Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение 

Подовинновская средняя общеобразовательная школа

Лесная геометрия.

Научно - исследовательский проект по математике

                                                                   Авторы: Файзрахманова Надежда,                                                                                     Чухвачёва Мария, 

   учащиеся 8 класса

                                                                   Научный руководитель:

                                                                            Твардовская Наталья Ивановна,

                                                                                 Учитель математики 

С. Подовинное 2013

Оглавление

1.          Введение   3 стр.

2.          История развития измерений площади         5 стр.

3       Общие понятия теории графов                                   8 стр.

4.          Правило Леонарда. Проведение эксперимента 

               №1 и его обоснование                                                  10 стр.

5.          Фракталы и деревья. Проведение эксперимента 

               №2 и его обоснование                                                  19 стр.

6.          Заключение        22 стр.

7.          Список литературы и других источников       23 стр.

8.          Приложение       24 стр.

1. Введение

“Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не конусы,  линяя берега — это не окружности, и кора не является   гладкой, и молния не распространяется по прямой…   Природа демонстрирует нам не просто более  высокую степень, а совсем другой уровень сложности.  Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно”.

Бенуа Мандельброт.  В этом году в курсе геометрии мы изучали площади разных фигур. Нам эта тема показалась интересной, ведь геометрия, можно сказать, началась с вычисления площадей. С нахождением таких фигур как квадрат, параллелограмм, треугольник и даже трапеция, нам было всё ясно, а вот как же у круга измерить площадь? Ведь в него  нельзя вставить квадратики и посчитать. И самое главное, где в природе применить знания нахождения площади круга?

Посмотрите вокруг! Природа – лес – деревья, вот они естественные круги – стволы деревьев. Берём сантиметр и идём в парк. Наверно не нужно описывать красоту природы леса, его могущественность и загадочность. Мы смотрим,  наслаждаемся и не задумываемся над тем, почему деревья именно такие? Ведь глядя на красивое сооружение каждому интересно, почему архитектор построил именно так, а не подругому. Лес существовал всегда, мы привыкли, что он именно такой. Но если присмотреться к дереву, можно увидеть что внизу ствол дерева толстый, а если он разделяется на два и более ствола, то последующие стволы становятся тоньше. И чем больше веток отходит от ствола, тем он меньше. Почему это происходит? Наверно есть закономерность какая-то в этом. А если взять лист с дерева и посмотреть внимательно на его капилляры, можно сказать, что на первый взгляд они похожи на само дерево, ствол и отходящие от него ветки. Похоже на математический граф. Интересно…

Изучив, проанализировав всё это, мы выдвинули две гипотезы:

1.   Площадь сечения ствола дерева равна сумме площадей сечения веток, взятых на фиксированной высоте.

2.   Дерево - это фрактал.

Цель: Исследовать и сравнить площади сечений деревьев на разных фиксированных высотах, выявить взаимосвязь математического графа и дерева вместе с листьями.

Задачи, вставшие по ходу исследования:

1.           Изучить необходимую литературу, научные статьи, интернет ресурсы.

2.           Рассмотреть графы в математике – как понятие.

3.           Провести и описать эксперименты, подтверждающие или опровергающие выдвинутые гипотезы.

4.           Продемонстрировать вычислительный аппарат математики как универсальный инструмент описания реальных явлений и процессов. 

Для  решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

 1.Теоретический анализ и обобщение литературных источников.

 2. Эксперимент.

2. История развития измерений площади.

В древности человеку приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. Когда древний человек, уже мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома, добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не изобрел бы своих единиц измерения. 

Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия. Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету, они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди, знакомились с простейшими геометрическими формами. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех», или «такой же, как соль» и т.д. А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки. 

Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо. 

