взятые из разных источников, а все они вместе дают полное определение топологии.

    Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18-19 веках. К этому периоду принадлежат: теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части. Первые сведения по топологии (до 1930 г. она называлась «analytit titut») можно найти в работах Карла Вейерштрасса(60-е годы прошлого века). Он даёт понятия пределу функции и реконструирует систему действительных чисел. Появляются исследования Георга Катора (немецкого математика) по теории точечных множеств (1874-1895годы).

    Первое направление топологии (называемое теоретико-множественной топологией) было утверждено Ф. Хаусдорфом и другими математиками (начало ХХ века).

    Второе направление топологии (называемое комбинаторной или алгебраической топологией) начало развиваться в 90-х годах прошлого столетия. В этом направлении имеются работы А. Пуанкре, которые посвящены интегральному исчислению для высших размерностей.

    Объединил теоретико-множественное и комбинаторное направления Л.Брауэр (1908). Он же изучил понятие размерности. Дальнейшее развитие объединённой теории было продолжено Д. Лефшецом (С. Левшец первый использовал термин «топология») и другими.

    С 1930 года топология двигалась более ускоренным шагом. Огромнейший вклад внесли в эту науку М. Морс (теория критических точек), Х. Уитни

( расслоенное пространство), Ж. Де Рама (дифференциальные формы).

    Топология дала новый толчок дифференциальной геометрии и развила новую ветвь алгебры (называемой гомологической алгеброй) и алгебраическую геометрию.

    Советские математики, начиная с 20-х годов, тоже внесли большой вклад в топологию. Особенно важные результаты принадлежат П.С. Александрову,  А.Н. Колмогорову,  Л.С. Понтрягину,  П.С. Урысону.

     В последние годы успешно работают в этой области математики В.А.Рохлин, М.М. Постников, С.П. Новиков, А.В.Чернавский и другие.

    Топология превратилась в одну из основных граней математики и стала необходимой для многих её областей.       

 

 

 

 

 

 

 

 

 Геометрические фигуры имеют различные свойства:

 

А) МЕТРИЧЕСКИЕ – зависят от размеров и формы фигур.

  Сохраняются при изотермических преобразованиях (сохранение расстояний, длин линий) или при преобразованиях подобия (неизменные

углы и пропорции частей фигуры).

 

                                                                        ;                               ;

                                                                                                                            

 

Б) ПРОЕКТИВНЫЕ – (более качественные свойства) прямолинейность или искривлённость, выпуклость или невыпуклость.

  Сохраняются при деформациях, не искривляющих прямых линий.

                                                             

                                                       ;

                                                                        

 

В) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ – гладкость или негладкость.

  Сохраняются при любых преобразованиях.

 

 

 

;

 

 

 

 

Г) БЛИЗОСТИ – ограниченность или неограниченность.

  Сохраняются при любых равномерно-непрерывных преобразованиях.

 

 

                                                                       

 

  

 

 В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких непрерывных деформациях фигур. Это и есть ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА.

 

    Топологию называют резиновой геометрией. Чтобы это хорошо понять, нужно представить, что некоторая фигура сделана из резины. Её можно растягивать, сжимать, закручивать, но не разрывать и не склеивать.

 

 

 

Например, маленький шарик можно раздуть в большой, потом его можно превратить в эллипс, потом в гантель. Также можно поверхность шара превратить в поверхность куба, тетраэдра, призмы, пирамиды, конуса и т.д.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Но никак нельзя из шара сделать непрерывной деформацией бублик. Аптечную резинку можно представить как окружность, эллипс, многоугольник, любую замкнутую кривую, но при этом резинка не должна разрываться или склеиваться. Разрывание и склеивание не являются топологическими преобразованиями.

 

 

 

               ;               ;                          ;                             .

 

 

 

 

    Множества, которые можно продеформировать друг в друга без разрывов и склеивания называются топологически эквивалентными. Так как эти множества имеют в точности одни и те же свойства, то тополог считает их одинаковыми, неразличимыми топологически. Тополог – это тот человек, который не видит разности между шаром и призмой, бубликом и кружкой …

 

 

 

 

 

                                                                                                               

 

 

 

 

    Кажется, что может роднить стакан с ложкой, но…

 

 

 

 

 

 

    Фигуру можно мять, пропускать через игольное ушко, как угодно искривлять. С точки зрения топологии спелая груша равносильна сухой.

