Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»
Студент ______________________________________ группа __________________
Вариант 1
|
Цели практического занятия |
|
|
Студент должен:
|
уметь: · - решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); · - проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: · для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур. |
|
Прямоугольная декартова система координат в пространстве |
|
|
1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
3. Модуль вектора
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
5. Единичный вектор
6. Скалярным произведением
где |
7. Скалярное произведение векторов
8. Косинус угла между векторами
9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов
10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору ax + by + cz + d = 0. 11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0. 12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:
|
Рекомендации к решению задач:
1. Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.
2. Не экономьте на вычислениях. Подставляя числа в формулу для косинуса, напишите эту формулу в исходном виде, затем — с подставленными числами, и только затем проводите вычисления.
3. Если вы работаете с плоскостями, укажите, почему в формуле Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D принимает конкретные значения (D = 0 или D = 1)
4. Внимательно читайте условие задачи. Метод координат дает нам только косинус или синус угла — но не ответ. А что, если требуется тангенс?
Задача 1. В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.
· Решение. Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA1. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.
Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A1B1. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).
Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C1B1 — чуть сложнее. Имеем:
Осталось найти косинус угла:
Ответ: arccos 0,7
Задача 2. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A1B1. Найдите координаты этой точки.
Решение. Поскольку точка K — середина отрезка A1B1, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A1 = (0; 0; 1) и B1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:
Ответ: K = (0,5; 0; 1)
Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.
Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.
Подставим вместо x,
y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 +
1 = 0 ⇒
2A + C + 1 = 0;
Аналогично,
для точек N = (0; 1; 1)
и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 +
1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 +
1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:
Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0
Практическое занятие по теме: «Векторы в пространстве»
Студент ______________________________________ группа __________________
Вариант 2
|
Цели практического занятия |
|
|
Студент должен:
|
уметь: · - решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); · - проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: · для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур. |
|
Прямоугольная декартова система координат в пространстве |
|
|
1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
3. Модуль вектора
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
5. Единичный вектор
6. Скалярным произведением
где |
7. Скалярное произведение векторов
8. Косинус угла между векторами
9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов
10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору ax + by + cz + d = 0. 11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору a(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0. 12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:
|
Рекомендации к решению задач:
1. Выписывайте координаты точек, с которыми работаете.
2. Не экономьте на вычислениях. Подставляя числа в формулу для косинуса, напишите эту формулу в исходном виде, затем — с подставленными числами, и только затем проводите вычисления.
3. Если вы работаете с плоскостями, укажите, почему в формуле Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D принимает конкретные значения (D = 0 или D = 1)
4. Внимательно читайте условие задачи. Метод координат дает нам только косинус или синус угла — но не ответ. А что, если требуется тангенс?
Задача 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Решение. Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.
Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).
Теперь разберемся
с вектором BF. Аналогично, разбираем точки
B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1),
т.к. F — середина отрезка B1C1. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) =
(0; 0,5; 1).
Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:
Ответ: arccos 0,8
Задача 2. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.
Решение. Рассмотрим вектор AB: его
начало находится в точке A, а конец — в точке B.
Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B
вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6;
7 − 3) = (2; − 7; 4).
Аналогично, начало
вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C.
Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1;
3 − 6; − 2 − 3) =
(− 5; − 3; − 5).
Наконец,
чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C
вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3;
3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7;
4; − 9).
Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)
Задача 3. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.
Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!
Ответ: n = (7; − 2; 4)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Цели практического занятия:
Создание ситуации взаимопомощи, сотрудничества
Студент должен: уметь:
· - решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
· - проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур
6 660 507 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Синилова Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
8 ч.
заданного своими координатами,
находится по формуле:
сонаправленный с вектором 
находится по
формуле:
векторов 
называется число:
- угол между векторами.
и 
находится по формуле:
и 
имеет вид:
и проходящей через точку
(xo;yo;zo), имеет вид:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.