Но не только в процессе работы люди знакомились с геометрическим фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов). Для того чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д. Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление площади было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до нашей эры греческие учёные располагали точными правилами вычисления площади, которые в «Началах» Евклида облечены в форму теорем. При этом площади многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции – произведению полу суммы оснований на высоту. Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число не обломанных плиток – с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее. 

3. Общие понятия теории графов.

Графом называется набор точек (эти точки называются вершинами), некоторые из которых объявляются смежными (или соседними). Считается, что смежные вершины соединены между собой ребрами (или дугами).

Таким образом, ребро определяется парой вершин. Два ребра, у которых есть общая вершина, также называются смежными (или соседними). 

Граф называется ориентированным (или орграфом),если некоторые ребра имеют направление. Это означает, что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с другой вершиной, а обратного соединения нет. Геометрически граф часто изображают точками плоскости, причем соседние вершины соединены дугами (для орграфа некоторые дуги имеют направление, что обычно отмечают стрелкой).  

Помимо этого, в теории графов рассматриваются также мультиграфы – это такие графы, в которых могут быть петли(т. е. некоторая вершина соединена сама с собой ребром) или некоторые пары вершины могут быть соединены между собой несколькими ребрами. 

Маршрут в графе – это последовательность соседних (смежных) вершин. Ясно, что можно определить маршрут и как последовательность смежных ребер (в этом случае ребра приобретают направление). Заметим, что в маршруте могут повторяться вершины, но не ребра. Маршрут называется циклом, если в нем первая вершина совпадает с последней.

Путь в графе (иногда говорят простой путь) – это маршрут без повторения вершин (а значит, и ребер).

Контур – это цикл без повторения вершин, за исключением первой вершины, совпадающей с последней. 

Последовательности вершин (рис. 1): 1–2– 3–4–2–5 не простой путь, а маршрут; последовательности 1–2–3–4–7–5 и 1–2–5 – простые пути; 1–2–3–4–2–5–6–1 –это цикл (но не контур); 1–2–5–6–1 – это контур.

Рис. 1

Если имеется некоторый маршрут из вершины t в вершинуs, заданный в виде последовательности ребер, которые в этом случае приобрели направление, и если в этот маршрут входит ребро, соединяющее вершины (i, j), то это ребро по отношению к вершине i называют иногда прямой дугой, а по отношению к вершине j – обратной дугой (или обратным ребром).

Граф называется связным, если любые две его вершины можно соединить маршрутом (или путем). На рис. 1 изображен связный граф.

Ребро, при удалении которого граф перестает быть связным, иногда называют мостом или перешейком.

Следующее определение имеет смысл только для графов или мультиграфов без петель (но не для орграфов).

Степень вершины – это число ребер, входящих в эту вершину.

Вершина называется висячей, если ее степень равна единице.

                                4.     Правило Леонардо. Проведение эксперимента

№1 и его обоснование

Изучив литературу, изучив страницы интернета. Мы получили много интересной информации и натолкнулись на «правило Леонардо». В статье газеты «Physical Review Letters» говорится: Грациозный ствол дерева разделяется на ветви, сперва немногочисленные и мощные, а те – на все более тонкие. Это так прекрасно и так естественно, что вряд ли кто-нибудь из нас обращал внимание на простую закономерность, замеченную, однако, великим Леонардо. Как мы помним, Леонардо ди сер Пьеро да Винчи очень любил рисовать. Причем не абы как, а так, чтобы картина получалась максимально правдоподобной. Однако, чтобы добиться подобного сходства между рисунком и действительностью, он не утруждал себя "штампованием" многочисленных набросков и эскизов, как это делали его современники, а активно изучал окружающий мир. Можно сказать, он пытался добиться достоверности изображения, стараясь узнать об объекте как можно больше.

И вот в начале XVI века да Винчи задумался над тем, как можно более правдоподобно изобразить… дерево. Для того, чтобы добиться поставленной цели, он решил применить математический метод — измерить длину и диаметр ствола и веток, и потом найти правильное пропорциональное соотношение, которым и можно будет руководствоваться при изображении любого лесного великана. Сделав множество измерений, гениальный ученый и живописец Ренессанса выявил одну закономерность. Дело в том, что общая толщина ветвей на определенной высоте всегда равна толщине ствола. До сих пор никто не мог объяснить, для чего деревья строго следуют этой закономерности.

«Правило Леонардо» справедливо практически для всех известных видов деревьев. О нем осведомлены и создатели компьютерных игр, создающие реалистичные трехмерные модели деревьев. Более точно, правило это устанавливает, что в месте, где ствол или ветвь раздваивается, сумма сечений раздвоенных веток будет равна сечению исходной ветви. Когда затем и эта ветка раздвоится, сумма сечений уже четырех ее ответвлений будет по-прежнему равна сечению исходного ствола. И так далее.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Еще изящнее это правило записывается математически. Если ствол диаметром D разделяется на произвольное число ветвей n с диаметрами d1, d2 и так далее, сумма их диаметров, возведенных в квадрат, будет равна квадрату диаметра ствола. По формуле: D² = ∑d_i², где i = 1, 2, ... n. В реальной жизни степень не всегда строго равна двум и может варьировать в пределах 1,8-2,3, в зависимости от особенностей геометрии того или иного дерева, но в целом зависимость строго соблюдается.

Чтобы объяснить этот феномен, учёные ботаники предположили, что подобное отношение оптимально для работы системы трубок, по которым вода поднимается от корней дерева к листве. Идея выглядит вполне обоснованной хотя бы потому, что от квадрата радиуса прямо зависит площадь сечения, определяющая пропускную способность трубы. Однако французский физик Кристоф Элой (Christophe Eloy) с этим не согласен – по его мнению, связана такая закономерность не с водой, а с воздухом.

Для обоснования своей версии ученый создал математическую модель, которая связывает площадь листвы дерева с действующей на излом силой ветра. Дерево в ней описывалось, как закрепленное лишь в одной точке (месте условного ухода ствола под землю), и представляющее собой ветвящуюся фрактальную структуру (т.е. такую, в которой каждый меньший элемент представляет собой более или менее точную копию старшего).

Добавив к этой модели давление ветра, Эллой ввел определенный постоянный показатель его предельной величины, после которой ветви начинают ломаться. Исходя из этого, он произвел расчеты, которые показали бы оптимальную толщину разветвляющихся веток, такую, при которой сопротивление силе ветра было бы наилучшим. И что же – он пришел ровно к той же зависимости, причем идеальное значение той же величины лежало между 1,8 и 2,3.

Простоту и элегантность идеи и ее доказательства уже оценили специалисты. Так, массачусетский инженер Педро Рейс (Pedro Reis) комментирует: «Исследование ставит деревья на высоту искусственных сооружений, специально просчитанных для сопротивления ветру – лучшим примером которых является Эйфелева башня». 

Всё это очень интересно, и хочется верить, что это действительно так. Но мы любопытные и нам надо это проверить и доказать, что правило Леонардо верно. 

Эксперимент №1.         Рис. 2 Схема дерева

Итак, мы идём в парк, деревья около школы каждый год спиливают. Первое дерево, которое мы замерили, был тополь. Для доказательства нашей гипотезы нам нужно вычислить площадь сечения ствола у земли  и площадь сечения ствола и веток, отходящих от него на другой высоте. Площадь сечения ствола это – круг. Для нахождения её используем формулу: S = πR^{2    ,} чтобы найти радиус нам достаточно знать длину окружности. То есть замерить толщину дерева. В нашем случае она равна 225 см. Находим радиус 35,83 см, диаметр71,66 см и по формуле находим площадь сечения ствола. Далее поднимаемся выше, проводим замеры для ствола и веток, отходящих от него на определённой фиксированной высоте. Находим суммарную площадь сечений. Сравниваем. Почти одно и то же. 

