Построение объемных фигур в GeoGebra 3D

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

на тему:

«Построение объемных фигур и сечений в GeoGebra 3D»

Выполнила:

студентка 5 курса группы МДМ-212

Анисимова А. А.

Проверила:

кандидат физико-математических наук, доцент

Кормилицына Т. В.

Саранск 2017

Введение

GeoGebra – это бесплатная, кроссплатформенная динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете.

Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями).

В отличии от других программ для динамического манипулирования геометрическими обьектами, идея GeoGebra заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления. Вы можете создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем динамически изменять их.

Кроме того, GeoGebra позволяет напрямую вводить уравнения и манипулировать координатами. Таким образом, можно легко составлять графики функций, работать со слайдерами для подбора необходимых параметров, искать символические производные, и использовать мощные команды вроде корня и последовательности.

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т.п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков, программу GeoGebra можно будет использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа ГеоГебра обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т.д. В программе GeoGebra можно будет создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете.

Все приложения, входящие в состав программы GeoGebra, доступны и синхронизируются между собой для работы в составе одного пакета.

GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android.

С сайта производителя можно будет скачать обычную версию программы GeoGebra для установки на компьютер. Также можно будет скачать переносную версию программы (GeoGebra Portable) для соответствующей операционной системы.

После запуска GeoGebra на компьютере, ознакомимся с интерфейсом программы.

Интерфейс GeoGebra

Интерфейс программы GeoGebra напоминает графический редактор. Программу можно использовать для черчения, но это не основное предназначение приложения.
Давайте рассмотрим основные элементы интерфейса программы GeoGebra:

1.                 Полоса меню. Из меню вы можете изменить настройки программы.

2.                 Панель инструментов. Здесь находятся инструменты для создания объектов. После щелчка по треугольнику в правом нижнем углу кнопки, будут открыты дополнительные инструменты. Операции, доступные в панели инструментов, можно производить с помощью строки ввода.

3.                 Панель объектов. В Панели объектов отображаются введенные переменные и функции. Вместо имен переменных здесь отображаются их значения. Для того, чтобы увидеть формулу в символьном виде, нужно будет кликнуть по ней правой кнопкой мыши.

4.                 Кнопки «Отменить» и «Повторить».

5.                 Строка ввода. Это основной инструмент при работе в программе GeoGebra. Здесь вводятся команды и формулы, задаются значения переменных. Справа от строки ввода расположена кнопка «Список команд». С помощью дополнительных команд можно будет вводить команды и отсутствующие на клавиатуре символы.

6.                 Рабочая область. Все построения в программе производятся в рабочей области. Вы можете изменить масштаб с помощью колесика мыши, перемещать по рабочей области ось координат.

Далее попытаемся выполнить некоторые элементарные действия в программе GeoGebra.

Построение графика функции в GeoGebra

Для построения графика функции достаточно будет набрать ее в поле ввода. Для отображения параболы нужно будет написать в строке «Ввод» следующее выражение:

Символ «^» в программе GeoGebra обозначает возведение в степень.

Далее нажмите на кнопку «Enter». После этого в рабочей области будет построен график. Рисунок можно будет масштабировать с помощью колесика мыши. Для перемещения рабочей области нужно будет нажать на клавишу «Shift», одновременно удерживая нажатой левую кнопку мыши.

Вы можете перемещать сам график при помощи нажатой правой кнопки мыши, при этом, в Панели объектов будут отображены изменения в уравнении.

Создание треугольника в GeoGebra

Давайте попробуем начертить треугольник в программе GeoGebra. Для этого нужно будет перейти в «геометрический» режим для того, чтобы включить отображение сетки, и отключить отображение оси координат.

Кликните правой кнопкой мыши по оси координат, в контекстном меню выберите пункт «Сетка», а затем там кликните по пункту «Оси» для отключения оси координат. На панели инструментов нажмите на кнопку «Многоугольник».

После этого нарисуйте треугольник, последовательно установив три вершины. При необходимости, вы можете ввести точные координаты. Для этого вам нужно будет кликнуть по точке правой кнопкой мыши.

Далее вы можете создать биссектрису угла. Для этого нажмите на треугольную кнопку под кнопкой «Перпендикулярная прямая», а затем выберите из выпадающего списка инструмент «Биссектриса угла». После этого, кликните по двум отрезкам образующих угол, биссектриса будет создана.

Geogebra online

У программы GeoGebra имеется онлайн версия: Geogebra online (ГеоГебра онлайн). После перехода на сайт www.geogebra.org, вы можете открыть программу GeoGebra в своем браузере для выполнения необходимых действий. Таким образом, даже не устанавливая программу GeoGebra на свой компьютер, при наличии интернета, вы можете работать в этой математической программе, войдя на онлайн сервис со своего мобильного устройства.

