Инфоурок Математика ПрезентацииПрезентация по математике на тему "Элементы планиметрии" (для студентов 1 курса)

Презентация по математике на тему "Элементы планиметрии" (для студентов 1 курса)

Скачать материал
Скачать материал "Презентация по математике на тему "Элементы планиметрии" (для студентов 1 курса)"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Техник-конструктор

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Элементы планиметрии1Планиметрия – это 
от латинского planum — «плоскость», ...

    1 слайд

    Элементы планиметрии
    1
    Планиметрия – это
    от латинского planum — «плоскость», 
    от древне-греческого μετρεω — «измеряю»
    раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры (т.е. фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости).
    В5
    В8

  • Элементы планиметрии2Площади

    2 слайд

    Элементы планиметрии
    2
    Площади

  • Площадь плоской фигуры – это аддитивная числовая характеристика фигуры, целик...

    3 слайд

    Площадь плоской фигуры – это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости.
    Аддитивность (от латинского additivus – прибавляемый) – свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме объемов составляющих его частей.
    Аддитивность площади означает, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей, если этих частей конечное число.

    3
    Площади плоских фигур

  • В прямоугольном треугольнике есть прямой угол, равный 900. Сторона напротив п...

    4 слайд

    В прямоугольном треугольнике есть прямой угол, равный 900. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой. Две прилежащие к прямому углу стороны называют катетами.

    Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
    Теорема Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (с) равен сумме квадратов катетов (a и b).
    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:



    4
    Прямоугольный треугольник
    𝒄 𝟐 =𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
    𝑺= 𝒂𝒃 𝟐
    !

  • Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером кл...

    5 слайд

    Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

    Найдите диагональ квадрата 1 см×1 см; 2 см×2 см; 3 см×3 см.




    Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.






    5
    Примеры задач

  • Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя числами – координ...

    6 слайд

    Любая точка на координатной плоскости характеризуется двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой.
    Если у двух точек одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то соответствующие отрезки параллельны осям координат. В таких случаях длину отрезка можно найти, если вычесть различающиеся координаты точек.




    6
    Прямоугольный треугольник
    А(4;10), В(4; 2), С(6;2)
    Например: АВ || Оу, а значит АВ = 10 – 2 = 8
    ВС || Ох, а значит ВС = 6 – 4 = 2
    АС можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев ∆АВС

  • Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости....

    7 слайд

    Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.






    Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.


    7
    Примеры задач

  • Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стор...

    8 слайд

    Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (a) на высоту (h), проведенную к этой стороне:


    Как правило, в качестве высоты и основания удобно брать те стороны, которые проходят по линиям клеточной бумаги (или же проходит параллельно осям координат).
    8
    Площадь произвольного треугольника
    𝑺= 𝒂𝒉 𝟐

  • Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером кл...

    9 слайд

    Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


    Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


    Найдите площадь треугольника, изображённого на координатной плоскости.

    9
    Примеры задач

  • Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градуса...

    10 слайд

    Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Противоположные стороны прямоугольника попарно равны.
    10
    Площадь прямоугольника (квадрата)
    Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:


    A
    B
    C
    D
    a
    b
    𝑺=𝒂𝒃
    Прямоугольник, все стороны которого равны, называется квадратом.
    Площадь квадрата равна квадрату его стороны:
    !
    𝑺= 𝒂 𝟐
    !

  • Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером...

    11 слайд

    Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



    Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



    Найдите площадь фигуры, изображённой на координатной плоскости.

    11
    Примеры задач

  • 12Для нахождения площади произвольного многоугольника необходимо разбить фигу...

    12 слайд

    12
    Для нахождения площади произвольного многоугольника необходимо разбить фигуру на треугольники и прямоугольники ИЛИ достроить до треугольника или прямоугольника.
    Примеры произвольных многоугольников:
    Площадь произвольного многоугольника

  • Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны. В ромбе диагонали в...

    13 слайд

    Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения.
    13
    Площадь ромба
    a
    a
    d1
    d2

    Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:



    Квадрат является ромбом.
    Ромб является параллелограммом и обладает его свойствами.