А теперь вспомним правило Леонардо. В нём говорится о равенстве квадрата диаметра ствола, проверяем и убеждаемся в справедливости высказывания. Но ведь одно дерево ещё не доказывает правило.

Измерили 4 дерева, рассчитали всё, результаты мы свели в таблицу.  

Расчёты:

C = 2πR;  R = c\2π ; S = πR²      

С – длина окружности;  π= 3,14;   R – радиус 

Дерево №1 сечение 1 – С=225см

 R = 225\(2_*3,14) = 35,83см  

 D = 71,66см;  D² = 5134,59см²; 

S = 3,14_*35,83² = 4031,1см²     сечение 2; ствол 1 - С= 151 см R = 151\(2_*3,14) = 24,05см   

 D = 48,1см     D² = 2312,65 см²     S = 3,14_*24,05² = 1816,18 см²      ствол 2- С=122 см

 R = 122\(2_*3,14) = 19,4см

D = 38,9см   D² =1509,6 см²  S = 3,14_*19,4² = 1181,77 см²  ствол 3- С=109 см

 R = 109\(2_*3,14) = 17,36см

D = 34,71см   D² =1205,02 см²   

  S = 3,14_*17,36² = 946,3 см²

Дерево №2 сечение 1 

С =121см  

R = 121\(2_*3,14) = 19,3см   

D = 38,6см    

D² = 1489,96см²    

S = 3,14_*19,3² = 1169,62 см²  сечение 2; ствол 1 –С= 96см   

 R = 96\(2_*3,14) = 15,29см

D = 30,58см    

 D² = 935,14 см²      S = 3,14_*15,29² = 734,08 см²  ствол 2 – С=61см   

R = 71\(2_*3,14) = 11,31см

D = 22,62см   

D² = 511,28 см²

 S = 3,14_*9,7²  = 401,35 см²    Дерево №3 сечение 1 – С=130см

 R = 130\(2_*3,14) = 20,7см  

 D = 41,4см;  D² = 1714,07см²; 

S = 3,14_*20,7² = 1345,54см²    

сечение 2; ствол 1 - С= 88 см R = 88\(2_*3,14) = 14,01см   

 D = 28,02см;  D² = 785,43 см²     S = 3,14_*14,01² = 616,32 см²      ствол 2- С=32 см

 R = 32\(2_*3,14) = 5,1см

D = 10,2см   D² =103,86 см²  S = 3,14_*3,86² = 81,67 см²  ствол 3- С=10 см

 R = 10\(2_*3,14) = 1,59см

D = 3,18см   D² =10,11 см²   

  S = 3,14_*1,59² = 7,94 см²

Дерево №4 сечение 1 – С=85см

 R = 85\(2_*3,14) = 13,54см  

 D = 27,08см;  D² = 733,33см²;  S = 3,14_*13,54² = 575,66см²     сечение 2; ствол 1 - С= 63 см R = 63\(2_*3,14) = 10,03см   

 D = 20,06см;  D² = 402,4 см²     S = 3,14_*10,03² = 315,89 см²      ствол 2- С=57 см

 R = 57\(2_*3,14) = 9,08см

D = 18,15см   D² =329,53 см² 

S = 3,14_*9,8² = 258,88 см²

Дерево №5 сечение 1 

С =121см  

R = 121\(2_*3,14) = 19,3см   

D = 38,6см    

D² = 1489,96см²     S = 3,14_*19,3² = 1169,62 см²  сечение 2;  ствол 1 –С=76см

R = 76\(2_*3,14) = 12,1см; D= 24,2см  

D² = 585,83 см² S = 3,14_* 12,1² = 459,73 см² ствол 2 –С=74см

R = 74\(2_*3,14) = 11,78см  

D= 23,56см  

D² = 555,4 см² S = 3,14_* 11,78² = 435,73 см²  ствол 3 – С=52см 

R = 52\(2_*3,14) = 8,28см

D= 16,56см; D² = 274,23 см² S = 3,14_* 8,28² = 215,27 см²  ствол 4 –С= 11см  

R  = 11\(2_*3,14) = 1,75см; D = 3,5см   

D² = 12,25 см²

S   = 3,14_*1,75² = 9,62 см²

Сводные таблицы:

Площади сечений:

рис. 4 Площади

Квадрат диаметра сечений:

Рис.3 квадраты диаметров.

