Опорный конспект по теме " Логарифмы, свойства логарифмов.Логарифмическая функция, её свойства и график. Логарифмические уравнения и неравенства."

Основные логарифмические формулы

Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию a ( a >0, a ≠ 1,b > 0 ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b, т.е.

log _a b = n или aⁿ = b

 a – основание логарифма;

n – показатель степени

log – обозначение логарифма

1)      log₂8=3, т. к. 2³=8;

2)      log₅(1/25)=-2,

т. к. 5^-2=1/5²=1/25;   

3)log₇1=0, т. к. 7⁰=1.

Основное логарифмическое тождество

= b

Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log»,

т.е. log₁₀b = lg b.

2)    lg100=2, так как10²=100.

4)    lg0,1=-1, так как 10^-1=1/10=0,1.

5)    lg0,01=-2, так как 10^-2=1/10²=1/100=0,01.

1. lg7=log₁₀7,        lg7 – десятичный логарифм числа 7.

1)    lg10=1,  так как 10¹=10.

1/10 означает

Натуральные логарифмы

Логарифм по основанию е (Неперово число е ≈ 2,7) называют натуральным логарифмом.

ln23=log _e23,          ln23 – натуральный

логарифм числа 23.

ln (1/e)=-1.

1) lne³+lne⁴=3+4=7.

Свойства логарифмов ( справедливы для логарифмов по любому основанию (a>0, a≠1))

Логарифм единицы равен нулю

log _a 1 = 0        

(a  > 0, a  ≠  1),  т.к. a⁰  = 1

1) log₇1=0, т.к.   7⁰=1.                                                        2) lg1=0,   т.к.   10⁰=1                             3) ln1=0,    т.к.  е⁰=1.

Логарифм числа а по основанию а равен единице

log _a a = 1        

1) log₅5=1,  т.к. 5¹=5.                                2) lg10=1,   т.к.  10¹=10.                                                

3) lne=1,      т.к. е¹=е.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

log _a (x∙y)=log _a x + log _a y

Найти log ₃ 6, если log₃2=a.

log₃6=log₃(2∙3)=log₃2+log₃3=log₃2++1=a+1.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

log _a = log _a x- log _a y

1) log₃24- log ₃8 =log₃(24:8)=log₃3=1;

2) log₅600-log₅12- log₅50 =     =log₅(600:12:50)=log₅1=0;

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

log _a b^k=k∙log _a b

1) log₅16=log₅2⁴=4log₅2.

2) log₅9=log₅3²=2log₅3.

Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:

log _a b=  Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

log₂₅5 =

Действительно, log₂₅5 = ½ = 0,5; так как 25^0,5 = (5²)^0,5 = 5^2∙0,5 = 5¹ = 5.

log₅25=2, так как 5²=25.

Получаем верное равенство: 0,5=1/2.

Логарифм по основанию aⁿ.

logb=∙log _a b      Логарифм числа b по основанию an равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

Логарифм корня  n-ой степени из b.

log_a= log _a b

log _3 = log ₃15

Логарифм дроби 1 делённая на b.

log_a= - log _a b

log₇ = -log₇7 = - 1

Логарифм числа b^k по основанию aⁿ.

log _aⁿ b^k = ∙log _ab 

Формула является комбинацией двух предыдущих формул.

Логарифм числа bⁿ по основанию aⁿ.

одну и ту же степень.

log _aⁿ bⁿ = log _a b   или

 log _a b = log _aⁿ bⁿ

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Формула перехода к новому основанию

log _a b =

1) log₂3 = lg3/lg2;

2) log₈7 = ln7/ln8.

Формула представления числа p в виде логарифма.

p = log _a a^p   

7 = log₅5⁷

12 = log₁₃ 13¹²

Дополнительная формула

x ^log_a^y = y ^log_a^x

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

1. log_af(x) = b, используя определение логарифма получим f(x) = a^b

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов.

2. log_af(x) = log_ag(x)

 Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения: 1.f(x) = g(x) и  f(x)>0 или

                                                          2. f(x) = g(x) и  g(x)>0,               

в зависимости от того, какое неравенство проще.

3.Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

log_a(x)f(x) = log_a(x)g(x),то мы переходим к системе:     f(x) = g(x)

                                                                                                      g(x) > 0

                                                                                                      a(x )> 0

                                                                                                      a(x) ≠ 1

4. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

5. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.

Вид уравнения

Метод решения

Примеры

1.log _a f(x)=b, где

a > 0,  а ≠ 1,  f(x) > 0

Применение определения логарифма: f(x) = a^b.

log _(x+1)(2x²+1) =2.

