Презентация проекта по математике "Пифагор и его теорема" (8 класс)

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Проект
  Пифагор и его теорема
  
  
  
  
  Учителя математики
  МБОУ Павловской СОШ №3
  Серебряковой Елены Васильевны
  
  
  

• 

  2 слайд

  «Кто хочет изучать настоящее, не зная прошлого, тот никогда его не поймет»
  Г.Лейбниц
  

• 

  3 слайд

  Цели и задачи работы:
  Цель данной работы: демонстрация ценности и значимости теоремы Пифагора.
  Задачи:
  1)Изучить биографию Пифагора;
  2)Познакомиться со школой Пифагора;
  3)Изучить историю открытия теоремы;
  4)Рассмотреть некоторые способы доказательства теоремы;
  5) Решить занимательные задачи по теореме Пифагора;
  6)Показать какое значение имеет открытие теоремы Пифагора в развитии геометрии;
  7)Показать применение теоремы в быту, технике.
  

• 

  4 слайд

  ПИФАГОР САМОССКИЙ
  (ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)
  О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
  
  Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
  Биография Пифагора
  

• 

  5 слайд

  Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам когда-то изучал науки.
  Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен.
  Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.
  
  

• 

  6 слайд

  Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.
  Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне.
  Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.
  
  

• 

  7 слайд

  Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.
  Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.
  Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.
  
  

• 

  8 слайд

  Школа Афинская.
  Рафаэль
  

• 

  9 слайд

  Пифагор
  

• 

  10 слайд

  Школа Пифагора
  

• 

  11 слайд

  Школа Пифагора
  Школа была основана Пифагором и просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г.
  
  
  Прием в школу проходил
  в несколько этапов
  

• 

  12 слайд

  Первый этап
  Пифагор обычно отправлял кандидата обратно, советуя повременить и прийти вновь через три года. Этот внешне очень суровый прием был исполнен глубокого смысла - ведь любой импульс, даже самый прекрасный и чистый, должен пройти испытание временем.
  

• 

  13 слайд

  Второй этап
  В этот период человек еще не считался учеником Школы и назывался акусматиком («слушателем»). Он слушал, впитывал, осознавал - и все это происходило в молчании.
  Акусматикам Пифагор «предписывал пятилетнее молчание, испытывая их способности воздерживаться, так как молчание - наиболее трудный вид воздержания».
  

• 

  14 слайд

  Третий этап
  Лишь после долгих лет такой работы акусматик становился настоящим учеником-пифагорейцем
  Теперь он носил звание математика - «познающего».
  На занятиях, которые проводил сам Пифагор или его ближайшие ученики, математикам давалась целостная картина мира, раскрывалось устройство Природы и человека.
  Обучение математиков происходило в течение долгого времени, но и оно тоже было только подготовкой.
  

• 

  15 слайд

  Четвертый этап
  Посвятить себя служению людям, обществу, всем, кто нуждается в помощи и защите, - естественный шаг для зрелого философа.
  И когда ученики-математики были готовы к этому, происходил выбор тех направлений и форм, в которых это служение будет осуществляться, и затем окончательное обучение избранной «специальности».
  Одни изучали экономику, другие изучали медицину, и т. д.
  

• 

  16 слайд

  Пятый этап
  Высшей же ступенью в Пифагорейской школе считалось обучение политиков - людей, способных управлять обществом.
  Задача - руководить людьми исходя из общего блага, не идя на поводу ни собственных, ни чужих интересов.
  Позже Платон переработал и расширил пифагорейскую теорию государства - «модель идеального государства Платона».
  Многие ученики Пифагора прославились как законодатели и справедливые хранители законов
  Годы, когда пифагорейцы участвовали в государственных делах, были благополучными.
  

• 

  17 слайд

  Теорема Пифагора
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  

• 

  18 слайд

  Геометрическая формулировка:
  
  Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
  В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
  
  Алгебраическая формулировка:
  В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
  

• 

  19 слайд

  Теорема звучит следующим образом:
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  Обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b, получаем следующее равенство:
  
  
  

• 

  20 слайд

  Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения.
  

• 

  21 слайд

  Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С теоремой Пифагора мы уже познакомились. Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.
  

• 

  22 слайд

  К теореме Пифагора его ученики составляли стишки, вроде:
  «Пифагоровы штаны
  во все стороны равны»,
  А также рисовали такие карикатуры:
  Шарж из учебника XVI века.
  

• 

  23 слайд

  Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
   
  
  23
  

• 

  24 слайд

  Доказательство Эпштейна
   Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.
  Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах
  Доказательство.
  Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.
  Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.
  При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.
  Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.
  Теорема доказана.
  
  24
  

• 

  25 слайд

  1. Построим треугольник ABC с прямым углом С.
  Доказательство Гофмана
  A
  B
  C
  a
  b
  c
  F
  D
  E
  2. Построим BF=CB, BFCB
  
  3. Построим BE=AB, BEAB
  
  4. Построим AD=AC, ADAC
  
  5. Точки F, C, D принадлежат одной прямой.
  
  
  25
  

• 

  26 слайд

  Что и требовалось доказать!
  
  6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.
  7. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим:
  1/2а2+1/2b 2=1/2с 2
  8. Соответственно:
  а2+ b 2 =с 2
  A
  B
  C
  D
  F
  E
  b
  c
  
  
  
  
  
  Доказательство Гофмана
  a
  26
  

• 

  27 слайд

  Доказательство Мёльманна
  1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab,
  с другой 0,5pr, где
  p – полупериметр треугольника,
  r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)).
  A
  C
  B
  a
  b
  c
  27
  

• 

  28 слайд

  Что и требовалось доказать!
  
