Инфоурок Математика Другие методич. материалыПрактическая работа № 6 тема: «Исследование функции при помощи производной»

Практическая работа № 6 тема: «Исследование функции при помощи производной»

Скачать материал

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения

1.     Возрастание и убывание функции

Функция называется возрастающей в промежутке , если для любыхи, принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

Функция  называется убывающей в промежутке , если для любыхи, принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

Как возрастающие , так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции  характеризуется знаком ее производной:

если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке;

если в некотором промежутке , то функция убывает в этом промежутке.

Пример 1. Найти промежутки монотонности следующих функций:

а)           б)

а)  Находим производную:, имеем .

Последующие рассуждения представим в таблице:

 

4

-

0

+

 

 

Таким образом, данная функция в промежутке  убывает,

а в промежутке   возрастает.

б) 

Составим таблицу:

0

4

+

0

-

0

+

 

 

 

Итак, в промежутках  и функция возрастает, а в промежутке  - убывает.

 

2.     Исследование функции на экстремум

 с помощью первой производной

 

             Точка   из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая  – окрестность

 точки , что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство

             Точка  из области определения функции  называется точкой максимума этой функции, если существует такая  – окрестность

  точки , что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство

            Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами) функции.

            Точками экстремумами могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная  обращается в нуль или терпит разрыв.

           Если при переходе через критическую точку   производная  меняет знак, то функция   имеет в точке  экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку   производная  не меняет знака, то функция   в точке  не имеет экстремума.

3.   Правило нахождения экстремумов функции  

с помощью первой производной

    I.      Найти производную .

  II.      Найти критические точки функции , т.е. точки в которых  обращается в нуль или терпит разрыв.

 III.      Исследовать знак производной  в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом критическая точка  есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором , от промежутка, в котором , и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке  функция экстремума не имеет.

IV.            Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум следующие функции:

а)                     б)   

а) Находим    ,  приравняем производную к нулю, имеем  . Получим единственную критическую точку .

 

 

 

Последующие рассуждения представим в таблице:

2

-

0

+

   Минимум

 

График функции  есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.

б) Находим    ,  приравняем производную к нулю, имеем . Получим две критические точки    и .

Последующие рассуждения представим в таблице:

0

2

+

0

-

0

+

Максимум

   Минимум

 

4.     Наименьшее и наибольшее значения функции

 Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1)    Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2)    Найти значения функции на концах промежутка;

3)    Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в промежутке  .

   Имеем ; 2, т.е.  - критическая точка. Находим ; далее, вычисляем значения функции на концах промежутка:  , .

        Итак, наименьшее значение функции равно  - 1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.

 

5.     Построение графиков функций

Общая схема построения графиков функций

       I.            Найти область определения функции.

    II.            Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

 III.            Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

IV.            Найти асимптоты графика функции.

   V.            Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

VI.            Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

VII.            Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример 4 . Построить график функции .

1.   Функция определена на всей числовой прямой, т.е. .

2.     Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3.   Найдем точку пересечения графика с осью : полагая  , получим  . Точки пересечения графика с осью  в данном случае найти затруднительно.

4.     Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5.   Найдем производную:  . Далее, имеем .

Точки  и  делят область определения функции на три промежутка: , ,  . В промежутках  и , то есть функция возрастает, а в промежутке   , то есть функция убывает. При переходе через точку  производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку  - с минуса на плюс. Значит, .

6.   Найдем вторую производную: . Точка   делит область определения функции на два промежутка   и . В первом  из них , а во втором

 , то есть в промежутке  кривая выпукла вверх, а в промежутке  выпукла вниз. Таким образом, получим точку перегиба (2;-1).

7.     Используя полученные данные, строим искомый график.

 

 

 

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Вариант 1.

1)  Найдите промежутки монотонности функции .

2)    Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

      на отрезке .

3)    Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

a)    ;         б) .

4)  Дан закон прямолинейного движения точки  

(t -  в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

5)    Исследуйте  функцию и постройте ее график:

.

Вариант 2.

1)  Найдите промежутки монотонности функции .

2)    Найдите наименьшее и наибольшее значение функции

     на отрезке  .

3)    Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

a) ;       б) .

4)  Дан закон прямолинейного движения точки      (t  -  в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

5)    Исследуйте  функцию и постройте ее график:

.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Практическая работа № 6 тема: «Исследование функции при помощи производной»"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Менеджер образования

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 6

Тема: «Исследование функции при помощи производной»

Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

  Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум. Аналогично для точки x4. Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x0).

 Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0).

 Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

 Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка. Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x1  имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 866 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 04.01.2015 1989
    • DOCX 38.5 кбайт
    • 39 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Михайлова Мария Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Михайлова Мария Борисовна
    Михайлова Мария Борисовна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 135851
    • Всего материалов: 31

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Менеджер по туризму

Менеджер по туризму

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 154 человека из 51 региона

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 112 человек из 42 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 85 человек из 36 регионов

Мини-курс

Технологии и анализ в медиакоммуникациях

7 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Методика образовательных игр с детьми раннего возраста

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 13 регионов

Мини-курс

Современные информационные технологии и информационная безопасность

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе