Главная / Математика / Практическая работа №4 по теме: «Вычисление пределов»

Практическая работа №4 по теме: «Вычисление пределов»

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
Скачать материал

Дисциплина «МАТЕМАТИКА»

Курс -2

Семестр -3



Практическая работа №4 по теме:

«Вычисление пределов»


Цель: формирование умений вычислять пределы последовательностей и функций,

раскрывать в простейших случаях неопределенности.

Методические рекомендации для выполнения

практической работы №4 по теме:


  1. Пределы числовых последовательностей

Числовые последовательности. Формула общего члена.

Предел числовой последовательности. Сходящаяся и

расходящаяся последовательности. Ограниченная

 последовательность. Монотонная последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Основные свойства пределов.

Некоторые замечательные пределы.

 

Последовательности.  Рассмотрим ряд натуральных чисел:

 

1,  2,  3, … ,  n –1,  n, … .

 

Если заменить каждое натуральное число  n  в этом ряду некоторым числом  un , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:          

 

u1 ,   u2 ,   u3 , …,   un 1 ,   un  , …,  кратко обозначаемый { un }  

 

и называемый числовой последовательностью. Величина  un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой  un = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру  n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

 

П р и м е р ы    числовых последовательностей:

 

                         1,  2,  3,  4,  5, …   ряд натуральных чисел ;

 

                         2,  4,  6,  8,  10, … ряд чётных чисел;

 

                         1.4,  1.41,  1.414,  1.4142, … числовая последовательность

                                                                            приближённых  значений http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana1c.gif

                                                                            с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу  a  при увеличении порядкового номера  n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana1d.gif

Это определение означает, что  a  есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого  http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif> 0  можно найти такое число N,  что начиная с  n > N  все члены последовательности расположены внутри интервала ( a http://www.bymath.net/studyguide/eps.gifa http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | un  | http://www.bymath.net/studyguide/leq.gifMдля всех  n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства). 

Основные свойства пределов.  Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { un } и { vn }   две сходящиеся последовательности, то:

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana1e.gif

Если члены последовательностей { un }, { vn }, { wn } удовлетворяют неравенствам 

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana1f.gif


Замечательные пределыhttp://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana1a.gif

















  1. Пределы функций

 

Предел функции. Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

 Конечный предел. Бесконечный предел.

Понятие бесконечности.

 

Предел функции. Число L называется пределом функции  y = f ( x ) при  x, стремящемся к  a :

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2c.gif


если для любого  http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif> 0 найдётся такое положительное число http://www.bymath.net/studyguide/dlt.gif= http://www.bymath.net/studyguide/dlt.gif( http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif), зависящее от  http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif, что из условия | x - a | < http://www.bymath.net/studyguide/dlt.gifследует  |  f ( x ) – L | < http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif.

Это определение означает, что L есть предел функции  y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к  L , когда значение аргумента  x приближается к  a. Геометрически это значит, что для любого  http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif> 0  можно найти такое число  http://www.bymath.net/studyguide/dlt.gif, что если  x  находится в интервале ( a - http://www.bymath.net/studyguide/dlt.gif, a + http://www.bymath.net/studyguide/dlt.gif), то значение функции лежит в интервале ( L - http://www.bymath.net/studyguide/eps.gifL + http://www.bymath.net/studyguide/eps.gif). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается  к  a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

П р и м е р .   Найти

                                      http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2a.gif

Р е ш е н и е .  Подставляя  x = 3  в выражение  http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2d.gifполучим не имеющее смысла                     выражение http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2e.gif. Поэтому решим по-другому:

                                                          http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2f.gif

Сокращение дроби в данном случае корректно, так как  x http://www.bymath.net/studyguide/neq.gif3 , он лишь приближается к 3.  Теперь мы имеем:

                                                              http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2g.gif

  поскольку, если  x  стремится к  3, то  x + 3  стремится к  6 .

Замечательные пределы

                                http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2h.gif

Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

П р и м е р .  Функция  y  =  http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2i.gif  является бесконечно малой при  x,

                      cтремящемся к  4, так как  http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2k.gif

 

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2j.gif
 

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

                                                  http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2l.gif

Символ http://www.bymath.net/studyguide/infnt.gif ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при  x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях  x, это отражается в записи. Например, при  x http://www.bymath.net/studyguide/arrow_big.gif 0 функция  y = x2 бесконечно большая, но она положительна как при  x > 0, так и при  x < 0 ; это выражается так:

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2m.gif

Наоборот, функция  y x 2  всегда отрицательна, поэтому  

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2n.gif

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2o.gif

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2p.gif











Практическая работа №4 по теме:

«Вычисление пределов»

Вариант 1.

1.Найдите пределы последовательностей:

  1. hello_html_m712c145f.gif; 3) hello_html_95d6cb8.gif;

  2. hello_html_m40740073.gif; 4) hello_html_m1f5df848.gif.

2.Найдите пределы функций:



  1. hello_html_md4e1d7b.gif;

  2. hello_html_2f45849f.gif;

  3. hello_html_m760d0387.gif;

  4. hello_html_m5630e889.gif;

  5. hello_html_6deca297.gif.

3. Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m69d2f7e.gif. Найдите пределы:

  1. hello_html_m659b39c.gif; 3) hello_html_m6c64f60a.gif;

2) hello_html_66a1b5d9.gif; 4) hello_html_m6142cb03.gif.

4. Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m584d6e4f.gif. Найдите пределы:

1) hello_html_592f4855.gif; 2) hello_html_m1e1da120.gif.

6


Практическая работа №4 по теме: «Вычисление пределов»
Скачать материал
  • Математика
Описание:

Дисциплина «МАТЕМАТИКА»

Курс -2

Семестр -3

 

                                            Практическая работа №4 по теме:

                                               «Вычисление пределов»

 

Цель: формирование умений вычислять пределы последовательностей и функций,

раскрывать в простейших случаях неопределенности.

                                  

                                      Методические рекомендации для выполнения

                                       практической работы №4 по теме:

 

  1. Пределы числовых последовательностей

Числовые последовательности. Формула общего члена.

Предел числовой последовательности. Сходящаяся и

расходящаяся последовательности. Ограниченная

 последовательность. Монотонная последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Основные свойства пределов.

Некоторые замечательные пределы.

 

Последовательности.  Рассмотрим ряд натуральных чисел:

 

1,  2,  3, … ,  n –1,  n, … .

 

Если заменить каждое натуральное число  n  в этом ряду некоторым числом  un , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:          

 

u1 ,   u2 ,   u3 , …,   un - 1 ,   un  , …,  кратко обозначаемый { un }  

 

и называемый числовой последовательностью. Величина  un называется общим членом последовательности.Обычно числовая последовательностьзадаётся некоторой формулой  un = f ( n ),позволяющейнайти любой член последовательности по его номеру  n ;эта формула называется формулой общегочлена. Заметим,что задатьчисловуюпоследовательностьформулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

 

П р и м е р ы    числовых последовательностей:

 

                         1,  2,  3,  4,  5, … -  ряд натуральных чисел ;

 

                         2,  4,  6,  8,  10, … - ряд чётных чисел;

 

                         1.4,  1.41,  1.414,  1.4142, … - числовая последовательность

                                                                            приближённых  значений

                                                                            с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.



Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 25 октября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Скачать материал
Автор Михайлова Мария Борисовна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 3924
Номер материала 30251
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