  2. Имеем: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)
  0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)
  аb=0,5(а2 + ab – ac + ab + b2 – bc + ca + cb - с2)
  аb=0,5(а2 + b2- с2 +2ab)/·2
  2аb=а2 + b2- с2 +2ab
  а2 + b2- с2 =0
  
  3. Отсюда следует, что с2= а2+b2
  Доказательство Мёльманна
  A
  C
  B
  a
  b
  c
  28
  

• 

  29 слайд

  Доказательство Перигаля
  Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены рядом. Надо разделить эту фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание.
  
  29
  

• 

  30 слайд

  
  Доказательство с помощью косинуса угла.
  
  Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB.
  Отсюда АВ*AD=AC*АС.
   Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC.
  Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:
  AC*AC + BC*BC = AB*AB. Теорема доказана.
  
  30
  

• 

  31 слайд

  Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора".
  31
  

• 

  32 слайд

  Над озером тихим
  С полфута размером
  Высился лотоса цвет.
  Он рос одиноко,
  И ветер порывом
  Отнёс его в сторону. Нет
  Боле цветка над водой.
  Нашёл же рыбак его
  Ранней весною
  В двух футах от места, где рос.
  Итак, предложу я вопрос:
  “Как озера вода здесь глубока?”
  Древнеиндийская задача
  32
  

• 

  33 слайд

  Какова глубина в современных единицах
  длины (1 фут приближённо
  равен 0,3 м) ?
   
  Решение.
  Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .
  Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,
  (Х + 0,5)2 – Х2 = 22 ,
  Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4,
  Х = 3,75.
  Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
  3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)
  Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.
  
  33
  

• 

  34 слайд

  
  На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
  
  Задача индийского
  математика XII в. Бхаскары
   
  34
  

• 

  35 слайд

  Задача Бхаскары
  Решение.
   
  Пусть CD – высота ствола.
  BD = АВ
  По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .
  CD = CB + BD,
  CD = 3 + 5 =8.
  Ответ: 8 футов.
  35
  

• 

  36 слайд

  На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
  
  Задача арабского математика XI в
  36
  

• 

  37 слайд

  Решение
   
  Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2
  АВ2=302 +Х2
  АВ2=900+Х2;
  в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2
  АС2=202+(50 – Х)2
  АС2=400+2500 – 100Х+Х2
  АС2=2900 – 100Х+Х2.
  Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.
  Поэтому АВ2 =АС2 ,
  900+Х2 =2900 – 100Х+Х2,
  100Х=2000,
  Х=20,
  АD=20.
  Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.
  
  Ответ: 20 локтей.
  
  37
  

• 

  38 слайд

  "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."
   
  
  Задача из учебника
  "Арифметика" Леонтия Магницкого
  38
  

• 

  39 слайд

  Применение
  1.1. Строительство
  Окно
  r=b/4 R=b/2В романской архитектуре часто встречается мотив представленный на рисунке. Если Ь по-прежнему обозначает, ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r=b/4. Радиусу внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.
  По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)=(b/4)+(b/4-p) или b/16+b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p, откуда b*p/2=b/4-b*p.
  Разделив на Ъ и приводя подобные члены, получим:
  (3/2)р =b/4,р=b/6.
  В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (Ь) для наружных дуг и половине ширины (Ь/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентри­ческими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. Ь/2 и, следовательно, радиус равен Ь/4. Тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений.
  

• 

  40 слайд

  Применение
  1.1. Строительство
  Крыша
  В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
  Решение:
  Треугольник ADC— равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:
  А) Из треугольника DBC:DB=2,5 м DС=√4*4-2,5*2,5=√16+6,25=√22,254,7
  Б) Из треугольника ABF: AF=√l6+16=√325,7
  
  Молниеотвод
  Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
  Решение:
  По теореме Пифагора h*h>a*a+b*b, значит h>√(a*a+b*b) Ответ: h>√(a*a+b*b)
  

• 

  41 слайд

  Применение
  1.2. Астрономия
  Пусть световой луч проходит путь от точки A к точке B. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одина­ковый путь, возникает вопрос: чему равна половина пути, который прохо­дит луч? Если обозначить отрезок АВ символом /, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой с, то уравнение примет вид:
  с X t = I
  Это произведение затраченного времени на скорость.
  Попробуем взглянуть на то же явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка А смещается и луч возвращается уже в новую точку С.
  Вопрос: на сколько успеет сместиться точка, чтобы превратиться в точку С, пока путешествует световой луч, то есть спросим о половине данного смещения. Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния АС буквой d, то получим наше уравнение в виде:
  v* t' = d
  Буквой v обозначена скорость движения космического корабля.
  Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? Чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта? Если обозначить половину длины пути света буквой s, получим уравне­ние:
  c*t‘=s
  Здесь с — это скорость света, at' — это тоже время, которые было рас­смотрено формулой выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треуголь­ник, высота которого равна /, которое было введено при рассмотрении про­цесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит пер­пендикулярно /, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямо­угольных треугольников, гипотенузы которых АВ и ВС должны быть свя­заны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, который был рассчитан только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который тоже рассчитали. Получаем уравнение: s*s =l*l + d*d..
  

• 

  42 слайд

  Применение
  1.3. Мобильная связь
  В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км).
  
  Решение:
  Пусть АВ=х, BC=R=200 км, ОС=r=6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ=r+х.
  Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.
  

• 

  43 слайд

  Заключение
  В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа…