Шевченко Ольга Викторовна

учитель информатики

высшая категория

Муниципальное образовательное учреждение - средняя общеобразовательная школа №6 города Маркса Саратовской области shevchenkolga.66@yandex.ru http://www.shevchenko.sixschool.edusite.ru

урок «Компьютерная графика»

информатика и ИКТ

10 класс

1.  учебник Н.Г. Угриновича «Информатика и ИКТ 10 класс» Москва Бином Лаборатория знаний 2008 год

2.  учебник Н.Г. Угриновича «Информатика и информационные технологии 10-11» Москва Бином Лаборатория знаний 2007 год

3.  А.Х. Шелепаева «Поурочные разработки по информатике» Москва «Вако» 2009 год

Àìïèëîâà Íàòàëüÿ Áîðèñîâíà

ÇÍÀÊÎÌÑÒÂÎ Ñ ÔÐÀÊÒÀËÀÌÈ

Çà ïîñëåäíèå ãîäû íàø ïîâñåäíåâíûé ñëîâàðü ïîïîëíèëñÿ ñëîâîì «ôðàêòàë», ïðåäñòàâëÿþùèì ñîáîé ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå òåðìèíîâ «ôðàêòàëüíîå ìíîæåñòâî» èëè «ôðàêòàëüíàÿ ñòðóêòóðà». Ýòîò òåðìèí îçíà÷àåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé îáúåêò îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñàìîïîäîáèÿ, à èìåííî, åñëè óâåëè÷èòü ÷àñòü ýòîãî îáúåêòà, òî îíà áóäåò ñîõðàíÿòü ñòðóêòóðó öåëîãî. Ìîæíî óâåëè÷èâàòü âñå áîëåå ìåëêèå ÷àñòè, ýôôåêò ñîõðàíèòñÿ. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ñèòóàöèÿ êàæåòñÿ ìàëîâåðîÿòíîé. Îäíàêî â ïðèðîäå ñàìîïîäîáèå â ïðèáëèæåííîì âèäå âñòðå÷àåòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî. Íàïðèìåð, ñòðîåíèå ìîðñêèõ çâåçä äàåò íàì íàãëÿäíûé ïðèìåð òàêîé ñòðóêòóðû. Î÷åðòàíèÿ áåðåãîâûõ ëèíèé ìîðåé è ðåê ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì èõ óâåëè÷åíèè òàêæå äåìîíñòðèðóþò ñóùåñòâîâàíèå ñàìîïîäîáèÿ. Òàêîé ýôôåêò ìîæíî çàìåòèòü, îòñëåæèâàÿ ýòè î÷åðòàíèÿ ïî êàðòàì âîçðàñòàþùåãî ìàñøòàáà. Èåðàðõè÷åñêàÿ îðãàíèçàöèÿ æèâûõ ñèñòåì – òîæå ïðèìåð ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû.

Ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïðîñòåéøèìè ôðàêòàëüíûìè ìíîæåñòâàìè, âîçíèêàþùèìè â ìàòåìàòèêå, è ðàññìîòðèì èõ ñâîéñòâà.

ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ ÊÀÍÒÎÐÀ

Ïóñòü E₀ îáîçíà÷àåò îòðåçîê [0,1]. Ïîäåëèì åãî íà 3 ðàâíûå ÷àñòè è óäàëèì ñðåäíþþ òðåòü. Ïîëó÷èì ìíîæåñòâî

                 1       2

E₁ =[0, ]U[           ,1]. Òåïåðü ê êàæäîé èç ÷à-

                 3       3

ñòåé ìíîæåñòâà E₁ ïðèìåíèì òó æå ïðîöåäóðó, òî åñòü óäàëèì ñðåäíèå òðåòè èç îòðåçêîâ, ñîñòàâëÿþùèõ äàííîå ìíîæåñòâî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìíîæåñòâî

                  1       2 3        6 7       8

E₂ = [0,     ]U[   ,    ]U[    ,    ]U[       ,1]. Ïðîäîë-

                  9       9 9        9 9       9

æàÿ ïðîöåññ, ìû áóäåì ïîëó÷àòü íà øàãå ñ íîìåðîì n ìíîæåñòâî E_n , ñîñòîÿùåå èç

2ⁿ ñåãìåíòîâ, äëèíà êàæäîãî èç êîòîðûõ 1

ðàâíà _n . Ïåðåñå÷åíèå âñåõ ìíîæåñòâ 3

E_n , ïîëó÷àåìûõ â ýòîì áåñêîíå÷íîì ïðîöåññå, íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì ìíîæåñòâîì Êàíòîðà. Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç P.

∞

Òàêèì îáðàçîì, P =IE_n . (Çíàê I îçíà÷àåò ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ).¹

Ïîñòðîåííîå ìíîæåñòâî îáëàäàåò ðÿäîì èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ. Ïðåæäå âñåãî, îíî íå ïóñòî. Îäíàêî îíî íå ñîäåðæèò â ñåáå íè îäíîãî èíòåðâàëà. Ñîñ÷èòàåì «äëèíó» l ìíîæåñòâà P. Çàïèøåì ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî óäàëåíèÿ èíòåðâàëîâ:

1 2 4 1 2 4 l =1− − − −L=1− (1+ + +L) .

              3    9    27                3       3    9

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ñóììà, âõîäÿùàÿ â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q = .

Óêàçàííàÿ ñóììà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå 1

S =           . Ñëåäîâàòåëüíî, îíà ðàâíà 3, è

1− q

òîãäà l = 0. Ðàññìîòðåííîå íàìè êàíòîðîâî ìíîæåñòâî îáëàäàåò òàê íàçûâàåìîé ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðîé, òî åñòü ëþáàÿ åãî ÷àñòü ïîâòîðÿåò ñòðóêòóðó âñåãî ìíîæåñòâà.

Ìû ðàññìîòðèì ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà, îñíîâàííûé íà ñâîéñòâàõ óæå èçâåñòíîãî íàì ëîãèñòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (x) =λx(1− x), ãäå x ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [0,1], à λ – âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð. Ïðè çíà÷åíèÿõ ýòîãî ïàðàìåòðà, ëåæàùèõ â èíòåðâàëå [0,4], îòîáðàæåíèå f ïåðåâîäèò åäèíè÷íûé îòðåçîê â ñåáÿ. Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì ýòî îòîáðàæåíèå ïðè λ> 4 , íî ïðåäâàðèòåëüíî ïîçíàêîìèìñÿ ñ âåñüìà ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì ïðè èçó÷åíèè èòåðàöèé îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé, à èìåííî äèàãðàììîé ÊåíèãñàËàìåðåÿ.

ÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÅÒÎÄ

ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ

Äëÿ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé ñóùåñòâóåò ïðîñòîé è íàãëÿäíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ òðàåêòîðèè òî÷êè, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ èòåðàöèé îòîáðàæåíèé òî÷êè (â äàëüíåéøåì ïðîñòî èòåðàöèé òî÷êè). Ýòîò ìåòîä íàçûâàåòñÿ äèàãðàììîé Êåíèãñà-Ëàìåðåÿ. Ìû ïðîèëëþñòðèðóåì åãî íà ïðèìåðå ëîãèñòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè f (x) =λx(1− x) ïðè íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà λ. Ïîñòðîèì òàêæå ãðàôèê ïðÿìîé y = x .

Âîçüìåì íà îñè ÎÕ òî÷êó x₀ è áóäåì ñòðîèòü åå èòåðàöèè ïîä äåéñòâèåì f (x) . Ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð èç x₀ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì f (x) . Ïðîåêöèÿ ïîëó÷åííîé òî÷êè ãðàôèêà íà îñü OY äàñò íàì çíà÷åíèå f (x₀) . ×òîáû ïîñòðîèòü f ²(x₀) = f ( f (x₀)) , íóæíî îòëîæèòü íà îñè ÎÕ âåëè÷èíó, ðàâíóþ f (x₀), è äëÿ ýòîé òî÷êè íàéòè ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå íà ãðàôèêå. Ñàìûé ïðîñòîé ñïîñîá îòëîæèòü íà îñè ÎÕ òðåáóåìóþ âåëè÷èíó – ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó (x₀, f (x₀)) ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè ÎÕ, äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé y = x è èç ïîëó÷åííîé òî÷êè îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð íà îñü ÎÕ.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñõåìà äâèæåíèÿ: èç èñõîäíîé òî÷êè ( x₀) äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì; ãîðèçîíòàëü äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé y = x ; âåðòèêàëü äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì; ñíîâà ãîðèçîíòàëü äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé y = x è ò.ä. Îïèñàííàÿ ñõåìà ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( x₀,x₁,x₂,K), ïîêàçàííàÿ íà îñè OX, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðàåêòîðèþ òî÷êè x₀ ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ f (x) . Çäåñü ïîëåçíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâî X ëåæèò íà îñè OX, à ìíîæåñòâî Y – íà îñè OY. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâà ýêçåìïëÿðà îäíîãî è òîãî

Ðèñóíîê 1. Äèàãðàììà Êåíèãñà-Ëàìåðåÿ.

æå ìíîæåñòâà: èíòåðâàëà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó, êîãäà ìû îòêëàäûâàåì íà îñè OX çíà÷åíèå y₀ = f (x₀) äëÿ ïîñòðîåíèÿ äàëüíåéøèõ èòåðàöèé, ìû ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ÷èñëî ýòî îäíî è òî æå íà ðàçëè÷íûõ ýêçåìïëÿðàõ íàøåãî èíòåðâàëà.

ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÊÀÍÒÎÐÎÂÀ

ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ

ËÎÃÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß

Âåðíåìñÿ ê ëîãèñòè÷åñêîìó îòîáðàæåíèþ è ðàññìîòðèì åãî ïîâåäåíèå ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà λ> 4 .

 ýòîì ñëó÷àå îòðåçîê [0,1] íå îòîáðàæàåòñÿ â ñåáÿ. Íåòðóäíî ïîíÿòü (èñ-

ïîëüçóÿ, íàïðèìåð, äèàãðàììó Êåíèãñà- Y Ëàìåðåÿ), ÷òî òe òî÷êè îòðåçêà [0,1], êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòü ãðàôèêà, ëåæàùàÿ âíå åäèíè÷íîãî êâàäðàòà, ïðè ïîñëåäóþùèõ èòåðàöèÿõ f ïîêèíóò îòðåçîê [0,1]. Îáîçíà÷èì ýòî ìíîæåñòâî I₀. À êàêèå òî÷êè åäèíè÷íîãî îòðåçêà ìîãóò ïîïàñòü â I₀? Äëÿ ýòîãî íóæíî ïîñòðîèòü åãî ïðîîáðàç, òî åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê P₀ = f ⁻¹(I₀) , òàêèõ, ÷òî f (P₀) = f ( f ⁻¹(I₀)) = I₀ . Ïðîöåññ ýòîò ìîæíî ïðîäîëæèòü è ïîñòðîèòü ìíîæåñòâà

P1 = f −1(P0) = f −1( f −1(I0)) = f −2(I0) ,

P₂ = f ⁻³(I₀) è òàê äàëåå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ òî÷åê èç P₁ íóæíî äâå èòåðàöèè, ÷òîáû ïîïàñòü â I₀, äëÿ òî÷åê èç P₂ òàêèõ èòåðàöèé íóæíî 3 è ò.ä. Ýòè ìíîæåñòâà îáðàçóþò íàáîð èíòåðâàëîâ, êîòîðûå áóäóò óäàëÿòüñÿ èç îòðåçêà çà îïðåäåëåííîå ÷èñëî èòåðàöèé, è ïðîöåññ ýòîãî óäàëåíèÿ àíàëîãè÷åí ïðîöåññó ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äàâàéòå ïðîäåëàåì îäèí øàã ýòîãî ïðîöåññà (îí ïîêàçàí íà ðèñóíêå 2).

Ïóñòü I₀ =[a₀,b₀] . Ïîñòðîèì åãî ïðîîáðàç. Îòëîæèì ýòîò îòðåçîê íà îñè OY, òàê ÷òîáû åãî êîíöû èìåëè êîîðäèíàòû (0,a₀),(0,b₀) . Ìû çíàåì, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîîáðàçà îòðåçêà íàì äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðîîáðàçû êîíöîâ, ïîýòîìó ïðîäåëàåì ñëåäóþùåå.

Ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè ÎÕ ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (a₀,a₀) è (b₀,b₀) . Îáîçíà÷èì ýòè ïðÿìûå M₁ è M₂ ñîîòâåòñòâåííî. Èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ ñ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x) (òî÷êè A₁,B₁, A₂,B₂ ) îïóñêàåì ïåðïåíäèêóëÿðû íà îñü ÎÕ. Ïîìå÷àåì îñíîâàíèÿ ýòèõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ a₁,a₂,b₁,b₂. Òîãäà îáúåäèíåíèå îòðåçêîâ [a₁,a₂] è [b₂,b₁] åñòü ìíîæåñòâî P₀ = f ⁻¹(I₀) . (Íåòðóäíî ïðîâåðèòü ýòî ñ ïîìîùüþ äèàãðàììû Êåíèãñà-Ëàìåðåÿ: èòåðàöèÿ ëþáîé òî÷êè èç ýòèõ îòðåçêîâ ïåðåâîäèò åå â òî÷êó ìíîæåñòâà I₀.)

×òîáû ïîëó÷èòü P₁, íóæíî äëÿ êàæäîãî èç îòðåçêîâ [a₁,a₂] , [b₂,b₁] àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ïîñòðîèòü èõ ïðîîáðàÐèñóíîê 2. Ëîãèñòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ïðè λ> 4 . Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà P₀.

çû. Ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî, êîòîðîå áóäåò ñîñòîÿòü èç îáúåäèíåíèÿ ÷åòûðåõ îòðåçêîâ. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû áóäåì ïîëó÷àòü ìíîæåñòâà P_k . Èõ îáúåäèíåíèå – ýòî è åñòü òå òî÷êè îòðåçêà [0,1], êîòîðûå ïîêèäàþò åãî ïðè k ïîñëåäîâàòåëüíûõ èòåðàöèÿõ f. ×òî æå îñòàåòñÿ íà íàøåì îòðåçêå? Îñòàåòñÿ êàíòîðîâî ìíîæåñòâî.

Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷àþùååñÿ êàíòîðîâî ìíîæåñòâî íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíûì – äëèíà óäàëÿåìîé ÷àñòè çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðà λ. Íåòðóäíî ïîäîáðàòü åãî òàê, ÷òîáû äëèíà îòðåçêà

I₀ ðàâíÿëàñü  .

Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ ëîãèñòè÷åcêîãî îòîáðàæåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñò. Âûáèðàåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [0,1] (äîïóñòèì N òî÷åê) è ñòðîèì èòåðàöèè êàæäîé òî÷êè. Íà êàæäîì øàãå ïðîâåðÿåì, âûõîäèò ëè ðåçóëüòàò çà ãðàíèöû åäèíè÷íîãî îòðåçêà. Òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ ðåçóëüòàòû èõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ èòåðàöèé îñòàþòñÿ âíóòðè îòðåçêà, îòìå÷àåì îäíèì öâåòîì, òå æå, äëÿ êîòîðûõ ýòî óñëîâèå íàðóøàåòñÿ, îòìå÷àåì äðóãèì öâåòîì.

Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàí ðåçóëüòàò ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà ñ ïîìîùüþ ëîãèñòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ. Íà âåðòè-

Iterations: 6

Iam=4.70000

Ðèñóíîê 3. Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà.

êàëüíîé îñè îòìå÷åíû íîìåðà èòåðàöèé. Äëÿ óäîáñòâà îòñëåæèâàíèÿ ïðîöåññà ïîñòðîåíèÿ ðåçóëüòàò êàæäîé èòåðàöèè ðèñóåòñÿ íà íîâîì ýêçåìïëÿðå îòðåçêà.

Ïðèìåð ïðîãðàììû, ðåàëèçóþùåé ýòî ïîñòðîåíèå, ïðèâåäåí â ïðèëîæåíèè.

ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÜ

ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ìíîæåñòâ, ñ êîòîðûìè ìû âñòðå÷àåìñÿ â ïðîöåññå èññëåäîâàíèé òåõ èëè èíûõ îáúåêòîâ, èñïîëüçóåòñÿ õàðàêòåðèñòèêà, íàçûâàåìàÿ ðàçìåðíîñòüþ. Íàøè îñíîâíûå ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ ìû ÷àùå âñåãî ðàáîòàåì, ýòî ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî.  ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ ìû óìååì âû÷èñëÿòü äëèíû îòðåçêîâ, ïëîùàäè ïëîñêèõ ôèãóð, îáúåìû ðàçëè÷íûõ òåë. Ïîëîæåíèå ëþáîé òî÷êè â êàæäîì èç ýòèõ ïðîñòðàíñòâ îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ââåäåííîé êàêèì-ëèáî îáðàçîì ñèñòåìû êîîðäèíàò. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìîé ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ èëè äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé ïîëîæåíèå òî÷êè çàäàåòñÿ ïðîåêöèÿìè íà âûáðàííûå îñè êîîðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ òî÷êà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì ÷èñåë, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ïðîåêöèè òî÷êè íà îñè êîîðäèíàò. Íà ïðÿìîé ïîëîæåíèå òî÷êè õàðàêòåðèçóåòñÿ îäíîé êîîðäèíàòîé, íà ïëîñêîñòè äâóìÿ, â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå – òðåìÿ è ò.ä. Íè÷òî íå ìåøàåò ïîñòðîèòü àáñòðàêòíîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ïîëîæåíèå òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ n êîîðäèíàò. Ýòî ÷èñëî ìû îáû÷íî è èìååì â âèäó, êîãäà ãîâîðèì î ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Ñóùåñòâóþò, îäíàêî, ïðîñòðàíñòâà âåñüìà ñëîæíîé ñòðóêòóðû, äëÿ êîòîðûõ òîæå ââîäèòñÿ õàðàêòåðèñòèêà, íàçûâàåìàÿ ðàçìåðíîñòüþ, íî îíà îïðåäåëÿåòñÿ èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé.

Êàê ìû âèäåëè, ïîïûòêà èçìåðèòü äëèíó ìíîæåñòâà Êàíòîðà áûëà íå î÷åíü óäà÷íîé. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ïî÷åìó. Äëèíà â ïðèâû÷íîì ïîíèìàíèè ýòîãî ñëîâà îçíà÷àåò èçìåðåíèå îòðåçêà, à ïîñêîëüêó êàíòîðîâî ìíîæåñòâî íå ñîäåðæèò íè îäíîãî öåëîãî èíòåðâàëà, òî âïîëíå åñòåñòâåííî, ÷òî äëèíà ðàâíà íóëþ. Îäíàêî, êàê ìû âèäåëè, êàíòîðîâî ìíîæåñòâî íå ïóñòî, ñëåäîâàòåëüíî ìîæíî ïîïûòàòüñÿ êàê-òî åãî «èçìåðèòü».

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè p çàäàíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî M. (Ìû ñåé÷àñ èìååì â âèäó íàøå îáû÷íîå ïðåäñòàâëåíèå î ðàçìåðíîñòè: ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè 0 – ýòî òî÷êà, ðàçìåðíîñòè 1 – ïðÿìàÿ, 2 – ïëîñêîñòü è ò.ä.) Ðàññìîòðèì òàêæå êóáèêè c çàäàííûì ðåáðîì, íàïðèìåð ε, â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Êóáèê â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè 0 – òî÷êà, â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè 1 – îòðåçîê äëèíû ε, íà ïëîñêîñòè ýòî êâàäðàò ñ òàêîé ñòîðîíîé è ò.ä. Îáîçíà÷èì òàêîé êóáèê C(ε) . Òåïåðü âîçüìåì íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ýòèõ êóáèêîâ è ïåðåíóìåðóåì èõ. Êóáèê ñ íîìåðîì i îáîçíà÷èì C_i (ε).

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî êóáèêîâ îáðàçóåò ïîêðûòèå ìíîæåñòâà M, åñëè êàæäàÿ òî÷êà èç M ëåæèò â îäíîì èç êóáèêîâ. Ïðèìåð ïîêðûòèÿ èçîáðàæåí íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå. Çäåñü ìíîæåñòâî M ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü, à îáúåäèíåíèå âñåõ êâàäðàòèêîâ ÿâëÿåòñÿ ïîêðûòèåì M.

Ïîêðîåì íàøå ìíîæåñòâî êóáèêàìè ñî ñòîðîíîé ε. Îáîçíà÷èì ÷èñëî íåîáõîäèìûõ ýëåìåíòîâ äëÿ òàêîãî ïîêðûòèÿ ÷åðåç N(ε) è âû÷èñëèì îòíîøåíèå

. Òåïåðü áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî óìåíüøàòü âåëè÷èíó ε (âûáèðàòü áîëåå ìåëêîå ïîêðûòèå). Ïóñòü ýòè âûáèðàåìûå âåëè÷èíû îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ε₁,ε₂,.... Äëÿ êàæäîãî ε_i áóäåì âû÷èñëÿòü îòíîøåíèå ln N(ε^{i )}

d_i = . Îïðåäåëèì ln(1/ε_i )

ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè d_i , òî åñòü âû÷èñëèì âûðàæåíèå d = lim. Ïîëóε→0 ÷åííîå ÷èñëî íàçûâàþò õàóñäîðôîâîé ðàçìåðíîñòüþ äàííîãî ìíîæåñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêðûâàåì íàøå ìíîæåñòâî êóáèêàìè âñå áîëåå ìàëåíüêîãî ðàçìåðà è âû÷èñëÿåì ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîëó÷àþùåéñÿ îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì.

Äàâàéòå ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ââåäåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà äëÿ õîðîøî èçâåñòíûõ ìíîæåñò⠖ òî÷êè, îòðåçêà è êâàäðàòà.

Ïðèìåð 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêðûòü òî÷êó íà ïëîñêîñòè, ïîòðåáóåòñÿ îäèí ýëåìåíò ïîêðûòèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî N(ε) =1 è d = 0. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì îáû÷íîé ðàçìåðíîñòè äëÿ òî÷êè.

Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì îòðåçîê ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùèé òî÷êè 0 è 1. Ðàçîáüåì åãî íà ÷àñòè äëèíû ε. Òàêèõ ÷àñòåé íóæíî N(ε)=(äëèíà îòðåçêà)/(äëèíà îäíîé ÷àñòè)=1/ε. Òîãäà ðàçìåðíîñòü d ðàâíà

lim=1. ε→0

,

Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì åäèíè÷íûé êâàäðàò. Ðàçîáüåì êàæäóþ èç ñòîðîí íà ε ÷àñòåé.

                                           1    1      ⁻²

Òîãäà N(ε) = × =ε . Íàïðèìåð ε ε

ïðè ñòîðîíå ýëåìåíòà ïîêðûòèÿ, ðàâíîé 1/10, íàì ïîòðåáóåòñÿ 100 êâàäðàòèêîâ äëÿ ïîêðûòèÿ èñõîäíîãî åäèíè÷íîãî êâàäðàòà. Íåòðóäíî ñîñ÷èòàòü, ÷òî â ýòîì ñëó-

ln(ε−2)

÷àå d = lim = 2 . ε→0 ln(1/ε)

Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòü ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé äëÿ ïîäìíîæåñòâ ïðÿìîé, ïëîñêîñòè.

Ïîïðîáóåì òåïåðü âû÷èñëèòü õàóñäîðôîâó ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâà Êàíòîðà.

Íà ïåðâîì øàãå ïîñòðîåíèÿ ìû âûáðàñûâàëè ñðåäíþþ òðåòü îòðåçêà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêðûòü îñòàâøèåñÿ äâå òðåòè, íóæíî äâà îòðåçêà äëèíîé 1/3.

Íà âòîðîì øàãå äëÿ ïîêðûòèÿ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè îòðåçêà íàì ïîòðåáóåòñÿ 4 îòðåçêà äëèíû 1/9.

Íà øàãå ñ íîìåðîì p äëè-

1

íà ïîêðûòèÿ ðàâíà _p , à ÷èñëî

                                                                   3               ^p .

ýëåìåíòîâ ïîêðûòèÿ ðàâíî 2

Òîãäà

p

ln(2 )   ln2 d = lim       =          . ε→0 ln(3^p )       ln3

Ïîíÿòíî, ÷òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî áóäåò äðîáíûì. Òàêèì îáðàçîì, ââåäåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà â îïðåäåëåííîì ñìûñëå èçìåðÿåò åìêîñòü ìíî-

æåñòâ, ïîäîáíûõ êàíòîðîâó. ÂÍà âòîðîì øàãå íóæíî íàøåì ñëó÷àå îíà ìåíüøå 1, òàê48=4x4x3 îòðåçêîâ äëèíû 1/9. êàê êàíòîðîâî ìíîæåñòâî íå ñî-Íà øàãå ñ íîìåðîì p íóæíî äåðæèò èíòåðâàëîâ. Äëÿ ôðàê-_2p 1

2 3 îòðåçêîâ äëèíû ^p . òàëüíûõ ìíîæåñòâ íà ïëîñêîñòè3

1 õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòü áóäåò ýòîì ñëó÷àå ε⁼ p , à ìåíüøå 2.N(ε) = 22p3 . Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè3

Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðè-p →∞ âåëè÷èíà ε→ 0 . Ïîýòîìåð. Ïîñ÷èòàåì õàóñäîðôîâó ðàç-ìó ìîæíî ñ÷èòàòü èñêîìûé ïðåìåðíîñòü äëÿ êðèâîé Êîõà._{äåë ïðè p →∞.}

Ýòà êðèâàÿ ïîëó÷àåòñÿ ñ ïî-Òîãäà âåëè÷èíà ìîùüþ ñëåäóþùåãî àëãîðèòìà._2p

Ðàññìîòðèì ïðàâèëüíûé d = lim ln(2 3) = òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 1. Äå- p→∞ ln(3p)

ëèì êàæäóþ èç ñòîðîí íà 3                                                                                                  2pln2             ln3

ðàâíûå ÷àñòè, íà ñðåäíåé òðå- = plim→∞ pln3 + plim→∞ pln3 = òè ñòðîèì, êàê íà îñíîâàíèè, ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, à çàòåì óäàëÿåì ñðåäíþþ òðåòü. Íà= 2+ 0 = 2.

ïîëó÷åííîé ôèãóðå ñíîâà ïîâòî-Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ýòî ðÿåì ýòîò ïðîöåññ è ò.ä. Ìíîæå-÷èñëî áîëüøå 1, íî ìåíüøå 2. Çàñòâî, ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå áåñ-ìåòèì òàêæå, ÷òî íàì ïðèøëîñü êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîâòîðåíèé ýòîé ñ÷èòàòü ïðåäåë òîëüêî â ïîñëåäíåì

îïåðàöèè, íàçûâàåòñÿ êðèâîé ïðèìåðå, òàê êàê â ïðåäûäóùèõ

Êîõà (ðèñóíîê 4). ïðèìåðàõ ïîä çíàêîì ïðåäåëà ïî-

1  øàã. Óáèðàåì 3 îòðåçëó÷àëàñü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. êà ïî 1/3 è äîáàâëÿåì 6 îò-