 Найдем ОДЗ уравнения:

   (х+1) > 0   х  >-1

   (2x²+1) > 0 для любого х

ОДЗ :

По определению логарифма: (x+1)² =2x²+1;

 x²+2x+1 =2x²+1;

 x²-2x = 0;    х(х-2) = 0

х = 0 или х - 2 = 0;

 x₁ = 0; x₂ = 2.

 Из двух полученных корней только корень x₂ =2 принадлежит ОДЗ, а x₁ =0 не принадлежит ОДЗ и, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: x =2.

Решить уравнение:

1. log₃(2x+1)=2

По определению логарифма имеем:         

  1.2х + 3 = 3²

 2.2х + 3 > 0 -ОДЗ

 3.а = 3 > 0 , значит основание подходит.

1.2х + 3 = 9, 2х = 9 – 3, 2х = 6,

х = 6:2,      х=3.

2.2х+3>0, 2х >-3, х > -3:2,

 х > -1,5 - ОДЗ

Вывод: х=3 принадлежит ОДЗ.

Ответ:3.

Замечание! Можно было не находить ОДЗ, а сделать проверку корня, подставив его значение х=3 в первоначальное уравнение.

2. log₃ (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм - это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. 3 ² = 2х-1   или   2х = 9+1 и  х=5

1 .log2(3 – 6x) = 3

2. lg(х2 – 2х) =

= lg (2х + 12)

3. х ^{lg х} = 10000

4. log₃x - log₃ x = 3

5. log2x – log4x =3

6. log₃ x = - x

7. lg (x² – 2x) = lg(2x + 12)

8. log₃ x - 2log  х = 6

9. log₅(2x + 3) = log₅(x + 1)

2. log_a f(x) = log_a g(x) 

  f(x) =g(x)         

   f(x)>0                                      

или

   f(x)=g(x)

   g(x)> 0

Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью  преобразований и использования свойств логарифмов  приводятся к виду 2, т.е используется метод потенцирования.

Решить уравнение: 

1. log _x-6(x²-5) =log _x-6(2x+19).

 x²-5 =2x+19;

 x²-2x-24 =0;

 x₁ =6; x₂ =-4.

Подставим у уравнение x₂ =-4, получим

log _-4-6((-4)²-5) =log _-4-6(2∙(-4)+

+ 19).

log _-1011 =log _-10 11,  а = -10 , но по определению это невозможно

Аналогично проверим второй корень. Учитывая проверку, отметим, что x₂ =-4; x₁ =6 - посторонний корень.

Ответ: решений нет.

Решить уравнение:

1. log₅x =log₅(6-x²)

 Применяя метод потенцирования, получим:

 x = 6-x²;

 х > 0

 x² + x - 6 = 0;по

т.Виета     х₁∙х₂ = -6

                  х₁+х₂ = -1, подбором найдём корни

 x₁ =2; x₂ =-3.

 Учитывая ОДЗ, отметим, что x₂ =-3 - посторонний корень.

Ответ: x =2.

2. log₃ (2х-5) = log₃х

Применяем потенцирование, получаем:

2х-5 = х   2х – 1х = 5   х = 5

ОДЗ находить не будем, а сделаем проверку корня. Подставим х = 5 в первоначальное уравнение

log₃ (2∙5-5) = log₃5

log₃ 5= log₃5 верное равенство.

Ответ: 5.

а) log_a f(x)+log_a g(x)=log_ah(x)              

log_a( f(x)∙ g(x)) = log_ah(x)

   ( f(x)∙ g(x)) = h(x)

    f(x) > 0

    g(x) > 0

    h(x) > 0

Решить уравнение:

1. lg(x+3) =2lg2- lgx

Преобразуем: перенесём

- lgx из правой части в левую поменяв знак, а 2 внесём в степень числа 2 (2lg2 = lg2²).

  lg(x+3) =lg2²-lgx;

 lg(x+3) + lgx= lg2², применив формулу а).

 lg((x+3)∙x) = lg2²

 ((x+3)∙x) = 2²

  x² + 3x - 4 = 0,

по т. Виета    х₁∙х₂ = -4 , а   х₁+х₂ = -3. Подбором найдём корни:

x₁ =1; x₂ =-4.

 Учитывая ОДЗ ,т.е , (x+3)>0

 х > -3

 отметим, что x₂ = -4 - посторонний корень.

Ответ: x=1.

 1.log₂(х+5)   = 2log₂ (1- х)

Преобразуем по формуле в).

