Научно- исследовательская работа по математике "Приёмы быстрого счёта"

МБОУ Новобатайская СОШ № 9

Научно-исследовательская работа

по математике:

Выполнили:

Терёхин Тимур

и Джаландришвили Валерия,

учащиеся 5 А класса

Научный руководитель

Соколова Е.В.

2013-2014 уч.год

Содержание.

1. Введение. 3-4

2. Как люди в древности считали? 5-9

3. Старинные способы вычисления.

3. 1. Русский крестьянский способ умножения. 10

3.2.Метод решётки. 10-12

3.3. Умножение на пальцах. 12-13

4. Приёмы быстрого счёта. 14-15

5. Заключение. 16

6. Список использованной литературы 17

Приложение 1. 18

Приложение2. 19

1.Введение

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам  необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,  необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать. 

Я считаю, что основные проблемы при изучении математики в школе связаны с вычислительными навыками и поэтому целью нашей работы является изучить приемы быстрого счета, а затем ознакомить ребят своего класса и школы.

Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и  им будет легче решать практические задачи.

Я поставил перед собой следующие задачи

1. изучить историю возникновения вычислений

2. рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас,

3. освоить правила быстрого счета и научить этому ребят нашего класса.

4. Создать памятку, в которой разместить информацию о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.

2. Как люди в древности считали

Математика — очень древняя наука. А знаешь ли ты, как придумали числа и как считали древние люди?

Первобытные люди

Первыми понятиями математики были меньше, больше и столько же. Когда одно племя обменивало у другого свой улов рыбы на каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Просто клали рядом с каждой рыбой по ножу.

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: один и два. Они считали так:

1 — «урапун»

2 — «окоза»

3 — «окоза-урапун»

4 — «окоза-окоза»

5 — «окоза-окоза-урапун»

Все остальные числа назывались «много»!

Разные пословицы рассказывают о том, что и у наших предков было так же. Число 7 употреблялось в значении «много»:

Семеро одного не ждут.

Сем раз отмерь, один раз отрежь.

У семи нянек дитя без глазу.

Жители Новой Гвинеи и в наше время загибают пальцы руки и считают «бэ-бэ-бэ …». Досчитав до 5, они говорят «ибон-бэ» (РУКА). Потом загибают пальцы другой руки «бэ-бэ…», пока не доходит до «ибон-али» (ДВЕ РУКИ). Считая дальше, новогвинейцы используют пальцы ног, а потом… РУКИ И НОГИ КОГО-НИБУДЬ ДРУГОГО!

Постепенно при счёте люди начали размещать предметы устойчивыми группами по два, по десять или по двенадцать. Но отдельных названий у чисел ещё не было. У жителей Флориды слово «на-куа» обозначало 10 яиц, «на-банара» — 10 корзин, а слово «на», которое обозначало число 10, отдельно не употреблялось.

Названия получили и числа меньше 10, а также 10, 100 и 1000.

Операции над числами

Складывать и вычитать люди научились очень давно. Когда несколько групп собирателей кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они осуществляли операцию сложения. С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что урожай в несколько раз больше, чем количество посеянного зерна.

А когда мясо животных или орехи делили поровну, применялась операция деления.

Числа в древнем Риме

В римской системе тоже есть специальные знаки:

Число 444, например, записывается так: СDХLIV

С помощью этой системы нельзя записать очень большие числа.

Шумерская клинопись

Принёс крестьянин-шумер лук сборщику налогов. «Сум!» — сказал сборщик, потому что «сум» по-шумерски — «лук» — и нарисовал его на глиняной табличке, которую держал в руке.

Шумеры много лет рисовали знаки рыб и птиц, домашних животных и растений. Их чертили тростниковой палочкой (стило) на табличке из сырой глины.

Позже шумеры договорились, что будет обозначать каждый значок. Они избавились от плавных линий — просто вдавливали стило в глину и сразу отнимали. На глине оставались следы — клинопись.

Египет

В Египте — одна из самых древних нумераций. Надписи египтян состояли из рисунков — иероглифов.

Сохранились два математических папируса, по которым видно, как считали древние египтяне. Например, иероглиф для сотни рисовался как измерительная верёвка, для тысячи — как цветок лотоса, для 10 тысяч — поднятый вверх палец, 100 тысяч — как жаба, миллион — как человек с поднятыми руками.

Славяне

В наше время мы записываем числа арабскими цифрами — они были заимствованы славянами в 13 веке. Раньше наши предки записывали числа при помощи букв славянской азбуки — кириллицы: буки, живете, ша и других. Над буквой ставили чёрточку — титло. Число 12, например, писали так: букву веди с титлом и букву и тоже с титлом. Получалось: два на десять. У больших чисел были свои названия: число 10 тысяч, а потом и миллион назвали тьма, миллион миллионов — легион, а легион легионов — леодр, леодр леодров называли ворон. В одной рукописи встретилось число большее, чем ворон. Оно называлось колода. Если записать его арабскими цифрами, то после 1 будет стоять 49 нолей!

3. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

3.1. Русский крестьянский способ умножения.

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

3.2. Метод решётки.

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

2

3

0

6

5

0

6

1

5

3

7

5

В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

• затем квадратные клетки делим по диагонали;

• вверху таблицы записываем число 987;

• слева таблицы число 12;

• теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

• после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

• результат читаем по стрелке.

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

• 3.3. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА). Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

4. Правила быстрого счёта.

4.1.Умножение и деление на 4.

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

4.2. Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

4.3. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

4.4. Умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

4.5. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

4.6. Умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

 45 * 11 = 495 87 * 11 = 967

4 (4+5) 5 8 (8+7) 7

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

Заключение

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Однажды в школе (Гауссу было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101·50=5050. Как он вычислил? Очень просто – он применил прием быстрого счета, он складывал первое число с последним, второе с предпоследним и т.д. таких сумм всего 50 и каждая равна 101, поэтому он смог почти мгновенно дать правильный ответ. 1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101·50=5050. Этот пример лучше всего показывает, что можно считать быстро и правильно практически устно всем школьникам, для этого всего лишь нужно знать приемы быстрого счета.

Результаты своей работы мы оформили в памятку(приложение 1), которую предложили учащимся 4 А класса (приложение 2). А также разместим её на школьном тематическом стенде «Это интересно!». Возможно, что с первого раза не у всех получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

Главное - небольшая тренировка!

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

• Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.

• Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

• Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г.

• Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М., Просвещение, 1977г.

• Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.

• http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

• http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html

Приложение 1.

Приложение 2