Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа № 8
Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»
Цель: совершенствование умений находить неопределенные интегралы методом замены переменной и по частям, совершенствование умений проверять действие интегрирования дифференцированием.
Методические указания для практической работы
Теоретические сведения
Первообразная функции. Неопределенный интеграл
Функция
, определенная на
интервале 
,
называется первообразной для функции 
, определенной на
том же интервале ,
если 
Если
— первообразная
для функции ,
то любая другая первообразная 
для
функции отличается
от на
некоторое постоянное слагаемое, т. е. 
где 
.
Неопределенным интегралом от
функции называется
совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный
интеграл: 
где
Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:
Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.
Свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4.
Таблица основных интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 
14.
15.
16.
17.
18.
Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.
Метод замены переменной
Теорема 1. Пусть 
монотонная,
непрерывно дифференцируемая функция, тогда
(1)
При этом, если 
то 
где 
— функция, обратная 
.
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Алгоритм замены переменной:
1) Связать старую переменную
интегрирования 
с новой переменной 
с
помощью замены .
2) Найти связь между
дифференциалами 
.
3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.
4) Проинтегрировать и в полученной
первообразной вернуться к старой переменной, подставив 
Пример1. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.
Решение:
Интегрирование по частям
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям
Если производные функций 
и 
непрерывны,
то справедлива формула:
(3)
называемая формулой интегрирования по частям.
В качестве 
обычно
выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.
Некоторые стандартные случаи
функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ
выбора множителей 
и 
.
Таблица 1
|
Вид интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
Вид интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
—
многочлен от 
степени 
, т. е. 
,
где 
.
Пример 2. Проинтегрировать по частям.
Решение.
Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа № 8
Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»
Цель: совершенствование умений находить неопределенные интегралы методом замены переменной и по частям, совершенствование умений проверять действие интегрирования дифференцированием.
Задание 1. Проинтегрировать функции заменой переменной:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Задание 2. Найти интеграл интегрированием по частям:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Дисциплина – «Математика»
Курс -2
Семестр -3
Практическая работа № 8
Тема: «Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»
Цель: совершенствование умений находить неопределенные интегралы методом замены переменной и по частям, совершенствование умений проверять действие интегрирования дифференцированием.
Методические указания для практической работы
Теоретические сведения
Первообразная функции. Неопределенный интеграл
Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если
Если — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции отличается от на некоторое постоянное слагаемое, т. е. где .
Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: где
Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:
Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.
6 663 131 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Михайлова Мария Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.