Выбранный для просмотра документ выступление сергей.docx
Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.
Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, палиндромы, репьюниты.
Гипотеза:
Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».
Объект исследования – натуральные числа.
Предмет исследования – свойства натуральных чисел.
Цель работы: познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.
Такие ли они «простые», эти простые числа?
Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.
Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: Например 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Еще древнегреческий математик Евклид утверждал, что самого большого простого числа не существует.
Т.к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел, так как наибольшего простого числа нет. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составить этот список, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эрастосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел. Итак, первое простое число – 2. Обведем его и вычеркнем все числа, кратные двум. Следующее простое число – 3. Обводим его и вычеркиваем числа, кратные трем и т.д. В результате получаем последовательность простых чисел. Простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.
Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов, начиная с числа 2. Получим одну из моделей «решета» Эрастосфена для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Все простые числа от числа 5 и дальше расположены только в 2 столбиках: в 4-м и 6-м. Когда в какой-то строке 4-го и 6-го столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т.д.
2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37
38 39 40 41 42 43
44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61
62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73
74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85
86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97
98 99 100 101 102 103
Как известно, делителем натурального числа называется такое число, на которое данное число делится без остатка.
Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.
До сих пор нет ответа на вопросы:
1) Существует ли наибольшее совершенное число?
2) Существует ли нечетное совершенное число?
Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.
Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 является первым совершенным числом.
Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Действительно, делителями числа 28 являются числа 1, 2, 4, 7, 14. 1+2+4+7+14=28. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Почти полторы тысячи лет люди знали только эти четыре совершенных числа. Совершенные числа обладают следующими свойствами:
- Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.
- Сумма чисел,
обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.
Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. В настоящее время найдено более 30 совершенных чисел.
Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.
НАПРИМЕР. Найдём делители чисел 220 и 284.
Делители 220: 1;2;11;10;5;44;22;110;20;55;4.
Делители 284: 1;2;142;71;4.
Вычислим сумму делителей числа 220: 1+2+11+10+5+44+22+110+20+55+4 = 284.
Вычислим сумму делителей числа 284: 1+2+142+71+4 = 220
Вывод: сумма делителей числа220 равна числу284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.
К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на интервале от 1 до 100000
|
1 пара |
220 и 284 |
8 пара |
17296 и 18416 |
|
2 пара |
1184 и 1210 |
9 пара |
63020 и 76084 |
|
3 пара |
2620 и 2924 |
10 пара |
66928 и 66992 |
|
4 пара |
5020 и 5564 |
11 пара |
67095 и 71145 |
|
5 пара |
6232 и 6362 |
12 пара |
69615 и 87633 |
|
6 пара |
10744 и 10856 |
13 пара |
79750 и 88730 |
|
7 пара |
12285 и 14595 |
|
|
Есть еще очень интересные числа – палиндромы и репьюниты. Палиндромами в математике называются числа, которые одинаково читаются как слева направо, так справа нелево. Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц.
В результате умножения репьюнитов получается число-палиндром:
11∙11=121;
11∙111=1221;
1111∙11=12221;
1112=12321;
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В результате изучения различных источников мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам.
Предметом исследования стали совершенные и дружественные числа.
При выполнении работы было доказано, что 220 и 284, 1184 и 1210; 2620 и 2924 являются дружественными числами, а числа 6; 28; 496; 8128; 33550336 – совершенными.
При нахождении делителей этих чисел мы раскладывали их на простые множители.
Анализ наших решений показал, что простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ числа.pptx
Скачать материал "Презентация к исследовательской работе "Эти удивительные числа""
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Эти удивительные числа
Выполнил
ученик 5б класса
МБОУ СОШ №34
Оболонко Сергей
V общешкольный конкурс исследовательских работ и проектов
«О, сколько нам открытий чудных…»
Руководитель:
учитель математики
МБОУ СОШ №34
Ляликова Н.В.
2 слайд
Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.
Самые древние по происхождению числа - натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, палиндромы, репьюниты.
