Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ:
«Перпендикуляр и наклонные.
Угол между прямой и плоскостью.»
2 слайд
Цель урока:
Повторить основные понятия: перпендикуляр, наклонная, проекция.
Вспомнить теорему о трех перпендикулярах и такое важное понятие, как угол между прямой и плоскостью.
Решить несколько задач на перпендикуляр и наклонные.
3 слайд
НАПОМНИМ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Отрезок АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. Точка Н – основание перпендикуляра.
Отрезок АМ – наклонная, М – основание наклонной.
Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.
4 слайд
НАПОМНИМ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Свойство 1. Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной.
То есть, АН < AM.
Свойство 2.
AM = MH <=> MH = NH
То есть, если из точки А проведены равные наклонные, АМ = AN, то их проекции равны: MH = HN. Если проекции равны MH = HN, то равны и наклонные: АМ = AN.
5 слайд
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
6 слайд
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
7 слайд
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
№ 1
Прямая ОМ перпендикулярна плоскости
треугольника АВС и проходит через центр О вписанной в него
окружности.
Докажите, что точка М равноудалена:
от прямых АВ, ВС, СА.
от всех точек вписанной окружности и от всех касательных к ней.
Найдите это расстояние, если известны радиус r окружности и длина ОМ = h.
Докажите равенство углов наклона прямых МТ (где Т – любая точка окружности) к плоскости АВС.
Найдите тангенс этих углов.
8 слайд
Задача № 1
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.
Доказать: ρ (М, АВ) =
=ρ (М, ВС) = ρ (М, СА)
9 слайд
Задача № 1.1
Пусть А1 ; В1 ; С1 – это точки касания окружности к сторонам треугольника. ОС1 ; ОА1 ; ОВ1 – радиусы этой окружности. Тогда, по свойству, ОС1 ⊥ АВ, ОА1 ⊥ ВС, ОВ1 ⊥ АС.
МО – перпендикуляр к плоскости АВС. ОС1 – проекция наклонной МС1 на плоскость АВС. Так как ОС1 ⊥ АВ, то МС1 ⊥ АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, МС1 – это расстояние от точи М до прямой АВ, МС1 = ρ (М, АВ). Аналогично получаем, что МА1 = ρ (М, ВС), МВ1 = ρ (М, СА).
Треугольники МОС1 ; МОА1 ; МОВ1 равны по двум катетам (катеты ОС1 ; ОА1 ; ОВ1 равны как радиусы вписанной окружности, катет ОМ – общий). Из равенства треугольников следует, что МС1 = МА1 = МВ1. А значит, ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА), что и требовалось доказать.
10 слайд
Задача № 1.2
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.
Доказать:
ρ (М, Т) = ρ (М, Т1)=
= ρ (М, t) = ρ (М, t1)
Рассмотрим вспомогательную иллюстрацию и введем некоторые дополнительные обозначения.
Имеем окружность с центром в точке О и радиусом r, ОМ ⊥ ОТ1Т, ОМ = h, OT = r .
Пусть t1, t – две произвольные касательные. Т1, Т – точки касания касательных t1, tк окружности. Тогда второй пункт задачи можно сформулировать так.
11 слайд
Задача № 1.2
Касательные t1 ; t касаются окружности в точках Т, Т1 соответственно. Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен касательной. То есть ОТ ⊥ t.
ρ (М, Т) = МТ, ρ (М, Т1) = МТ1
ОТ – это проекция наклонной МТ на плоскость окружности. Прямая t лежит в этой плоскости. Так как ОТ ⊥ t, то МТ ⊥ tпо теореме о трех перпендикулярах. Значит, ρ (М, t) = МТ. Аналогично, ρ (М, t1) = МТ1.
Рассмотрим прямоугольные треугольники МОТ и МОТ1. Катет ОМ – общий, ОТ = ОТ1 как радиусы. Значит, треугольники МОТ и МОТ1 равны по двум катетам. Следовательно, МТ = МТ1, а значит, ρ (М, t) = ρ (М, t1), ρ (М, Т) = ρ (М, Т1), что и требовалось доказать.
12 слайд
Задача № 1.3
Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ .
Из теоремы Пифагора: ;
Ответ:
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.
Найти: ρ (М, t)
13 слайд
Задача № 1.4
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.
Доказать: ∠(МТ, АВС) =
∠(МТ1, АВС) =
14 слайд
Задача № 1.4
ОТ – проекция наклонной МТ на плоскость ABC.
Значит, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ, ОТ) = ∠МТО.
Аналогично, ∠(МТ1, АВС) = ∠(МТ1, ОТ1) = ∠МТ1О.
Мы доказали, что треугольники МОТ и МОТ1 равны, а значит, и углы МТО и МТ1Оравны. Обозначим, их величину за φ. Тогда, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ1, АВС) = φ, что и требовалось доказать.
15 слайд
Задача № 1.5
Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.
Найти: tg φ.
Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Презентация разработана для повторения и закрепления пройденного материала по теме: "Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью". А также затрагивает теорему о трех перпендикулярах и её применение при решении задач.
Презентацию можно использовать как повторение пройденного материала в начале урока.
А так же как закрепление, самостоятельное решение предложенных задач с последующей проверкой и обсуждением.
Предложенная задача охватывает несколько подзадач на применение всех понятий по данной теме, а также теоремы Пифагора, свойств окружности вписанной в треугольник, свойств касательных и многое другое.
6 656 973 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Гончарова Мария Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.