Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОИЗВОДНОЙ
10 класс
Подколзина Ольга Евгеньевна,
учитель математики МОУ «СОШ № 84»
Постникова Алла Александровна,
учитель математики МОУ «СОШ № 84»
2 слайд
ОБУЧАЮЩАЯ :
обобщить и закрепить понятие «геометрический смысл производной»;
продолжить формирование представления об истории развития математического анализа;
«открыть» зависимость:
монотонность функции экстремумы значения производной.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
способствовать развитию умения составлять математические модели реальных ситуаций как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления;
развитие навыков исследовательской деятельности:
планирование выдвижение гипотез анализ обобщение.
РАЗВИВАЮЩАЯ :
развивать коммуникативные компетенции учащихся,
способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
ЦЕЛЬ УРОКА
3 слайд
ПЛАН УРОКА
Организационный момент.
Проверка домашнего задания и постановка проблемы.
Анализ наблюдений.
Обобщение наблюдений.
Работа с учебником.
Экскурс в историю.
Подведение итогов.
Домашнее задание.
4 слайд
Лишь дифференциальное исчисление дает
естествознанию возможность изображать
математически не только состояния,
но и процессы.
ЭПИГРАФ К УРОКУ
Ф.Энгельс
5 слайд
ПОВТОРИМ…
1. В чем состоит геометрический смысл
производной ?
2. В любой ли точке графика можно провести
касательную? Какая функция называется
дифференцируемой в точке?
3. Касательная наклонена под тупым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, … .
4. Касательная наклонена под острым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, … .
5. Касательная наклонена под прямым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, … .
6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней
совпадает. Следовательно, ….
}
значение производной в точке Х₀
}
тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ
угловой коэффициент касательной
f ´(x₀) = tg α = к
ГРАФИК
6 слайд
для дифференцируемых функций: 0° ≤ α ˂180°, α ≠ 90°
назад
α - тупой
tg α < 0
f ´(x₀) < 0
α = 0
tg α =0
f ´(x₂) = 0
α = 90°
tg α не сущ.
f ´(x₃) не сущ
α – острый
tg α >0
f ´(x₁) >0
7 слайд
НА ПРАКТИКЕ
-
-
-
+
+
+
+
0
хmax
хmax
хmin
хmin
хmin
Не
сущ.
Не
сущ.
0
0
0
8 слайд
ГИПОТЕЗА
Что выяснили?
Свойства
f(x):
Свойства
f '(x):
возрастания,
убывания,
точки минимума,
точки максимума.
существование,
нули,
знакопостоянство.
Какая?
План действий
1. Анализ наблюдений (фактов).
2. Обобщение фактов.
3. Проверка и выдвижение нового
плана действий.
существует связь
9 слайд
2
Какие из заданных на промежутке (a , b ) функций,
графики которых будут представлены ниже, обладают указанными свойствами?
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
А. Функция
убывает
на (a , b ) .
Б. В каждой точке
(a , b ) можно
провести
касательную.
В. В каждой точке
(a , b ) f ´(x) ≤ 0.
Г. В каждой точке
(a , b ) касательная
наклонена под
тупым углом.
Д. Существует
конечное число
точек на (a , b ),
в которых
f ´(x) = 0 .
Е. Существует
конечное число
точек на (a , b ),
в которых
f ´(x) не
существует.
10 слайд
ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
1
Какими из перечисленных свойств обладают заданные на промежутке (a , b ) функции,
графики которых будут представлены ниже.
А. Функция возрастает.
Б. В каждой точке можно
провести касательную.
В. В каждой точке f ´(x) ≥ 0.
Г. В каждой точке касательная
наклонена под острым углом.
Д. Существует конечное число
точек, в которых f ´(x) = 0 .
Е. Существует конечное число
точек, в которых f ´(x) не
существует .
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
ПРОВЕРКА
11 слайд
ПЕРВИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
Е с л и
свойства
f(x):
,то
.
3
4
5
6
7
1
функция возрастает на
промежутке и имеет
на нем производную
проходя через точку
х₀, f ´(x) меняет
знак с « - » на « + ».
1
функция убывает на
промежутке и имеет
на нем производную
2
проходя через точку
х₀, f ´(x) меняет
знак с « +» на « - ».
функция возрастает
на промежутке
функция убывает
на промежутке
неверно, что f ´(x) ˃ 0.
неверно, что f ´(x) ˂ 0.
f ´(x) ≥ 0.
в точке Х₀ функция имеет экстремум
Х₀ - точка минимума функции
f ´(x) ≤ 0.
Х₀ - точка
максимума функции
f ´(x₀) = 0 или f ´(x₀) не существует.
2
3
4
5
6
7
П
О
М
О
Щ
Ь
свойства
f '(x):
12 слайд
ПРОВЕРКА
Возможны случаи :
1
2
3
Для проверки нажать указателем номер задания
4
5
6
7
Т
А
Б
Л
И
Ц
А
13 слайд
ВТОРИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ
Е с л и
свойства
f(x):
,то
свойства
f '(x):
Е с л и
,то
свойства
f(x):
свойства
f '(x):
функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную
f ´(x) ≥ 0.
f ´(x) ≥ 0.
функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную
Утверждение верно ???
Почему ???
14 слайд
РАБОТА С УЧЕБНИКОМ
Алгебра и начала анализа. 10 - 11 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008.
Среди выделенных утверждений укажите те, которые удовлетворяют одной из предложенных схем. Дайте объяснения по принятому решению.
I.
II.
III.
Е с л и
свойства
f(x):
,то
свойства
f '(x):
свойства
f '(x):
,то
свойства
f(x):
свойства
f(x):
тогда и только тогда,
Е с л и
когда
свойства
f '(x):
15 слайд
РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ С УЧЕБНИКОМ
I ряд
Почему ???
Если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна;
Если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительная;
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ‘(x) ≥ 0 (причем неравенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ‘(x) ≤ 0 (причем неравенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.
16 слайд
II ряд
стр. 355
стр. 357
Почему ???
Думай !!!
Если одна из функций y = f(x), y = g(x) возрастает, а другая убывает и если уравнение f(x) = g(x) имеет корень, то только один.
Теорема 3. Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х = х˳, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
17 слайд
III ряд
Почему ???
Теорема 4.(достаточные условия экстремума) Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х , тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность в которой при х <х выполняется неравенство f ‘(x) < 0, а при х>х – неравенство f ‘(x) > 0, то х = х - точка минимума функции y = f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность в которой при х >х выполняется неравенство f ‘(x) > 0, а при х < х – неравенство f ‘(x) < 0, то х = х - точка максимума функции y = f(x);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х знаки производной одинаковы, то в точке х экстремума нет.
Теорема 5. (условие постоянства функции) Для того чтобы непрерывная функция y = f(x) была постоянна на промежутке Х, необходимо и достаточно, чтобы во всех внутренних точках промежутка производная функции была равна нулю.
18 слайд
Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциального исчисления.
19 слайд
Николо Тарталья
Н. Тарталья (около 1499 — 13 или 14 декабря 1557) – итальянский математик. Труды посвящены вопросам математики, механики, баллистики, геодезии, фортификации и др.
В сочинении «Новая наука» (1537) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Работа «Общий трактат о числе и мере» содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тартальи также связано с разработкой способа решения кубических уравнений.
20 слайд
Галилео Галилей
(15 февраля 1564 – 8 января 1642) – итальянский философ, математик, физик, механик и астроном, оказавший значительное влияние на науку своего времени.
Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. Галилей – основатель экспериментальной физики. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической кинематики.
21 слайд
Рене Декарт
французский математик, философ,
физик и физиолог, создатель
аналитической геометрии и
современной алгебраической
символики, автор метода
радикального сомнения в
философии, механицизма в
физике.
22 слайд
Жиль Роберваль
(8 августа 1602 – 27 октября 1657)
– выдающийся французский математик, астроном и физик. Нашел метод построения касательных, рассматривая кривые, как результат перемещения точки, которое складывалось из нескольких более простых движений.
Занимался:
проблемами бесконечно малых
пределами
проблемой квадратуры круга
вычислением объёмов различных тел
23 слайд
Джеймс Грегори
(ноябрь 1638 – октябрь 1675)
– шотландский математик и астроном.