    Какими бы жестокими ни казались нам эти преобразования, каким бы чудовищным деформациям ни подвергали мы тела и фигуры, всё – таки есть такие геометрические свойства, которые остаются неизменными.

    Все топологические свойства у фигур, которые могут быть топологически преобразованы друг в друга, одинаковы. Для тополога все гомеоморфные фигуры представляют собой одну и ту же фигуру.

    С гомеоморфными фигурами мы встречаемся ежедневно и ежечасно. Например, на уроке геометрии учитель изобразил на доске призму:

 

 

 

В тетрадях учеников появляются топологически преобразованные призмы:

 

 

 

 

    Также любые два треугольника топологически эквиваленты; любая окружность эквивалентна любому эллипсу:

 

 

 

    И ещё нужно сказать, что как бы ни расплющивать, ни раскатывать ком пластилина, не имеющую толщины, т.е. он сохранит свою размерность. А тот факт, что запрещено разрывать этот ком или склеивать, даёт связность.

    Размерность и связность – одни из наиболее фундаментальных свойств геометрических фигур.

 

 

 

 

 

 

 

 

    Связность – это одно из важных топологических свойств замкнутого промежутка.

  Дадим определение связного пространства:

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пространство, не допускающее никакого разбиения, называется связным.

    Разбиением пространства Х называется пара А, В непустых множеств Х, таких, что А U В = Х; А ∩ В = 0 и А, В открыты в Х.

  Пусть Х – есть множество в Rⁿ.

    Подмножество У (У ﮯ Х) называется открытым множеством в Х, если у каждой точки х € У существует такая её окрестность в Х, которая лежит в У.

  Пусть Х – множество в Rⁿ, х – точка множества Х и r – некоторое положительное число. Тогда окрестностью (радиуса r) точки х во множестве Х называется множество всех точек из Х, расстояние которых от х меньше r.

    Теперь, когда дали определение связного пространства можно на его основе произвести доказательство двух теорем связности.

           

               Т Е О Р Е М А   1

Замкнутый промежуток является связным множеством.

 

  Доказательство: Пусть У – замкнутый промежуток в R, A – замкнутый промежуток в У, причём А ≠ Ø и А ≠ У.

  Чтобы доказать эту теорему, покажем, что А не открыто в У.

Т.к. А ≠ Ø и А ≠ У, то найдутся такие две точки а и в,

что а € А, а в € (У-А). Пусть У^' – есть промежуток [а, в].

Т.к. А и У^' замкнутые, то и А ∩ У^' = Z – тоже замкнуто; т.к. А и У^' ограниченные, то и А ∩ У^' = Z – тоже ограничено => множество Z имеет минимум и максимум (m и М – соотв.)

    Разберём случай, когда а < в и когда а > в :

а) Если а < в, то m = a и а является левым концом промежутка У^'; в € А и поэтому точка максимума лежит в промежутке: m = а ≤ М < в => всякая окрестность точки М содержит числа, лежащие между М и в, но эти числа не входят в А => А не открыто.

б) Если а > в, то М = а. И аналогично а найдём какому промежутку принадлежит точка минимума: в < m ≤ а = М => всякая окрестность точки m содержит числа, лежащие между в и m, но эти числа не принадлежат А => А не открыто.

    В обоих случаях доказали, что А не открыто и поэтому единственным открытым и замкнутым подмножеством промежутка У является сам промежуток У или 0 => У связан.

    Что и требовалось доказать.

 

Т Е О Р Е М А   2:       Если f :  X →  Y ( f отображает Х в У) – есть непрерывное отображение и А,В- некоторое разбиение образа ¹⁾ f(x), то прообразы ²⁾ А^'=f ^–1 (A)  и В^' =f ^–1(B) образуют разбиение пространства Х.

 

1)    Если f: X → Y и А ے Х, то образ множества А при отображении f  есть множество f(A), которое состоит из значений f(X) € Y для всех Х € А.

2)    Если f : X → Y и В Х, то прообраз множества В при отображении f  есть множество f ^–1(B), состоящее из всех точек х € Х, для которых f(x)€B.

Эту теорему можно сформулировать короче: Если функция f  непрерывна и  f(X) несвязно, то и  Х несвязно.

 

  Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О:      Докажем, что пара А', В' удовлетворяет  каждому условию определения разбиения, то есть: А' U В' =Х;  А'UВ'=Ø и А', В'- открыты.

а). Так как А ≠Ø, то существует у€А. Так как А ےf(Х), то существует точка   х € Х, для которой  f(x) = у. Тогда х€ А'  => А'≠Ø. В'≠Ø – доказано точно так же.  Образ любой точки х € Х принадлежит f(X) =A U B так, что f(x) € A или f(x) € B. Тогда х € А' или х € В'. Это и показывает, что  х = А' U В'. (Одно из условий определения разбиения доказано).

б). Если бы нашлась точка х, общая для А' и В', то её образ f(x)  принадлежал бы и А, и В, но это невозможно и поэтому   А'∩ В'=Ø.

в) Так как А и В открыты в f(x) и отображение f непрерывно, то их прообразы открыты в Х.

      Получили, что  А'  U  В'= Х;   А'∩ В' = Ø;  А', В' – открыты => пара А', В' есть разбиение пространства Х.

 

Следствие из теоремы:

 

    Если функция f , отображающая Х в У непрерывна и Х связно, то и f(x) связно.

  

 

   В этой главе  я  познакомилась с одним из свойств топологии.                      В следующей же главе я рассмотрю материал о поясе Мёбиуса, как фигуре, имеющей топологические свойства.

 

 

    Все знают, что поверхность имеет две стороны лицевую и изнаночную, но при более глубоком рассмотрении дела оказывается, что это не всегда так.

Возьмем полоску бумаги и склеим её концы, предварительно перекрутив их.                                                                                                                                                                                    

 

 

 

                                                                            А                                   Д                                              

                                                                               В                            С

 

 

                             Д В            В этом случае нельзя отличить лицевую сторону           

             С   А                        от изнаночной. Они непрерывно переходят друг в друга. Эта поверхность называется поясом Мёбиуса( по имени немецкого математика, который один из первых указал на существование этой поверхности, односторонне  расположенной в пространстве). Покрасить у обычного пояса разные стороны разными цветами не вызовет  никакого затруднения. Но как быть с поясом Мёбиуса. При непрерывной  покраске обе стороны(вернее одна) будут одинаково покрашены. Если двигаться по краю пояса Мёбиуса, то через полный оборот мы окажемся на другом краю пояса и придем с противоположной стороны. Пояс Мёбиуса – это такая « река», у которой один берег служит продолжением другого.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Если обычный пояс разрезать вдоль средней линии, то получится два обычных пояса, но в два раза  уже  данного.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если разрезать вдоль средней линии пояс Мёбиуса, то мы увидим, что он не распадается на два кольца, а будет одно кольцо, но в два раза длиннее (полученное кольцо имеет двустороннюю поверхность)

 

 

 

 

 

 

     А, что, если разрезать пояс Мёбиуса по линии, лежащей недалеко от края . Чтобы придти в начало разреза, нам придется проделать путь  вдвое длиннее, чем в случае с разрезанием ленты по средней линии. Как ни странно,  получается два сцепленных кольца, причем одно большое и узкое, а другое маленькое  и широкое. И что самое интересное: большое кольцо получилось с односторонней поверхностью, а маленькое с двусторонней.

    Поверхность пояса Мёбиуса обладает и другими неожиданными свойствами: если, например, обычный пояс имеет две средние линии(лицевую и изнаночную, то пояс Мёбиуса только одну. Свойства пояса Мёбиуса не нарушаются при топологических преобразованиях поверхности в нашем пространстве. Эти свойства являются Т О П О Л О Г И Ч Е С К И М И .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Допустим, что некоторый шар заполнен песком. Если мы встряхнем этот шар, то все песчинки немного изменят свое положение. Но, оказывается, что есть такая песчинка, которая останется неподвижной.