 ðàññìîòðåííûõ íàìè ðåçêîâ äëèíû 1/3. Òàêèì îáïðèìåðàõ ìû ñìîãëè ïîñ÷èòàòü ðàçîì, äëèíà êðèâîé, ïåðâîíàõàóñäîðôîâó ðàçìåðíîñòü ñ ïî-

÷àëüíî ðàâíàÿ 3, ïîñëå ïåðâî-

ãî øàãà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîéìîùüþ ÿâíûõ ôîðìóë. Ê ñîæà-

3-3x1/3+2x3x1/3=4.ëåíèþ, äëÿ áîëüøèíñòâà ôðàêòàëüÄëèíà óâåëè÷èëàñü â 4/3 ðàçà.íûõ ìíîæåñòâ òàêèå õàðàêòåðèñ-

2  øàã.Òåïåðü íàøà êðèâàÿòèêè ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ñ ñîñòîèò èç 12 îòðåçêîâ äëèíû^{ïîìîùüþ ïðèáëèæåííûõ ìåòî}1/3. Íà êàæäîì èç íèõ ïîâòîðÿ-äîâ. Íà ðèñóíêå 5 ïîêàçàíû ïðèåì îïèñàííóþ ïðîöåäóðó. Óäàëÿ-^{ìåðû ôðàêòàëüíûõ ìíîæåñòâ íà} åì ÷àñòü ñ äëèíîé 12x1/9, äîáàâ-^{ïëîñêîñòè. Ïåðâûå òðè êàðòèí}ëÿåì äëèíó 12x2x1/9.êè îòíîñÿòñÿ ê òàê íàçûâàåìîìó Íîâàÿ äëèíà ðàâíàîòîáðàæåíèþ Ãàðäèíè. Íà íèõ

4-12/9+24/9=16/3=4x4/3. èçîáðàæåíî ìíîæåñòâî, êîòîðîå Ìû âèäèì, ÷òî íà êàæäîì øàãåîñòàåòñÿ â êâàäðàòå ïîñëå íåäëèíà óìíîæàåòñÿ íà 4/3.ñêîëüêèõ èòåðàöèé. Îñòàëüíûå Òåïåðü ñîñ÷èòàåì ÷èñëîòî÷êè óõîäÿò íà áåñêîíå÷íîñòü. ýëåìåíòîâ ïîêðûòèÿ, íåîáõîäè-Âèäíî, ÷òî îñòàâøååñÿ â êâàäðàìûõ íà êàæäîì øàãå, ÷òîáû ïî-òå ìíîæåñòâî èìååò ôðàêòàëüíûé êðûòü ïîëó÷àþùååñÿ ìíîæåñòâî.õàðàêòåð. Âòîðàÿ ãðóïïà êàðòè-

Íà ïåðâîì øàãå íàì ïî-íîê îòíîñèòñÿ ê èçó÷åíèþ èòåðàòðåáîâàëîñü 12=4x3 îòðåçêîâöèé îòîáðàæåíèÿ z → z² +c , ãäå äëèíû 1/3. Ðèñóíîê 4. z, c - êîìïëåêñíûå ÷èñëà.

Àìïèëîâà Íàòàëüÿ Áîðèñîâíà, äîöåíò êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìàò.-ìåõ. ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ.

Орг. момент

На вопрос, что такое компьютерная графика, можно услышать сотни самых разных ответов: это главный инструмент для создания реалистичной среды захватывающих компьютерных игр, средство для создания обложек практически всех полиграфических изданий, основа современных спецэффектов  в кино, главный инструмент современного дизайнера и конструктора, инженера и модельера… Перечислять варианты можно бесконечно. Главное, что все ответы правильные. «Почему?»- спросите вы. Потому, что все перечисленные направления связаны с работой с цифровыми изображениями.

Определение: компьютерная графика – область деятельности, связанная с созданием и обработкой цифровых изображений.

Я думаю, что вам, как классу информационно- технологического профиля, очень повезло в том, что у вас на уроках информатики отводится гораздо больше времени на тему «Компьютерная графика», чем в других профилях. И я уверена, что  изучение компьютерной графики доставит вам удовольствие и даст пищу не только уму, но и вашим творческим способностям. Итак, давайте освежим ваши знания в области компьютерной графики и вспомним некоторые сведения, которые вы изучали в 9 классе.

Цветовые модели

Цветовая модель – это способ формального описания цвета на основе составляющих его компонентов.