Поскольку построение простейших геометрических фигур рассмотрено в предыдущей главе при описании инструментов, то в данной главе они рассматриваться не будут. Данная глава является практикумом по освоению среды GeoGebra (3DwithJOGL2) на примерах решения конкретных задач. Задачи подобраны таким образом, чтобы они в полной мере охватывали возможности геометрических построений с использованием среды GeoGebra (3DwithJOGL2).

Построение призмы

Задача:

 Построить призму ABCDEA1B1C1D1E1.

Решение:

Выбираем функцию Призма и отмечаем 5 точек на координатной оси как показано на рисунке 15.

Рис 15

Нажимая по оси z на нужную нам высоту, получим призму ABCDEA1B1C1D1E1.(рис 16)

Рис 16

Построение пирамиды

Задача:

Построить пирамиду SABCDE.

Решение:

Выбираем функцию Пирамида и отмечаем 5 точек на координатной оси, как показано на рисунке 17.

Рис 17

Нажимая по оси z на нужную нам высоту и после переименования точки на оси zполучим пирамиду SABCDE.(рис 18)

Рис 18

 Построение прямоугольного параллелепипеда

Задача:

Построить прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Решение:

При помощи строки ввода ставим 4 точки на плоскость XOY и одну точку на плоскость XYZ как показано на рисунке 19.

Рис 19

После выполнения вышеуказанных шагом выбираем опцию Призма соединяем точки A,B,C,D потом нажимаем на точку А и получаем прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.(рис 20)

Рис 20

Построение цилиндра

Задача:

 Построить цилиндр с радиусом 2.

Решение:

Для построения цилиндра есть опция Цилиндр. Выбираем эту опцию и на оси z выбираем две точки, после чего выйдет окно с запросом на радиус как на рисунке 21.

Рис 21

Вводим значение радиуса и имеем цилиндр с данным радиусом.(рис 22)

Рис 22

Построение конуса

Задача:

Построить конус с радиусом 3.

Решение:

Для построения конуса есть опция Cone. Выбираем эту опцию и на оси

Z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус как на рисунке 23.

Рис 23

Вводим значение радиуса и имеем конус с данным радиусом.(рис 24)

Рис 24

Построение шара

Задача:  

Построить шар с радиусом 3.

Решение:

Шар можно построить с помощью двух опций. Первая из них называется

Сфера по центру и точке. При этом нужно выбрать точку центра и другую точку, которая будет являться крайней точкой сферы. Вторая функция Сфера по центру и радиусу . В этом случае нужно выбрать точку центра и выскакивает окно с запросом ввести радиус как показано на рисунке 25.

Рис 25

После ввода значения радиуса строиться сфера(рис 26)

Рис 26

Построение сечения пирамиды

Задача:

На ребрах AB,BC и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P (рис 27).

Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Рис 27

Решение:

Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E (рис.28), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ – искомое сечение.

Рис 28

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда

Задача:

На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение:

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки A,B и C лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (рис. 29), нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение – треугольник ABC. Если точки A, B и C расположены так, как показано на рисунке 30, то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение – пятиугольник ABCDE – построено. Более трудный случай, когда данные точки A,B и C расположены так, как показано на рисунке 31. В этом случае можно поступить так, сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение – шестиугольник ABCDEF – построено.

                             Рис 29                                        Рис 30

Рис 31

Заключение

Программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью этой программы можно работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру и другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Использование программы GeoGebra на уроках позволяет:

–оптимизировать учебный процесс, более рационально используя время на различных этапах урока;

–осуществлять дифференцированный подход в обучении; - проводить индивидуальную работу, используя персональные компьютеры;

–снизить эмоциональное напряжение на уроке, внося в него элемент игры;

–расширять кругозор учащихся;

–способствует развитию познавательной активности учащихся.

Прогнозируемые эффекты от применения данной технологии:

–возможно повышение уровня самооценки;

–развитие навыка самоконтроля;

–побуждение к открытию и изучению нового в сфере информационных технологий, желанию поделиться с товарищами своими знаниями.

Список используемых источников

1.                 https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

2.                  http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi

3.                  http://my-soft-blog.net/397-geogebra.html

4.                 http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi

5.                  http://www.uchportal.ru/kompyuternaya-programma-po-matematike-deliteli-naturalnogo-chisla

6.                 hhttp://soft.mydiv.net/win/download-GeoGebra.htmlttp://s427.spb.ru/attachments/article/480/matem_spo.pdf