В таблицах и на диаграммах видно, что площади примерно равны. Да и квадраты диаметров тоже! Значит, первую гипотезу мы подтвердили экспериментально.

5. Фракталы и деревья. Проведение эксперимента №2 и его обоснование

Вопреки распространенному мнению, у фракталов нет строгого математического определения – к этому классу относят объекты совершенно разной структуры и природы. Если говорить о фракталах в представлении автора термина Бенуа Мандельброта, то это объекты, обладающие некоторым самоподобием – то есть небольшая часть такого объекта, будучи увеличена, напоминает (почти в точности) исходный объект. К такого рода штукам относятся, например, плоды брокколи, береговые линии и деревья – достаточно крупная ветка, не считая листьев, вполне может при должном приближении сойти за полноценное дерево.

В рамках работы Элой рассматривал дерево в качестве как раз такого фрактала с условием, что из каждой точки ветвления выходит ровно N веток.. При таком задании, дерево, задается всего несколькими параметрами (помимо N) – углами наклона ветвей и несколькими параметрами, входящими в формулы.

Чтобы описать механику воздействия ветра на дерево, ученый обратился к численному моделированию воздействия на компьютере. Всего использовались две модели нагрузки на дерево. В одном случае сила прикладывалась к концам – так называемая модель балки со свободным концом. Это соответствовало случаю, когда ветер действует преимущественно на листья. Во втором случае воздействие оказывалось на сами ветки пропорционально их длине.

рис. 5 Компьютерная модель Элоя

Затем Элой предположил, что вероятность надлома ветки не меняется со временем – то есть дерево в течение достаточно длительного времени сохраняет свои механические свойства. После этого он при помощи компьютерной модели попытался минимизировать вероятность надлома ветвей. Как оказалось, при фиксированном количестве биомассы в обеих моделях получался закон с показателями Леонардо из промежутка от 1,8 до 2,3.

Получается, что ствол дерева и его ветки можно назвать фракталом. Можно сказать, что дерево так же является математическим графом, а как же быть с листвой?

Ученым удалось объяснить различия листьев и деревьев с точки зрения физики. Статья ученых появилась в журнале Physical Review Letters, а ее краткое изложение приводит Physical Review Focus.

В данном случае под деревом понимается не биологический объект, а математический - граф без циклов, то есть граф, в котором, двигаясь по ребрам, нельзя попасть в начало пути. Теория предсказывает, что из соображений оптимальности сеть капилляров, снабжающих лист, должна представлять собой дерево. На практике это оказалось не так.

Эксперимент№ 2

Проверим это на опыте. Живой лист специально повредили в центре, нарушая капилляры по которым лист получает питание. На первый взгляд та часть листа, которая располагается дальше повреждения, должна погибнуть через какое-то время. Но прошло 2 месяца и лист наш, как ни в чём не бывало, живой и зелёный. 

 рис. 6 Эксперимент №2 

В рамках новой работы ученые моделировали случайные графы, исходя из предположений, что подобная система должна тратить минимальное количество энергии на движение жидкости по капиллярам. При этом, в отличие от традиционных моделей, потребности листа в питательных веществах менялись во времени. В результате оказалось, что при некотором соотношении параметров полученные системы

имеют циклы.                                                      Рис.7 Математический граф 

О том, что циклы встречаются на практике, ученые знали и раньше - например, много циклов содержит система снабжения листа лимона. С точки зрения биологии они помогают сохранить работоспособность системы даже в случае повреждения. Например, на этом видео хорошо видно, как красящий пигмент распространяется, несмотря на повреждение центральной части листа.