    𝑺= 𝒅 𝟏 𝒅 𝟐 𝟐
    !
    !

  • Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1...

    14 слайд

    Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

    Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


    Найдите площадь закрашенной фигуры, изображённой на координатной плоскости.

    14
    Примеры задач

  • Свойства параллелограмма:
Противоположные стороны попарно равны и параллельны...

    15 слайд

    Свойства параллелограмма:
    Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
    Противоположные углы попарно равны.
    Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны (a) на высоту (h), проведённую к этой стороне:


    Прямоугольник, квадрат, ромб – это четырехугольники, которые являются параллелограммом. Они обладают свойствами параллелограмма.
    15
    Площадь параллелограмма
    a
    h
    𝑺=𝒂𝒉
    Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
    !

  • Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером...

    16 слайд

    Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


    Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


    Найдите площадь фигуры, изображённой на координатной плоскости.

    16
    Примеры задач

  • 17Площадь трапецииahТрапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны к...

    17 слайд

    17
    Площадь трапеции
    a
    h
    Трапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
    b
    Площадь трапеции равна половине
    произведения суммы оснований (a + b)
    на высоту (h):


    𝑺= 𝒂+𝒃 𝒉 𝟐

  • Найдите площади трапеций, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки...

    18 слайд

    Найдите площади трапеций, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.





    Найдите площадь трапеций, изображённых на координатной плоскости.

    18
    Примеры задач

  • Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от...

    19 слайд

    Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

    Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — О) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).
    Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса:

    19
    А
    О
    О
    А
    Площадь круга
    𝑺= 𝝅 𝑹 𝟐
    𝑺= 𝝅 𝑫 𝟐 𝟒

  • Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с разм...

    20 слайд

    Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
    20
    Примеры задач

  • 21Круговой сектор – часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального...

    21 слайд

    21
    Круговой сектор – часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
    𝝋 – соответствующий центральный угол,
    𝒍 – длина дуги сектора

    Площадь кругового сектора:
    Площадь кругового сектора
    𝑺 сек = 𝝅 𝑹 𝟐 𝝋 𝟑𝟔𝟎
    𝑺 сек = 𝟏 𝟐 𝒍∙𝑹

  • Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с разм...

    22 слайд

    Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
    22
    Примеры задач

  • Элементы планиметрии23Координаты и векторыВ5В8

    23 слайд

    Элементы планиметрии
    23
    Координаты и векторы
    В5
    В8

  • 24Координаты точекРасстояние между точками A(xA, yA) и B(xB,yB):


Середина C...

    24 слайд

    24
    Координаты точек
    Расстояние между точками A(xA, yA) и B(xB,yB):


    Середина C отрезка AB, где A(xA, yA) и B(xB,yB):

    𝑨𝑩 = 𝒙𝑩− 𝒙 𝑨 𝟐 + 𝒚𝑩−𝒚𝑨 𝟐
    𝑪 𝒙𝑨+𝒙𝑩 𝟐 ; 𝒚𝑨+𝒚𝑩 𝟐
    О
    xA
    xB
    X
    C(х;у)
    Y
    yB
    yA
    A(хA;уA)
    B(хB;уB)

  • 25Координаты точекЕсли точки А и В симметричны относительно оси Ох (очи абсци...

    25 слайд

    25
    Координаты точек
    Если точки А и В симметричны относительно оси Ох (очи абсцисс), то их ординаты

    О
    X
    C
    Y
    A
    B
    D

  • Треуго́льник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная, состоя...

    26 слайд

    Треуго́льник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная, состоящая из трёх звеньев.







    Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника.
    26
    Треугольник
    Основные элементы треугольника ABC:
    Вершины – точки A, B, и C;
    Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;
    Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.
    ?

  • ba𝛼𝛽Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, о...

    27 слайд

    b
    a
    𝛼
    𝛽
    Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы и средние линии, которые связаны с видами треугольников.
    По сторонам выделяют разносторонний (произвольный), равнобедренный и равносторонний (правильный) треугольники.





    По углам выделяют прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники.
    27
    Виды треугольников
    b
    a
    c
    c
    b
    a
    𝛼
    𝛽
    𝛾
    𝛼
    𝛽
    𝛾
    c
    𝛼
    𝛼
    ?

  • Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на...

    28 слайд

    Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

    Свойства высоты треугольника:
    Высота треугольника
    A
    B
    C
    ha
    hb
    O
    hb
    A
    C
    B
    В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.
    В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
    Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.
    Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.
    28
    ?

  • Медиана треугольника (от лат. mediana – «средняя») – это отрезок, соединяющий...

    29 слайд

    Медиана треугольника (от лат. mediana – «средняя») – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

    Свойства медианы треугольника:
    29
    Медиана треугольника
    A
    B
    C
    O
    mc
    mb
    ma
    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
    ?

  • Биссектриса треугольника (от лат. bis – «дважды» и seko – «рассекаю») называю...

    30 слайд

    Биссектриса треугольника (от лат. bis – «дважды» и seko – «рассекаю») называют заключенный внутри треугольника отрезок прямой, который делит пополам его угол.

    Свойства биссектрисы треугольника:
    30
    Биссектриса треугольника
    A
    B
    C
    Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
    Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
    Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
    O
    lc
    la
    lb
    ?

  • Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющие середины двух сторон.
С...

    31 слайд

    Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющие середины двух сторон.
    Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине.
    Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным. Его площадь в четыре раза меньше площади данного треугольника.

    31
    Средняя линия треугольника
    B
    A
    C
    B
    A
    C
    L
    M
    N
    L
    N
    𝑺∆𝑨𝑩𝑪 𝑺∆𝑳𝑴𝑵 =𝟒
    ?

  • Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны между с...

    32 слайд

    Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны между собой. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным.





    Свойства равнобедренного треугольника:
    32
    Равнобедренный треугольник
    a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника,
    b – длина третей стороны,
    α и β – соответствующие углы,
    R – радиус описанной окружности,
    r – радиус вписанной окружности.
    Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
    Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов, равны.
    Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой.
    Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
    Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые .
    ?

  • Правильный треугольник или равносторонний треугольник – правильный многоуголь...

    33 слайд

    Правильный треугольник или равносторонний треугольник – правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или 𝜋 3 )
    a – сторона правильного треугольника,
    R – радиус описанной окружности,
    r – радиус вписанной окружности;
    h – высота.

    Свойства равностороннего треугольника:
    Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой. 
    Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
    Имеют место следующие соотношения:

    33
    Равносторонний треугольник
    𝒉= 𝒂 𝟑 𝟐
    R= 𝒂 𝟑
    r= 𝒂 𝟐 𝟑
    S= 𝒂 𝟐 𝟑 𝟒
    h
    a
    ?

  • Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол. 

Свойства...

    34 слайд

    Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол.

    Свойства прямоугольного треугольника:
    34
    Прямоугольный треугольник
    Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой.
    По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
    Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
    Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
    Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
    Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
    ?

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данная презентация предназначена для студентов 1 курса по дисциплине «Математика и информатика» с целью повторения основного материала по планиметрии в школе и подготовке к сдаче ЕГЭ по математике. В презентации подобран теоретический и практический материал, который поможет учащимся вспомнить основные умения и навыки работы с фигурами на плоскости: действия с геометрическими фигурами, координатами и векторам; решение планиметрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей); моделирование реальных ситуаций на языке геометрии; исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решение практических задач, связанных с нахождением геометрических величин.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 730 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 20.12.2020 399
    • PPTX 3.1 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Вербич Анастасия Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Вербич Анастасия Михайловна
    Вербич Анастасия Михайловна
    • На сайте: 3 года и 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 67868
    • Всего материалов: 221

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 112 человек из 42 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования

Учитель математики в начальной школе

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 125 человек из 44 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 193 человека из 56 регионов

Мини-курс

Галерейный бизнес: медиа, PR и cотрудничество

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психологическая работа с эмоциональными и поведенческими проблемами

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 140 человек из 49 регионов

Мини-курс

Интерактивные материалы на печатной основе

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 44 человека из 22 регионов