    Пусть А – отрезок тонкой резинки. Будем его деформировать  как угодно, но без разрывов и склеивания. И в таком деформированном виде заставим его занимать на плоскости то же место, что и раньше(или часть места). Оказывается, что при этом хотя бы одна точка займёт свое первоначальное место.

    Эти два примера дают понятие теоремы о неподвижной точке. Теорема носит имя голландского математика Л.Брауэра и причисляется к важнейшим теоремам в математике. Ещё один пример этой теоремы: если  круг повернуть вокруг центра на угол 30⁰, то единственной неподвижной точкой будет центр круга.

 

      

 

 

 

                                                                      

Но если то же отображение рассматривать на окружности, то она не будет иметь неподвижных точек.

 

    Каждое постоянное отображение произвольного пространства в себя имеет одну неподвижную точку.  А отображение некоторого множества в себя может иметь, а может и не иметь этой точки.

 

Определение: Точка х, обладающая свойством,  что f(x)=x, называется неподвижной точкой отображения.

 

ТЕОРЕМА    БРАУЭРА:   Каждое непрерывное отображение прямолинейного отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

 

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О:  Введём на прямой, содержащеий этот отрезок, координаты так, что отрезок превратится в замкнутый промежуток [a, b].

                             а                    b                  

                                                                       х

 Тогда рассматриваемое отображение будет непрерывной функцией f, отображающей промежуток в себя (f :[a,b]→[a,c]). Определим новую функцию q:[a,b]→R с условием, что q(x)=f(x) –x   для   x € [a,b] . Таким образом, функция q  равна, взятому с определённым знаком, расстоянию между точкой Х и её образом f(x).

 Если f(x) > x, то f(x) - x= q > 0, а если f(x) <  x, то f(x) – х = q < O. Нам нужно найти  неподвижную точку отображения f , т.е. точку в которой q = O или f(x)=x.

а) Если неподвижен какой-нибудь из концов промежутка, то доказывать нечего, т.к. этот конец и будет неподвижной точкой.

б) Допустим, что ни один из концов промежутка не неподвижен. Так как f(a)

и  f(b)  принадлежат [a,b], то f(a)>a  и   f(b)<b. Поэтому  q(a)>0  (f(a) – а = q>0) и   q (b) < 0    (f(b) – b = q < 0).

Функция  q  непрерывна  =>  она принимает все значения между  q(a) и  q(b). Следовательно, в некоторой точке  х € [a, b] функция g(х) = 0. Эта точка и является искомой неподвижной точкой отображения в.

    Что и требовалось доказать.

 

Решим задачу на нахождение непрерывной точки.

  ЗАДАЧА: Найти неподвижную точку отображения промежутка [0, 1] в себя, определяемого формулой: в(х) = (1-x²)^1/2.

  РЕШЕНИЕ: Неподвижная точка отображения промежутка [0, 1] соответствует точке пересечения графика в(х) = (1-х²)^1/2 с биссектрисой координатного угла (в(х) = х).

         b(x) = (1-x²)^1/2 = √1-x²;

         b²(x) = 1-x²

         b²(x) + x² = 1 – графиком является окружность в центре начала координат и с радиусом равным единице измерения.

 

                                              Неподвижная точка получена путем поворота

 

                                              точки (1; 0) на угол 45◦, вокруг центра

 

                                                координат. => х = 1/√2 = √2/2

 

               в²(х)+х²=1

в(х)=х

                                    Ответ: х = √2/2.

 

 

    Множество разновидностей призм, пирамид, октаэдров и многогранников - всем известные геометрические фигуры.

    Кажется, что может быть одинаковым у куба и многогранника, который состоит из самых различных граней: треугольных, четырёхугольных, пятиугольных и т.д. Кажется, что никаких одинаковых свойств у этих фигур нет.

    Но…

Но оказывается, что всегда выполняется равенство:

              А-В+С=2,

где А – число вершин, В – число рёбер, С – число граней.

 

 

Приведу пример:

а)                                                                   У призмы АВСДЕА₁В₁С₁д₁Е₁

                                        А-В+С=10  -15+7=2.

