Новогодняя скидка — 70% на все курсы только до 31 декабря!
Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации
версия для слабовидящих
Главная / Математика / Некоторые следствия из теоремы Пифагора

Некоторые следствия из теоремы Пифагора


Cледствия из теоремы Пифагора.

Пусть в треугольнике ABC проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD². Другими словами, справедлива теорема:


Теорема 1. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону.


hello_html_m4c0662c0.png


Доказательство:


В треугольнике ACD (hello_html_7707454f.gifD = 90°) АС² = AD² + СD² (1).

В треугольнике BCD (hello_html_7707454f.gifD = 90°) BC² = BD² + CD² (2).

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим:

AC² - BC² = AD² - BD².



Задача 1. На прямой даны две точки А и В. Через точку В проведен перпендикуляр ВС к прямой АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку АС пересекает прямую АВ в точке D.

  1. Докажите, что треугольник ADC – равнобедренный.

  2. Выразите высоту ВС в треугольнике ADC через длины отрезков AD и BD.

hello_html_m39c46ca1.png

Рис. 1 Рис. 2


Решение:

  1. Применим теорему 1 для треугольника ACD.

AD² - CD² = AE² - CE² (1).

Но так как по условию АЕ = СЕ, то правая часть равенства (1) есть 0,

тогда AD² = CD², откуда AD = CD, т. е. треугольник ADC

равнобедренный.

  1. В прямоугольном треугольнике BCD BC² = CD² - BD², но CD = AD, поэтому BC² = AD² - BD², отсюда ВС = hello_html_3062ce8a.gif.


Задача решена.


Задача 2. На прямой даны точки А и В. Постройте на этой прямой точку D

так, чтобы разность квадратов ее расстояний до точек А и В была равна квадрату длины данного отрезка k.

Решение.


(Для решения этой задачи используем результат решения задачи 1).


  1. Проведем прямую ВС перпендикулярно прямой АВ и отложим на ней

отрезок ВС = k.

hello_html_2c2f4930.png

Рис.3 Рис.4


  1. Пусть Е – середина отрезка АС. Проведем EDhello_html_m3369453f.gifАС, где D – точка

пересечения АВ и ЕD.

Построенная таким образом точка D удовлетворяет условию задачи и является единственной.


Результат решения этой задачи на построение дает возможность

сформулировать важную теорему:


Теорема 2. Для любого отрезка длины k на прямой АВ существует единственная точка, разность квадратов расстояний от которой до точек А и В равна k 2 .


И теперь можно сформулировать теорему, обратную теореме 1.

Теорема 3. Если в треугольнике АВС на стороне АВ или ее продолжении

дана точка D, такая, что CВ² - CА² = DВ² - DА², то CD

высота.

(Доказательство этого факта опирается на теорему 2)


Таким образом, все предыдущие рассуждения подсказывают, что существует зависимость между перпендикулярностью отрезков и их длинами. А так как отрезки лежат на прямых, то возможно сформулировать условие перпендикулярности прямых.

Теорема 3 позволяет выразить условие перпендикулярности двух прямых в форме равенства разностей квадратов отрезков, концы которых принадлежат данным прямым.


Теорема 4. Если две прямые АВ и CD перпендикулярны, то имеет место

равенство: СА² - СВ² = DA² - DB².


С

hello_html_m6b35a26f.gif

Верно и обратное утверждение:


Теорема 5. Если даны две прямые AB и CD и имеет место равенство

CA² - CB² = DA² - DB², то эти прямые перпендикулярны.


Используя полученные соотношения, решим следующие задачи:


Задача 3. Докажите, что если точка М принадлежит хорде АВ окружности с центром О и радиусом R, то произведение отрезков АМ и МВ равно R2 – ОМ2.


hello_html_m524d39b8.png


Решение.


В треугольнике АОМ проведем высоту ОD и применим теорему 1.

OА² - OM² = DА² - DM². АО = R, поэтому

R² - OM² = (AD – DM)(AD + DM).

Т. к. треугольник АОВ - равнобедренный, то AD = BD

и тогда R² - OM² = (ВDDM)(AD + DM) или

R² - OM² = MBAM, что требовалось доказать.



Задача 4. Докажите, что если из точки М, лежащей вне окружности с

центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то произведение отрезков АМ и МВ равно ОМ2R2.



hello_html_65e8347a.png

Решение.


Проведем ОС hello_html_m3369453f.gif МВ и применим к hello_html_2e85d6ba.gifВОМ теорему 1:

OM² - R² = МС² - ВС²,

OM² - R² = (МСВС)(МС + ВС).

Так как МС – ВС = МС – АС = АМ, а МС + ВС = ВМ, то

OM² - R² = АMMВ.

Задача решена.


Задачи 3 и 4 позволяют доказать известные в планиметрии теоремы об отрезках хорд и секущих:

Теорема 6. Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке М, то

АМ ∙ ВМ = СМ ∙ DM.

hello_html_2a3e42d0.png


Доказательство.


  1. В ∆АОВ, согласно задаче 3, R² - OM² = АM ∙ ВM.

  2. В ∆СОD, аналогично, R² - OM² = СMDM.

Из этих равенств следует, что АM ∙ ВM = СMDM.



Теорема 7. Если из точки М к окружности проведены две секущие,

пересекающие окружность соответственно в точках А и В,

C и D, то АМ · ВМ = СМ ∙ DM.


hello_html_5e1fe817.png


Доказательство.


  1. В ∆МОВ, согласно задаче 4, OM² - R² = АM ∙ ВM.

2) В ∆МОD, аналогично, OM² - R2 = СMDM.

Из этих равенств следует, что АM ∙ ВM = СMDM.


hello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gifhello_html_0.gif


  • Математика
Описание:

      Данный материал (подборка задач-следствий из теоремы Пифагора) можно использовать для внеклассной работы на занятиях кружка в 8 классе или на уроке. 

       Пусть в треугольнике ABC  проведена высота CD. Она высекает на прямой AB отрезки AD и BD, называемые проекциями сторон BC и AC на сторону AB. Можно доказать, что AC² - BC² = AD² - BD².  Другими словами, справедлива теорема:

      Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности        квадратов их проекций на третью сторону.

Скачать материал
Автор Власова Тамара Геннадиевна
Дата добавления 07.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 3009
Номер материала 40469
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

Популярные курсы

Курс повышения квалификации
«Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации
«Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации
«Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»