Один из основоположников математического
анализа. Автор одного из первых проектов
зеркального телескопа. Разработал приём
вычисления площади сектора круга,
гиперболы и эллипса. Попытался доказать,
что круговые и логарифмические функции не
могут быть сведены к алгебраическим
операциям.
Вывел формулу приближённого
интегрирования.
24 слайд
Исаак Ньютон
(25 декабря 1642 – 20 марта 1727) – великий английский физик, математик и астроном.
Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики.
Разработал дифференциальное и интегральное исчисление (автор знаменитого бинома Ньютона), теорию цветности и многие другие математические и физические теории.
25 слайд
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(21 июня 1646 – 14 ноября 1716) – немецкий философ, математик, юрист, дипломат.
Создал математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал основные понятия и четко указал на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования.
Создал комбинаторику как науку.
Обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела.
Привел доказательства существования подсознания человека.
26 слайд
Якоб Бернулли
(27 декабря 1654 – 16 августа 1705) – швейцарский математик.
Внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления.
Решил задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки.
Ввёл и проинтегрировал дифференциальное уравнение.
Ему принадлежат значительные достижения в теории рядов, теории вероятностей, теории чисел.
27 слайд
Гийом Франсуа Лопиталь
(1661 – 1704)
– французский математик, автор первого учебника по математическому анализу «Анализ бесконечно малых» (1696).
В этой книге собраны отдельные вопросы, разбросанные в разных повременных изданиях, также приводится Правило Лопиталя.
Ему принадлежит решение ряда задач, в том числе задача о кривой, по которой должен двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий в равновесии подъемный мост.
Решение этих задач помогло ему стать в один ряд с Ньютоном и Лейбницем.
28 слайд
Леонард Эйлер
Л. Эйлер (4 апреля 1707 – 7 сентября 1783), немецкий и русский математик, механик и физик.
Ему принадлежат сочинения о дифференциальном и интегральном исчислениях, где рассматриваются не только данные разделы математики, но и развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных.
Ему принадлежит первое изложение вариационного исчисления.
Он является создателем теории специальных функций.
Известны его работы по теории чисел.
29 слайд
Жозеф Луи Лагранж
(25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский математик и механик итальянского происхождения.
Лучший математик 18 века.
Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.
Автор классического трактата «Аналитическая механика», в котором установил фундаментальный «принцип возможных перемещений» и завершил математизацию механики.
Внёс огромный вклад в развитие анализа, теории чисел, теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление.
30 слайд
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
Что выяснили?
Что сделали?
Необходимое условие
Достаточное условие
Необходимое и достаточное условие
1. Существует связь между свойствами функции (монотонность, экстремумы) и значениями производной (существование, знакопостоянство, нули).
2. Провели анализ фактов по существующей связи.
3. Провели обобщение наблюдений.
4. Познакомились с математическими «портретами».
5. Познакомились с историзмом проблемы.
6. Наибольшее практическое применение имеет обратная связь.
План
1. Изучить обратную связь.
2. Научиться её применять к решению задач.
31 слайд
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Сделать опорный конспект (§35, п.1-2).
2. Ответить на вопросы:
Почему признак возрастания (убывания) называется достаточным?
Почему условие существования экстремума в точке называется необходимым?
Дальнейших
успехов !!!
СПАСИБО!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Производная – одна из самых трудных и в то же время интересных тем школьного курса математического анализа. Как правило, учащиеся воспринимают предложенный материал поверхностно, не выделяют и не видят связей между производной функции, ее геометрическим смыслом. Учащиеся заучивают формулы и основные приемы действий при исследовании функций и выполнении других задач, не понимая сути этих действий. Целесообразность использования презентационного сопровождения на уроке продиктована следующими факторами:
· повышение интенсификации учебно-воспитательного процесса (увеличение скорости подачи и наглядности учебного материала, количества предлагаемой информации, частичная автоматизация системы контроля),
· эффективность усвоения изучаемого учебного материала за счет групповой и индивидуальной исследовательской деятельности учащихся.
6 664 044 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Подколзина Ольга Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
7 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.