Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Методы решения тригонометрических уравнений.
Презентация к уроку алгебры и начала анализа в 10 классе по учебнику А. Н. Колмогорова.
Учитель математики МБОУ СОШ № 31 с. Шаумян Туапсинского района Краснодарского края Зайцева Н.М.
2 слайд
Расскажи – и я забуду
Покажи – и я запомню
Дай мне сделать самому – и я научусь.
Китайская мудрость
3 слайд
Цель урока:
Обобщить теоретические знания по данной теме.
Закрепить основные способы решения тригонометрических уравнений
Научиться подбирать правильный способ к решению определённого вида уравнения
4 слайд
Каково будет решение уравнения cos x = a при а > 1
5. Каково будет решение уравнения sin x = a при а > 1
2. При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение?
6.При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
7. Какой формулой выражается это решение?
4.На какой оси откладывается значение а при решении
уравнения cos x = a ?
Блиц - опрос
8. На какой оси откладывается значение а при решении
уравнения sin x = a ?
5 слайд
9. Каким будет решение уравнения cos x = 1?
10. Каким будет решение уравнения cos x = -1?
11. Каким будет решение уравнения sin x = 1?
12. Каким будет решение уравнения sin x = -1?
13. Каким будет решение уравнения cos x = 0?
14. Каким будет решение уравнения sin x = 0?
15. Какой формулой выражается решение уравнения tg x = а?
16. Какой формулой выражается решение уравнения
сtg x = а?
6 слайд
Некоторые типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно cos х = t, sin х = t.
Asin2 x + B cosx + C = 0
A cos2 x + В sinx + C = 0
Решаются методом введения новой переменной.
2.Однородные уравнения первой и второй степени.
I степени. A sinx + B cosx = 0 : cosx
A tg x + B = 0
II степени. A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0 : cos2x
A tg2 x + B tgx + C = 0
Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.
3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C. А, В, С 0
Применимы все методы.
7 слайд
4. Понижение степени.
А cos2x + В = C.
A cos2x + B = C.
Решаются методом разложения на множители.
A sin2x + B = C.
A sin2x + B = C.
Сводятся к однородным уравнениям С = С( ).
8 слайд
Формулы.
a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где
sin =
cos =
- вспомогательный аргумент.
Универсальная подстановка.
х + 2n; Проверка обязательна!
Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2
Метод вспомогательного аргумента.
9 слайд
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Пример1. 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥−1=0
sinx=y, 𝑦 ≤1
2𝑦 2 +𝑦−1=0, 𝑦 1 =−1, 𝑦 2 = 1 2 .
𝑠𝑖𝑛𝑥=−1 или 𝑠𝑖𝑛𝑥= 1 2
𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥= −1 𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 2 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍,
𝑥= −1 𝑛 𝜋 6 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
Ответ: − 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 , −1 𝑛 𝜋 6 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
Пример 2. 6𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0,
6 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 +5𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0,
6−6 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠𝑥−2=0,
6𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−5𝑐𝑜𝑠𝑥−4=0, 𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑦, 𝑦 ≤1
6𝑦 2 −5𝑦−4=0, 𝑦 1 =1 1 3 , 𝑦 2 =− 1 2 .
Так как 𝑦 ≤1, то 𝑐𝑜𝑠𝑥=− 1 2 ,
𝑥=±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − 1 2 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍,
𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
Ответ: 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
10 слайд
Пример 3. tgx+2ctgx=3.
tgx+ 1 tgx =3, tgx=y,
𝑦+ 1 𝑦 =3,
𝑦 2 −3𝑦+1=0 при 𝑦≠0,
у = 1 или у = 2
𝑡gx = 1 𝑡g𝑥=2
𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
x= 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
Ответ: 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
11 слайд
2.Однородные уравнения первой и второй степени.
Пример 4. 𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥=0,
Так как sinx и cosx не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1. Следовательно, при делении
уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.
Разделим обе части уравнения на cosx, получим
tgx=2,
𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡g 2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑡g 2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
Пример 5. 3𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0, разделим на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥, получим
3𝑡g 2 𝑥−4𝑡gx+1=0, tgx=y,
3𝑦 2 −4𝑦+1=0,
y = 1 или 𝑦= 1 3 ,
tgx=1 𝑡g𝑥= 1 3
x=arctg1+π𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡g 1 3 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
x= 𝜋 4 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍
Ответ: 𝜋 4 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍 ; 𝑎𝑟𝑐𝑡g 1 3 +π𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
12 слайд
Пример 6. 6𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=1.
Заменим 1 в правой части уравнения на 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥. После преобразований, получим 5𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0. Далее решаем, как в примере 5, получим 𝑡g𝑥= 1 5 или 𝑡g𝑥=−1,
𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 5 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −1 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍,
x=− 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 5 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; − 𝜋 4 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
3.Метод разложения на множители.
Пример 7. 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥=0.
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=0,
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥 =0,
𝑠𝑖𝑛𝑥=0 или 𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥=0,
𝑥=𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 𝑡g𝑥=2,
𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
Ответ: 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 ; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
13 слайд
4.Применение формул.
Пример 8. cos6x + cos2x = 0
Применим формулу 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=2𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝛽 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝛽 2 , получим
2cos4xcos2x =0,
cos4x = 0 или cos2x = 0,
4𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍 2𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍,
𝑥= 𝜋 8 + 𝜋𝑛 4 , 𝑛𝜖𝑍 𝑥= 𝜋 4 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘𝜖𝑍,
Ответ: 𝜋 8 + 𝜋𝑛 4 , 𝑛𝜖𝑍 , 𝜋 4 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘𝜖𝑍,
Закрепление изученного. Решить № 165(б), 167(а)
Задание на дом: п.11 №164(б,г) 165(в,г), 166(а), 167(б).
14 слайд
Спасибо за урок!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Презентация к уроку алгебры и начала анализа в 10 классе по учебнику А. Н. Колмогорова.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Цель урока:
üОбобщить теоретические знания по данной теме.
üЗакрепить основные способы решения тригонометрических уравнений
üНаучиться подбирать правильный способ к решению определённого вида уравнения
В презентации рассматриваются некоторые типы решения тригонометрических уравнений:
· уравнения, сводящиеся к квадратным;
· Однородные уравнения первой и второй степени;
Уравнения решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.
6 655 741 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Зайцева Нина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.