  RGB  Способ формирования видимого цвета путем суммирования цветовых составляющих известен со времен Исаака Ньютона (17 век). Его опыты со стеклянной призмой по разложению солнечного света на спектральные составляющие вы изучали на уроках физики в теме «Оптика». Давайте вспомним цвета спектра (каждый охотник желает знать ,где сидит фазан). В 19 веке Гельмгольц выяснил, что белый цвет можно также можно получить сложив три базовых цвета : красный (RED), зеленый (GREEN) и синий (BLUE). Эта триада RGBиспользуется и в телевидении, и в кино, и в фотографии, и в информатике.

CMYK Как же мы видим цвет объектов, изображенных на бумаге? Ведь они ничего не излучают? Да,сами не излучают, но зато отражают падающий на них свет. Если идеально отражающий лист бумаги осветить белым светом, то он полнлстью отразится. Если на такой лист нанести какой –либо пигмент (краску) , то часть падающего света отразится, а часть будет поглощена. В отраженном свете уже будут присутствовать не все компоненты, и это создаст у нас ощущение цвета пигмента. Значит, на бумаге цвет создается не за счет суммирования интенсивностей излучений различных длин волн, а за счет вычитания отдельных составляющих из белого цвета.

HSB  Название «перцепционная» как нельзя лучше отражает суть этой модели, описывающей цвет на основе его восприятия человеком . Мы, если описываем цвет, то говорим «красный, яркий, насыщенный» или «синий, блеклый, темный». То есть отнюдь не описываем его цифрами. Даже опытный художник или график вряд ли сможет оценить, сколько в цвете баклажана или лимона единиц красного, зеленого и синего цветов. Именно для того, чтобы можно было описывать цвет в терминах, понятных человеку, а не аппаратуре, и разработали перцепционные модели, в частности модель HSB.

План урока на тему: «Компьютерная графика»

Вид урока: урок изучения новой темы

Цели урока:

I. Общеобразовательные:

1.    Создать условия для актуализации знаний учащихся о компьютерной графике.

2.    Ввести понятия о фрактальной графике, о цветовых моделях, графических редакторах и форматах.

      3. Закрепить новые знания с помощью интерактивного теста

II. Развивающие:

1. Способствовать развитию памяти, внимания.

2. Способствовать развитию познавательной деятельности учащихся с использованием ресурсов Интернет

III. Воспитательные:

1.    Воспитывать самостоятельность и активность.

2.    Утвердить учащихся в правильности выбранного ими профиля.

Ход урока:

1.    Организационный момент. (9.40-9.42)

2.    Актуализация знаний учащихся. (9.42-9.45)

Вопросы:

·       Какие виды компьютерной графики вы знаете?

·       Что такое пиксель?

·       В чем заключается основное отличие растровой графики от векторной?

·       Какие растровые графические редакторы вам известны?

·       Какие векторные графические редакторы вам известны?

·       Какие  форматы графических файлов вы знаете?

3.    Изложение нового материала (с помощью презентации) (9.45-10.00)

4.     Тест «Компьютерная графика» (10.00-10.07)

5.    Подведение итогов урока: выставление оценок, формулировки основных положений темы.(10.07-10.10)

6.    Задание на дом: §7.1, вопросы 1,2 стр.307, практическое задание 1 стр. 309

Самоанализ урока:

1.     Цели урока

2.     Изложение материала я вела с помощью презентации, в виде фронтальной беседы, что дало  возможность учащимся показать свои знания. Поскольку класс информационно-технологического профиля, материал я позволила себе дать более углубленно, чем в учебнике, но в соответствии со стандартами для профильной школы. Также использовались межпредметные связи ( с математикой при описании векторной графики, с английским языком при изучении терминологии, с физикой при описании цветовых моделей). Для активизации познавательной деятельности учащихся я указала ссылки на ресурсы Интернета, что позволит им расширить и углубить не только теоретические знания, но навыки практической работы в различных графических редакторах. Домашнее задание дано с целью развития умения самостоятельно изучать новый материал, поскольку часть параграфа о различных графических форматах на уроке подробно не разбиралась.

3.     Тему ученики усвоили, так как успешно справились с достаточно сложным текстом.

4.    Урок плотный, обучающий,  воспитывающий.

Данный материал был скачан с сайта www.metod-kopilka.ru

============================================================

!!!!!!!!Орфография и форматирование автора материала!!!!!!!!!!

========================================

Образовательно-информационный ресурс для учителей информатики,

учащихся и всех-всех, кто интересуется ИТ:

http://www.metod-kopilka.ru Методическая копилка учителя информатики

Организационные, методические и нормативные документы,

лабораторно-практические работы (комплекс занятий по MS Word, MS Excel,

MS Access, MS PowerPaint, Paint, Move Maker и др. прикладным программам),

лекции,конспекты, дидактический материал, занимательная информатика,

экзамен, проектная деятельность, презентации.

Все в свободном доступе! Без регистрации!