 

 

 

 

 

                      Д

 

б)                                                                     4 вершины,

                                                                         6 рёбер,

            А                        С                               4 грани.

                              В                                   Тогда А-В+С=4-6+4=2.

   

 

    

       Это знаменитая теорема Эйлера, который установил и доказал её в 1756 году. Тогда же Эйлер доказал, что не может быть выпуклого многогранника, у которого не было хотя бы одной треугольной, четырёхугольной или пятиугольной грани.

    Теорема, доказывающая, что А-В+С=2, называется простой. Существует обобщённая теорема Эйлера для плоскости (сферы). Эта теорема утверждает, что всегда:

         А-В+С=k+1, где

    А – число вершин, В – число рёбер, С – число граней, k – число компонентов.¹⁾

1)    Определение будет дано позднее.

Прежде, чем доказать теорему, нужно выяснить некоторые факты, при помощи которых будет теорема доказана.

     

 Рассмотрим конечное число А>O  точек, называемых вершинами, и конечное число В≥O  «отрезков» (т.е. гомеоморфных образов обыкновенных прямолинейных отрезков), которые мы  будем считать открытыми (т.е. не станем к ним причислять их концевых точек) и назовем их ребрами. Предположим, что каждый из этих «отрезков» не пересекает сам себя и никакого другого « отрезка»  и что концы каждого «отрезка» лежат в рассматриваемых вершинах. Но могут быть, кроме того, и свободные вершины (отдельно лежащие). Такую совокупность точек и открытых отрезков называют Г Р А Ф О М.

       Граф называется связным, если от любой его вершины можно дойти к любой другой вершине, идя только по его ребрам. Если граф не связан, то он распадается на некоторое число k связных графов( называемыми компонентами) таким образом, что ни от какой вершины одного из них нельзя по ребрам перейти к вершинам другого. Каждая свободная вершина есть отдельная компонента графа.              

     

 Будем стирать последовательно по одному ребру графа ( вершины при этом остаются). При всех стираниях все вершины будут сохраняться. Если стираемое ребро не входит в какую-нибудь замкнутую линию графа, то В уменьшится на 1, С не изменится, k увеличится на 1.

   А – ( В – 1 ) +  С = k + 1 + 1,

  А – В + С + 1 = k + 2. ( равенство верно).

Если же  стираемое ребро  принадлежит  к какой-либо замкнутой линии графа, то В уменьшится на 1, С уменьшится на 1, k не изменится.

       А – ( В – 1 ) + С – 1 = k + 1,

       А – В + С = R + 1,

       А – В + С = R + 1 (равенство верно).

    После того, как мы последовательно сотрём все рёбра, останутся только вершины графа и одна грань, которой будет вся плоскость за вычетом этих вершин.

    Подучили В = 0, С = 1, тогда А + 1 = R + 1 (равенство верно)

                                                              А = R (вершины стали самими компонентами).

    Восстанавливая последовательно все стёртые рёбра в обратном порядке, одно за другим, и учитывая, что при этом каждый раз обе части либо не изменяют своей величины, либо уменьшаются на 1. Получили, что исходные части А – В + С и R + 1 также равны между собой.

                           А – В + С = R + 1.

    Что и требовалось доказать.

 

 

         СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА:

 

    У всякого выпуклого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырёхугольная или пятиугольная грань.

 

 

 

 

 

 

       «Много интересных задач имеются в топологии и среди них – проблема четырёх красок. Вот она: доказать, что каждую карту на сфере можно раскрасить, взяв не более четырёх красок. (Какими бы ни были очертания «стран» на карте, их всегда можно раскрасить так, чтобы никакие две сопредельные страны, граничащие вдоль некоторого отрезка кривой. Не оказались выкрашенными в один и тот же цвет, причём для такой раскраски достаточно четырёх красок). Проблема 4 красок до сих пор не решена».

                                                                                            Г. Штейнгауз*.

*Г. Штейнгауз, «Задачи и размышления», из-во «Мир», Москва, 1974г.

    Я попыталась доказать эту теорему, и вот, что у меня получилось:

 

         ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ЧЕТЫРЁХ КРАСКАХ:

 

    Доказательство я начну с аксиомы прямой.

  АКСИОМА: Через две различные точки  проходит одна и только одна прямая.

    Из этой аксиомы вытекает следствие: Через три различные точки проходят три и только три прямые.

 

                                              Объединение [а, в];

                                              [ВС] и [АС] есть треугольник.

 

 

 

 

    Возьмём в плоскости n различных точек и соединим их так,

                                    Чтобы получились треугольники с вершинами ТОЛЬКО      

                                    в этих точках.

 

                                             

    Так как число точек я брала произвольно, то можно сказать, что при любом количестве точек можно построить такие треугольники. (Зная число точек можно узнать число треугольников: Если число точек чётно. То число треугольников можно найти из формулы: n = 4 + 2m → 2 + 3m = x, где n – число точек, х – число треугольников, m – зависимая переменная.

  Например, найдём число треугольников, если число вершин равно шести:

6 = 4 + 2m → 2 + 3m = x

6 – 4 = 2m, 2 = 2m, m = 1;

х = 2 + 3 ∙ 1 = 2 + 3 = 5.

    Если n – нечётно, то число треугольников можно найти по формуле:

n = 5 + 2m → 3 (m = 1) = x.)

 

 

 

    Все эти построения я делала на плоскости, а теорему нужно доказать на сфере.

    Прежде всего, нужно сказать, что прямые на плоскости,  если их перенести на сферу будут окружностями или эллипсами, а треугольники будут вынутые. Тогда, чтобы не было математической ошибки я назвал «прямые» на сфере: с – прямые, а «треугольники»: с – треугольники.

    Уже было выяснено, что при любом количестве точек можно построить треугольники, вершины которых лежат только в этих точках.

    Дана сфера, разделённая на «страны». На этой сфере возьмем точки, причём каждой «стране» должна принадлежать только одна точка… И тогда вся сфера разделится на с – треугольники; стороны любого с – треугольника совпадают со сторонами соседних с – треугольников.

 

                                               Каждый с – треугольник соприкасается с тремя                                                                                                                                          

                                               С – треугольниками, а сам он является 4^ым.

 

«Страны» на сфере можно      

изобразить на плоскости.

 

    Тогда всю сферу можно раскрасить 4 цветами так, что с – треугольники с одинаковыми цветами не будут иметь общих сторон.

 

                      Треугольники мы строили с вершинами в каждой «стране»                                      

                     (и причём в одной «стране» одна вершина). Тогда каждый треугольник отдаст три разных цвета соседних треугольников странами, в которых лежат его вершины. Первый треугольник отдаст три различных цвета; второй – два различных цвета + цвет первого треугольника; третий – один цвет (новый) + цвет первого треугольника + цвет второго треугольника; четвёртый – цвет первого треугольника + цвет первого треугольника + цвет второго треугольника + цвет третьего треугольника или 3 цвета; пятый треугольник поведёт себя как первый; шестой – как второй и так далее.

    Значит все «страны» на сфере можно раскрасить четырьмя цветами, и так, чтобы «страны», закрашенные одним цветом не соприкасались.

    Что и требовалось доказать.

 

 

                                  ПРИМЕР РАСКРАСКИ:

 

 

 

 

 

 

 

   

 

    А теперь, познакомившись, с топологией и её свойствами мы убедились, что это такая наука, которая полезна всем. И ещё нужно сказать, что в настоящее время топология переживает период бурного развития и её рамки раздвигаются одновременно в нескольких направлениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

 

 

1.     Стинрод И. и Чинн У., «Первые понятия топологии», Москва, из-во «Мир», 1967 год.

2.     Делоне Б. и Ефремович В., «Что такое топология?», «Наука и жизнь» №8, Москва, 1970 год.

3.     Постников М, «Топология», «Большая советская энциклопедия» том №26, Москва, из-во «Советская энциклопедия», 1977 год.

4.     Пухначёв Ю. и Попов Ю., « Математика без формул», Москва, из-во «Знание», 1978 год.

5.     Люсвен Феликс, «Элементарная математика в современном изложении», Москва. Из-во «Просвещение», 1967 год.

6.     Штейнгауз Г., «Задачи и размышления», Москва, из-во «Мир», 1974 год.