3 слайд
Гипотеза:
Если простые числа – это «кирпичики»,
из которых строятся все
натуральные числа, то
«перекладывая» их, можно получить
удивительные «числовые сооружения».
Объект исследования – натуральные числа.
Предмет исследования – свойства
натуральных чисел.
Цель работы: познакомиться с
удивительными числами
и установить роль простых чисел в
изменении их свойств.
4 слайд
Такие ли они «простые», эти простые числа?
Числа, которые имеют только два различных делителя, называются
простыми.
Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. Самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.
5 слайд
Проведем небольшое исследование.
Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: Например, 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д.
Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике:
Простые числа являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа.
6 слайд
Можно ли сосчитать все
простые числа?
Еще древнегреческий математик Евклид утверждал, что самого большого простого числа не существует.
7 слайд
Решето Эратосфена
Простые числа
8 слайд
Числа-близнецы
Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов, начиная с числа 2. Получим одну из моделей «решета» Эрастосфена для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Все простые числа от числа 5 и дальше расположены только в 2 столбиках: в 4-м и 6-м. Когда в какой-то строке 4-го и 6-го столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т.д.
9 слайд
Совершенные числа
Как известно, делителем натурального числа называется такое число, на которое данное число делится без остатка.
Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, равна п.
До сих пор нет ответа на вопросы:
1) Существует ли наибольшее совершенное число?
2) Существует ли нечетное совершенное число?
10 слайд
Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На 6-м месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в 6 дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.
Совершенные числа
11 слайд
Совершенные числа
Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа: 1 + 2 + 3, то мы получим 6. Значит, число 6 является первым совершенным числом.
Следующим совершенным числом, известным древним, было 28. Действительно, делителями числа 28 являются числа 1, 2, 4, 7, 14. 1+2+4+7+14=28. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Почти полторы тысячи лет люди знали только эти четыре совершенных числа.
12 слайд
Свойства совершенных чисел
Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.
Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.
Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. В настоящее время найдено более 30 совершенных чисел.
13 слайд
Палиндромы и репьюниты
Есть еще очень интересные числа – палиндромы и репьюниты. Палиндромами в математике называются числа, которые одинаково читаются как слева направо, так справа нелево. Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц.
6886, 515- палиндромы. 111, 11111 - репьюниты
В результате умножения репьюнитов получается число-палиндром:
11∙11=121;
11∙111=1221;
1111∙11=12221;
1112=12321;
14 слайд
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате изучения различных источников мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам. Анализ наших решений показал, что простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».
15 слайд
Дружественные числа
Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.
НАПРИМЕР. Найдём делители чисел 220 и 284.
Делители 220: 1; 2; 11; 10; 5; 44; 22; 110; 20; 55; 4.
Делители 284: 1; 2; 142; 71; 4.
Вычислим сумму делителей числа 220: 1+2+11+10+5+44+22+110+20+55+4 = 284.
Вычислим сумму делителей числа 284: 1+2+142+71+4 = 220
Вывод: сумма делителей числа220 равна числу284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.
16 слайд
Дружественные числа
К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на интервале от 1 до 100000
17 слайд
Список литературы
Волина И. А. Праздник числа. М. 1991.
Депман И. Я. Мир чисел. М. 1979.
Депман И. Я. Рассказы о математике. М. 1982.
Депман И. Я. Из истории математики. М. 1985.
Заболотных Т. А. «Использование исторического материала в обучении математике», журнал Математика в школе,1989 г., № 6, стр.11 – 12.
Сухинина Т. К. «Беседа на уроках математики», журнал Начальная школа, 1983 г., № 2, стр.7 – 9.
Математический энциклопедический словарь. – Москва «Советская энциклопедия» 1988г.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, с помощью чисел измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы. Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 5 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, палиндромы, репьюниты. Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения». Объект исследования – натуральные числа. Предмет исследования – свойства натуральных чисел. Цель работы: познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств. Архив содержит презентацию и текст выступления.
6 656 273 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ляликова Наталья Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.