В феврале 2010 года в Physical Review Letters появилась статья, в которой доказывалось, что структура капилляров на листе не является деревом в математическом смысле, то есть связным графом без циклов. Ранее ученые предполагали, что из соображений оптимальности транспортировки питательных веществ сеть должна иметь именно такую топологию.

Таким образом, мы показали, что дерево это фрактал, но вот листья в отдельности не подходят под эту теорию. Можно сказать, что они являются математическим графом, но с циклами (см рис. 7).

6. Заключение

Пусть некоторые считают геометрию холодной и сухой. Но мы её таковой не считаем. Она помогает изучить окружающий нас мир, и мы можем применить эти знания для пользы человечества. В ходе работы мы показали верность первой гипотезы. Оказывается ещё великий Леонардо да Винчи заинтересовался этим феноменом. Мы изучили труды учёных по этому вопросу и экспериментально сами доказали верность этой гипотезы. Подтвердили частично вторую гипотезу: деревья это фракталы, но если не учитывать листья. Вы скажите, а где же можно применить эти знания? Если бы мы были архитекторами, можно было бы спроектировать какое-то сооружение способное противостоять ветру. Если бы мы были программистами, можно было  бы написать программу, которая может рисовать деревья – фракталы. Но мы пока учимся в 8 классе и у нас ещё всё впереди. Будущие программисты и архитекторы стране сейчас нужны. Одна из загадок природы для нас раскрыта,  наши знания о площадях фигур расширены. И мы узнали новые для нас математические понятия: фракталы и графы.

7. Список литературы и других источников

1.                  Васютинский, Н. А Золотая пропорция. - М.: Молодая гвар¬дия, 1992, 242стр. 

2.                  Виленкин, Н. Я. и др. За страницами учебника математики - М.: Просвещение,1985.

3.                  Волошинов, А. В. Математика и искусство. - М.: Просвеще¬ние, 1992.

4.                  Пидоу, Д. Геометрия и искусство. Издательство: Мир, 1979, страниц: 332

5.                  Discovery, журнал «Живая планета”: 

http://animalworld.com.ua/news/Pravilo-Leonardo-dlja-lesnoj-geometrii

6.                  Музей фактов: http://muzey-factov.ru/tag/mathematics

7.                  Журнал «Наука и техника» http://lenta.ru/news/2011/11/15/leo/

8.                  Журнал «популярная механика» http://www.popmech.ru/article/10006-lesnaya-geometriya/

9.                  Научно- популярный физический журнал http://prl.aps.org/abstract/PRL/v107/i25/e258101

10.               Основные понятия теории графов - В.Н. Бурков, Д.А. Новиков

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

http://dmtsoft.ru/bn/391/as/oneaticleshablon/

11.               Общие понятия теории графов - Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА.

http://dmtsoft.ru/bn/394/as/oneaticleshablon/

8. Приложение

Бенуа Мандельброт - родился в 1924 году в Варшаве, окончил Политехническую школу, имеет ученую степень магистра наук (по аэрокосмическим наукам) и высшую ученую степень доктора философии (по математике). С 1974 член совета по научным исследованиям фирмы IBM, с 1984 профессор математики Гарвардского университета. Ему принадлежит множество статей о фракталах. В настоящее время – профессор

Йельского университета, член американской академии искусств и наук и Национальной академии наук США, удостоен многочисленных почетных научных степеней и наград.

Кристоф Элой -  французский физик с департамента механической и аэрокосмической инженерии Калифорнийского университета в Сан-

Диего

Фракта л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Фрактазм - самостоятельная точная наука изучения и составления фракталов. Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:

 Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.  Является самоподобной или приближённо самоподобной.  Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.  Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.  Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

          Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».