Имеем: log₂ (х+5)= log₂ (1- х)²

ОДЗ: х +5> 0 или х > -5 

х+5 = (1 – х)² или

х²-3х-4=0, тогда х₁=4, а х₂ =-1

Ответ: х₁=4, а х₂ =-1

5.log₂ (4х + 5) = log₂ (9 – 2х)

6.log₃ (х² - 5х – 23) =0;

7.lg(x + 2) + lg(x – 2) = lg(5x + +10)

б) log_a f(x)-log_a g(x)=log_ah(x)  log _a ( f(x):g(x)) = log _a h(x)

   ( f(x) : g(x)) = h(x)

    f(x) > 0

    h(x) > 0

    g(x) > 0

Из б) всегда можно получить а), перенеся слагаемое  в другую часть уравнения.

 в) nlog_a f(x)=log_ah(x) 

    log_a f ⁿ(x) =log_ah(x)

     f ⁿ(x) = h(x)

     f(x) > 0

     h(x) > 0  

3.log²_a f(x)+b∙ log _a f(x)+c = 0

Пусть log _a f(x) = t,тогда

log²_a f(x ) = t² и уравнение примет вид  t² + bt + c = 0. Найдём t₁ и t_2.

Затем вернёмся к старой переменной, решив уравнения:

1) log _a f(x) = t₁    2) log _a f(x) = t₂      

Решить уравнение:

1. log₃²x-log₃x =2

log₃²x-log₃x – 2 = 0

 ОДЗ: x >0.  

Пусть log₃x =у, тогда уравнение примет вид:

 y²-y-2 =0, по

 т.Виета     у₁∙у₂ = -2

                  у₁+у₂ = 1, подбором найдём корни:

y₁ =2; y₂ =-1.

Вернёмся к старой переменной. Т.к log₃x =у, то

 1)log₃x =2; x₁ =3²; x₁ =9;

 2)log₃x =-1; x₂ =3^-1; x₂ =1/3.

 Так как x₁ >0, x₂ >0 то они принадлежат ОДЗ уравнения и являются его корнями.

 Ответ: x₁ =9; x₂ =1/3.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

4.Приведение к одному основанию, если они различные.

Решить уравнение: log₇x+log_x7 =2,5.

 ОДЗ: x >0,

 log_x7 =

 log₇x + =умножим на 2∙ log_x7

 2log²₇x-5 log₇x+2 =0 или

 log²₇ x-2,5 log₇x+1 =0.

 Пусть log₇x =у, тогда y²-2,5y+1 =0;

 y₁ =2; y₂ =1/2.

 1)log₇x =2; x₁ = 7² = 49;

 2)log₇x =1/2; x₂ =7^0,5 = ;

Ответ: x₁ =49;  x₂ = .

Решить уравнение:

1. log₁₆x+log₄x+log₂x =7

 ОДЗ: x >0.

Логарифмы в левой части уравнения приведем к оснаванию 2 по формуле.

 log₁₆x =log₂⁴ x=1/4 ∙log₂x;

 log₄x =log₂ ²x=1/2log₂x 1/4log₂x)+1/2log₂x+log2x =7;

 (7/4)log₂x =7;

 log₂x =7:7/4;   log₂x = 4    x =2⁴  х =16 >0.

Ответ: x=16.

5.Логарифмирование левой и правой части уравнения по одному и тому же основанию «a», если уравнение имеет вид:

х ^log_a ^g(x) =b

Решить уравнение:

х ^log2х+2 = 8.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log₂ (х ^(log₂^х+2)) =  log₂ 8,                 

(log₂ х + 2) · log₂ х = 3.

log² ₂ х + 2 · log₂ х = 3.

log² ₂ х + 2 · log₂ х – 3 = 0

Пусть log₂ х = t.

t² + 2t – 3 = 0.

t₁= -3   t₂ = 1

Значит  1. log₂ х = 1 и х₁ = 2 или   2. log₂ х = -3 и х₂ =2^-3 = 1/8

Ответ: х₁ = 2 и  х₂ =1/8

6.Функционально-графический метод, если уравнение имеет вид:

log _a f(x) =  g(x)

у = log₂ x 

y = 3 – x

Ответ: х = 2

Строим графики функций

у = log _a f(x) и у = g(x)

Решение – абсцисса ( х) точки пересечения графиков.

Решить уравнение:

log₃ x = 4-x

Построим графики функций

у = 4 – х  и у = log₃ x

Абсцисса точки пересечения графиков х = 3 есть решение данного уравнения.